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高二期末数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C B C A D B
二、多选题
9 10 11
BD ABD ACD
三、填空题
12. y = 2x +1 13. 24 14. 64
15. 解：（1） f (x) = 2sin xcos x 3 cos 2x
= sin 2x 3 cos2x

= 2sin（2x ）………………………………………………………………………………4 分
3
（如果化简过程写在第二问，则在第二问中加 2 分，下面直接求值即给 4 分）

f ( ) = 2sin = 3 …………………………………………………………………………6分
3 3
（说明：向量的数量积对了给 1 分，二倍角公式对了给 1 分；若函数没有化简，直接算出答案给 4 分）

（2）由（1）知2sin（2x ） 1
3
1
sin（2x ） …………………………………………………………………………………………8 分
3 2
5
2k + 2x 2k + , k z …………………………………………………………………11 分
6 3 6
7
所以 k + x k + , k z
4 12
7
即不等式的解集为[k + , k + ], k z………………………………………………………………13 分
4 12
16.（1）在四棱锥 P-ABCD 中，
∵PA=PD，PA⊥PD，∴三角形 PAD 为等腰直角三角形.
取 AD 中点 O，连接 OB.则 OP⊥AD………………………………………………………………………………2分
∵四边形 ABCD 为正方形，∴OB= 5 ，OP=1，∴OB2+OP2=PB2.∴OP⊥OB.…………………………………4分
又∵OB∩AD=O，且 OB,AD 平面 ABCD，∴OP⊥平面 ABCD.………………………………………………6分
1
又∵OP 平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 ABCD.………………………………………………………………7分
（2）法一：（建系）由（1）得，如图，以 OA 为 x 轴，垂直 AD 为 y 轴，OP 为 z 轴.
P（0,0,1），B（1,2,0），C（-1,2,0），D（-1,0,0）………………………………………………………………9分
（建系正确，并给出两个点坐标，给 2 分）
∴DP = (1,0,1)，DC = (0,2,0)，PB =（1,2, 1）
设平面 PCD 的一个法向量为n = (x, y, z) ，
DP n = x+ z = 0
,令z =1,则n = ( 1,0,1) ，………………………………………………………………12分
DC n = 2y = 0
（若法向量错误，有法向量运算列式，给 2 分）
PB n 3
∴ cos PB,n = =
| PB | | n | 3
3
∴直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ………………………………………………………………15分
3
（答案错误，有向量运算公式，给 2 分）
BQ ⊥QC
法二：（补型）直三棱柱 PAD-QBC，可证 BQ ⊥平面PDCQ
BQ ⊥QP
∴∠BPQ 为直线 PB 与平面 PDC 所成角的平面角.
QB 2 3
在Rt PBQ中，sin BPQ = = =
PB 6 3
1 1
法三：（等体积）由VB PDC =VP BCD得： S PDC dB = S BDC OP，解得：d = 2 .
