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湖南怀化市第四中学等校2026年 九年级模拟试卷 数 学
1．下列四个数中，比小的数是（　　）
A．0.1 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数和0都大于负数，
∴，，排除A选项和C选项；
计算剩余两个负数的绝对值，，，
∵两个负数比较大小，绝对值更大的数更小，
∴，，
因此比小的数是．
故
【分析】
根据实数大小比较规则，正数大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小.
2．在2025年国庆、中秋假期期间，榆树湾文旅商综合体累计客流达 463300人次，用科学记数法表示 463300 是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
将463300用科学记数法表示，确定a和n的值即可.
3．4月21日7时45分，长征二号丁运载火箭成功发射遥感四十二号02星，中国航天实力杠杠的．下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、是中心对称图形，故该选项是正确的；
故选：D
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合即可判断.
4．下面计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，结果不为，A不符合要求；
B、，B不符合要求；
C、，C符合要求；
D、，D不符合要求．
故答案为：C
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方计算方法逐项进行判断.
5．下列采用的调查方式中，合理的是（　　）
A．检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查
B．统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查
C．对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵检查神舟十八号飞船各零部件，事关飞行安全，精确度要求高，需采用全面调查，∴A不合理；
∵统计某校九年级一班学生视力情况，调查范围小，人数少，需采用全面调查，∴B不合理；
∵对全国所有中小学生进行健康调查，调查范围广，工作量大，适合采用抽样调查，∴C不合理；
∵了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，测试具有破坏性，适合采用抽样调查，∴D合理．
故
【分析】
根据调查对象的特点来选择调查方式：如果调查对象范围过大、调查具有破坏性，或是开展全面普查难度较高，就选择抽样调查；如果调查范围小，对精确度要求高，或是调查本身事关重大，就选择全面调查，接下来我们按照这个原则逐一判断选项即可.
6．如图，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
，
故答案为：C
【分析】
利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可得，再根据垂直定义可得，最后利用角的和差关系进行计算即可．
7．一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵将原方程化为一般式得，
对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为，
∴，，，
∴题目中两根之和，两根之积，
∴点的坐标为，
∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点位于第四象限．
故选D。
【分析】
先把题目给出的一元二次方程整理为标准的一般形式，之后借助一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出方程两根的和与两根的积，以此得到点横纵坐标的值后，就能判断该点所在的象限.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①函数沿轴翻折后的解析式为，
∴，
当时，代入得，，
∴函数的图象沿x轴翻折后不过点；
②对于，当时，，
∴直线与轴的交点的坐标为；
设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为，
∴，
∴
∴，
∵点关于直线对称，
∴，
∴，
解得或（舍去）
∴，
当时，，
∴点在函数的图象，
∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点；
③∵点
∴
∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到，
当时，，
∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2，2)；
④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到，
当时，，
∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点
所以，正确的结论有2个．
故选B。
【分析】
原直线完成变换后经过点P，等价于点P经过该变换的逆变换后，会落在原直线上，利用逆变换求出点P对应的变换后点的坐标，再验证该点是否在原直线上即可.
9．已知非零实数x，y，z满足，，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵非零实数满足，
∴，
将代入得：
，
化简得，与选项C一致；
A、，由只能推出，无法得到，A错误。
B、，无法由已知推出，举反例：满足条件，此时，B错误。
D、，无法推出，举反例：满足条件，此时，D错误。
综上，选项C正确．
【分析】已知x+y+z=0，由此可以得到y关于x和z的表达式，将其代入不等式2x+3y+4z3后，再对各个选项逐一分析判断即可.
10．如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
∵，，，
∴，，
当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴，
∵，
∴该部分图象开口向上，故A、C选项不符合题意；
当时，如图，
设与交于点N，与交于点M，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴该部分图象开口向下，故D选项不符合题意；
当时，重叠部分的面积为，是固定值，
∴该部分图象是平行于x轴的线段，故只有B选项符合题意．
【分析】
按照正方形移动的过程，分为三个不同阶段来分析：
第一阶段，点B还没到达点G，此时满足，我们可以在这个范围内推导出y与x的函数关系式，再据此判断对应图象的形状；
第二阶段，点B已经经过点G、点C还没到达点H，此时满足，同样在这个区间推导y和x的函数关系式，确定对应图象的形状；
第三阶段，点C已经经过点H、点C还没到达点F，此时满足，推导得到这个区间内y和x的关系式，确定对应图象的形状；完成三个阶段的分析后，就可以选出符合分析结果的选项.