3 3 B
d 2 3
∴ sin = B = =
PB 6 3
（以上法二、法三不同解法，酌情给分）
17.（1）a=0.035； x =76.5 ………………………………………………………………………………6分
（a和 x各 3 分）
0.9545 0.6827
（2）P(65.5 Z 98.5) = + 0.6827 = 0.8186…………………………………10分
2
2 1 1
（3）P（X = 2）= =
5 4 10
2
3 2 1 3 2 1 3
P（X = 3）= 2+ =
5 4 3 5 4 3 10
2 3 2 3
P（X = 4）= 3 =
5 4 3 5
X 2 3 4
P 1 3 3
10 10 5
………………………………………13分
1 3 3 7
E(X ) = 2 + 3 + 4 = ……………………………………………………………………15分
10 10 5 2
（分布列对直接给 3分，分布列错，一个概率对给 1分，E（X）错的话，有列式给 1分）
18. （1）法一：当n =1时，a = 2 1
2Sn = n(2+ an )
2Sn 1 = (n 1)(2+ an ) (n 2)
2an = 2Sn 2Sn 1 = nan (n 1)an 1 + 2
(n 2)an (n 1)an 1 + 2 = 0 (n 3) 1
an an 1 2 + = 0 2
n 1 n 2 (n 1)(n 2)
an 2 an 1 2 = 0（ n 3） 3
n 1 n 2
an 2 是常数列，设该常数为 k，则an = k(n 1)+ 2，（n 2)，
n 1
a2 = k + 2， a2 a1 = k也符合上式，因此 an 是等差数列。…………………………………………5 分
法二：
3
2Sn = n(2+ an )
2Sn 1 = (n 1)(2+ an ) (n 2)
2an = 2Sn 2Sn 1 = nan (n 1)an 1 + 2
(n 2) an (n 1)an 1 + 2 = 0 ① 1
2Sn 2 = (n 2)(2+ an-2 ) (n 3)
(n 3)an-1 (n 2)an 2 + 2 = 0 ② 2
② -①
an + an 2 = 2an 1 4
则数列 an 是等差数列…………………………………………………………………………………………5 分
法三：
当 n =1时，解得a1 = 2
当n = 3时，2S3 =（3 2+ a3) = 3(a1 + a3)
即（2 a1 + a2 + a3) = 3(a1 + a3)
2a2 = a1 + a3,a1,a2 ,a3成等差数列……………………………………………………………………1
猜想 an = a1 + (n 1)d,d = a2 a1
（i）n =1, 2, 3 时， a1,a2 ,a3成等差数列， 猜想显然正确，
（ii）假设n k（k 3) 时猜想正确
k(k 1)
即ak = a1 + (k 1)d ,Sk = ka1 + d ……………………………………………………2
2
则当n = k +1时， 2Sk+1 = (k +1)(a1 + ak+1)
（2 Sk + ak+1) = (k +1)a1 + (k +1)ak+1 ……………………………………………………………3
2ka1 + k(k 1)d = (k +1)a1 + (k 1)ak+1
（k 1)ak+1 = (k 1)a1 + k(k 1)d………………………………………………………………4
k 3, k 1 0
ak+1 = a1 + kd = a1 +[(k +1) 1]d
n = k +1时，猜想也正确，
4
综上所述，an = a1 + (n 1)d,对 n N
* 都成立，………………………………………………………………5
an 是等差数列
(2）（Ⅰ）a2 a1 = 3 2 =1，an = 2+ (n 1) 1= n+1，bn = n 3
n+1，……………………………7 分
（说明：算出a 给 1分，算出 an给 1分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得1
分）
设数列 bn 的前 n 项和为H n
H =1 32n + 2 3
3 + 3 34 + + n 3n+1 ①
3H = 1 33 + 2 34 + + (n 1) 3n+1n + n 3
n+2 ②
② ①
2H = 32 + 33 + 34 + + 3n+1 n 3n+2n 8
9(1 3n )
= n 3n+2
1 3
3n+2 9
= n 3n+2
2
(1 2n) 3n+2 9
= 10
2
(2n 1) 3n+2 +9
Hn = …………………………………………………………………11 分
4
（2）(Ⅱ）插入的 k 项之和为：21 + 22 + + 2k = 2k+1 2 ;
新数列{cn}为：a1,2
1,a 1 2 1 2 k2 ,2 ,2 ,a3, ak ,2 ,2 , 2 ,ak+1， ………………………………………………12 分
将此数列分成若干组，a 11,2 为第一组；a ,2
1
2 ，2
2 为第二组；……a 1 2k ,2 ，2 , ,2
k为第 k 组
2 （1- 2k )
ak 与 ak+1之间的 k 项数列的和为： = 2
k+1 2
1- 2
k +1 k(k +3)
数列 Cn 取到 ak 后的第 k 项时：n = k + =
2 2
前 k 组之和为：
T 1 1 2 1 2 kn = a1 + 2 + a2 + 2 + 2 + + ak + 2 + 2 + 2
= (a1 + a2 + ak )+ (2
2 + 23 + 24 + 2k+1 2k)
k(2+ k +1) 4(1 2k )
= + 2k
2 1 2
5
k 2 k 8
= + 2k+2
2 …………………………………………………………………………………………15 分
Tn 显然随 k 的增大而增大，
64+ 24
当 k=8 时，n = = 44，T =1048<2026, 44
2
2026-1048=978，a 再往后取 m 项，使 m 项的和大于 978， 44
即：a + 21 + 229 + 2
m = 2m+1 +8 978，
2m+1 970,当m = 8时， 29 = 512 970, m = 9时,210 =1024 970
44+10=54， n 有最小值为 54. ………………………………………………………………………………17 分
' x
2 + (1 a)x a (x +1)(x a)
19.（1） f (x) = = (x 0)………………………………………………3 分
x2 x2
∵x>0 ∴x+1>0
'
∴a≤0 时， f (x) 0，f (x)在(0，+ )上单调递增
当x (0,a)时，f '(x) 0；当x (a,+ )时, f '(x) 0
a>0 时， ……………………………………6 分
f (x)在(0，a)上单调递减，在(a,+ )上单调递增
（2）
（Ⅰ）由（1）得，当 a≤0 时， f (x)单调，不可能有两个零点.
∴a>0，此时 f (x)min = f (a) =1+ (1 a)ln a a = (1 a)(ln a+1)
∵ x→ 0或+ 时， f (x) →+ ，∴只需 f (a) 0即可
1
∴0 a 或a 1…………………………………………………………………………………………10 分
e
（Ⅱ）要证： x ，只要证1 + x2 2a x2 2a x 1
∵显然0 x1 a x2 ，∴2a x1 a
又∵ f (x)在（a，+ ）单调递增，∴只要证 f (x2) f (2a x1)
又∵ f (x1) = f (x2)，即证 f (x1) f (2a x1)
6
∵ x1 (0,a)
∴只要证 g(x) = f (x) f (2a x) 0，对 x (0,a)恒成立.
' ' ' (x+1)(x a) (2a x+1)(a x) 2(x a)
2(x2 2ax 2a)
∵ g (x) = f (x)+ f (2a x) = + =
x2 (2a x)2 x2(2a x)2
∵ x (0,a)时， x2 2ax 2a 0恒成立
∴ x (0,a) '时， g (x) 0恒成立，g(x)在(0，a)单调递减
而 g(a) = f (a) f (a) = 0 ，∴ g(x) 0对x （0，a）恒成立
即 x + x 2a成立.……………………………………………………………………………………………15 分 1 2
7绝密★使用前
高二数学学科练习
注意事项：
1.本题共 4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4.结束后，只需上交答题卡。
选择题部分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 在复平面内对应的点为（-2,1），则 z （ ）
A. 2 i B. 2+i C. 2 i D. 2+i
2. 已知集合 A 0，1，2,3 ， B x ln x 1 ，则 A B （ ）
A． B． 1,2 C． 1，2,3 D． 0,1,2
3. (x
1
)3 展开式中的常数项为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1
4. 在三角形 ABC 中，M 是线段 BC 上的一个动点，且满足 AM xAB yAC，求 x y
的最小值（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 1
5．如图是函数 y f (x)的导函数 y f (x)的图像，则在下列
区间内， f (x) 一定存在最大值的是（ ）
A．（ 3 ， 2） B．（ 3 ， 4）
第5题图
C．（0 ， 4） D．（ 2 ， 5）
2
6．在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A ,
3 a 2 3
，
ABC的面积为 3 ，则b c （ ）
A. 4 B. 6 C. 2 3 D. 4 3
7．历史上第一个给出函数一般定义的是 19 世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在 1829
1，x Q
年定义了一个“奇怪的函数”： f (x) ，其中R为实数集，Q为有理数集．
0，x CRQ
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则关于函数 f x 的如下四个命题中，不．正．确．的是（ ）
A. x R，都有 f f (x) 1
B. x R，y Q，都有 f (x y) f (x)
C. x, y R，都有 f (xy) f (x) f (y)
D. x, y R，都有 f (x y) f (x) f (y)
8. 一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯中，内部装有高度为 h的水，现将一个半径为
2 的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如右上图），则 h3=（ ）
A. 100 B. 120 C. 144 D. 216
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若 ，则 cos cos
B. 若 ，则 sin cos
2
C. 若 tan 2 ，则3sin cos sin 2 2
D. 若 sin cos 1 12 ，则 sin cos
5 25
10. 某学校数学兴趣小组在“探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况”的数学建模活动中，
将时间 x c x（分钟）与温度 y（摄氏度）的关系用模型 y c1e 2 （其中 e为自然对数的底数）
拟合.设 z ln y，变换后得到一组数据：
x 2 2.5 3 3.5 4
z 4.04 4.01 3.98 t 3.91
由上表可得线性回归方程 z 0.06x 4.16，则（ ）
A. 样本数据 x的下四分位数为 2.5 B． t 3.96
C. 当 x=4 时，残差为 0.01 D. c 4.161 e
11. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 2，E,F分别为边 AB， A1B1的中点，且存在点
P，满足 AP AB AD, , （0,1], 则下列选项中正确的是（ ）
A. 若直线C1P //平面 AB1D1 ,点 P 的轨迹长度为 2 2
D P AC B. 若 ，则直线 1 与 1 1所成角的取值范围是[ ， ]6 2
C. 若 2 ，则平面 AB1P⊥平面DEF
1D. 若 ，则 | D1P | | PF |的最小值为2 21
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非选择题部分
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 曲线 f (x) ex x在 x=0 处的切线方程为__________.
an 1
13. 若正项整数数列{an}
，a 为奇数
满足，a nn 1 2 ，已知 a4 3, 则 a1的所有可能取值
2an 1，an为偶数
的和为__________.
14. 暑假即将来临，某同学制定了一个 5 天游玩 5 个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩
一个景点，但第一天不去 A景点，第二天不去 B景点，最后一天不去 C景点，其余两天没
有限制，则不同的游玩日程安排有__________种.（用数字作答）
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. a sin x, cos 2x b 2cos x, 3 f (x) a 已知向量 ， ，若函数 b，

（1）求 f ( )的值；
3
（2）求不等式 f (x) 1的解集.
16. 如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，且 PA PD ,
PA PD， PB 6 .
(1)求证：平面PAD 平面ABCD；
(2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值.
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17.某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了 100 件产品，整
理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为 10）：
（1）求图中 a的值及平均值 x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ( ， 2 ) ，其中 近似
为样本平均数 x，方差 2 121 .利用该正态分布求 P(65.5 Z 98.5)；
（3）现从生产线中取出 5 件产品，其中恰有 2 件次品，但不能确定哪 2 件为次品，需对 5
件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪 2 件是次品时即终止检验，记终止
时一共检验了 X 次，求随机变量 X 的分布列与期望.
参考数据：
若 Z ~ N ( ， 2 )，则 P( Z ) 0.6827，P( 2 Z 2 ) 0.9545
18. *数列{an}中， Sn是数列{an}的前 n项和，已知 2Sn n（2 an），n N .
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）已知 a2 =3，
(Ⅰ) a若b （a 1） 3 nn n ，求数列{bn}的前 n 项和；
(Ⅱ) 若在 ak 和 ak 1 之间插入{2n}的前 k项（ k N * ），得到新数列{cn}，且{cn}的前 n
项和为Tn，求Tn>2026 时，n的最小值.
19. a已知 f (x) (1 a) ln x x 2a；
x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x1) f (x2 ) 0，且x1 x2 ；
(Ⅰ) 求 a的取值范围； (Ⅱ) 求证： x1 x2 2a.
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