11．计算： =　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： = =3 ．
故答案为3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即 =|a|．
12．已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：，
又，
原式．
故答案为：．
【分析】
根据分式的加减运算法则，将所求分式拆分为已知分式与常数的差，再代入已知条件计算即可．
13．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案是： ．
【分析】首先提公因式 ，然后利用完全平方公式分解．
14．请写出不等式组 的一个整数解：　 　．
【答案】3（或4）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，．填写其中一个即可．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，取两个不等式组的公共解集，最后找出解集范围内的整数即可．
15．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积　 　．
【答案】．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AC、AE、CE，分别过点B作BG⊥AC于点G，过点D作DI⊥CE于点I，过点F作FH⊥AE于点H，过点A作AI⊥CE于点I，
在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF的边长为1，
由此可得△ABC、△CDE、△AEF均为边长为1的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵正六边形每个内角为120°，因此∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，且AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，
∴BG=DI= FH=，
由勾股定理可得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
再由勾股定理可得：AI=，
因此总面积，
故填：．
【分析】本题是用六个含角的直角三角板拼接成正六边形，已知直角三角板的最短边长为1，由此可得拼接出的正六边形边长为1，作出辅助线后可得到△ABC、△CDE、△AEF是边长为1的等腰三角形，△ACE是等边三角形，再结合等腰三角形、等边三角形的性质计算出各边长度，最终求出阴影部分（△ABC、△CDE、△AEF与△ACE）的总面积即可.
16．如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（，）
∵点C在反比例函数的图象上
∴，
故答案为：
【分析】
利用圆的性质（直径所对的圆周角是直角）判定为等腰直角三角形，通过构造一线垂直，利用全等三角形对应边相等建立方程，求出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可.
17．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
分别计算零次幂、绝对值，正切以及立方根，然后再进行加减运算即可．
18．先化简：再从0，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】解：
，
，取，
则原式．

【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的加减计算括号内的，再将除法转化为乘法，根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
19．我市某中学举行“法治进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）成绩为“B等级”的学生人数有______名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______°，图中的值为______；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生2名男生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】（1）5；
（2）72；40
（3）解：根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：调查总人数为（名）
成绩为“B等级”的学生人数有（名）
（2）解：“D等级”的扇形的圆心角度数为
∵，
∴；
【分析】
（1）通过条形统计图和扇形统计图“A等级”的人数及占比求出调查总人数，再减去已知各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；补充统计图即可；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）首先画树状图列出所有可能的结果，再根据概率公式即可求解．
（1）解：调查总人数为（名）
成绩为“B等级”的学生人数有（名）
（2）解：“D等级”的扇形的圆心角度数为
∵，
∴；
（3）解：根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）．
20．阅读理解，解决问题：
背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架．
问题解决：
（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，
由题意得，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷；
（2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，
由题意得，，
解得，
又由题意得，，
∵，
的值随的增大而减小，
当时，（万元），
此时乙型无人机（台），
答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）先设甲型无人机每小时可以喷洒公顷，由此可得乙型无人机每小时的喷洒面积为公顷，再结合题目给出的面积条件列出分式方程，求解后即可得到两种无人机每小时的喷洒面积；
（）设安排甲型无人机台，那么乙型无人机的数量为台，设购买总费用为万元，先根据作业面积的要求确定的取值范围，再写出总费用关于的一次函数解析式，最后结合一次函数的增减性，就能求出总费用最低的购买方案.
（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，
由题意得，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷；
（2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，
由题意得，，
解得，
又由题意得，，
∵，
的值随的增大而减小，
当时，（万元），
此时乙型无人机（台），
答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元．
21．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）
（2）在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则，
，
∴
∴
．
即点到地面的距离为；
（2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为，
，
，
∴，
∴
∴
，
点到点的距离为．

【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图②，通过作辅助线，则有，在直角三角形中，根据勾股定理可求出的长，进而求出结果；
（2）如图③，过点作垂直于，垂足为，则，求出，，再利用勾股定理求解．
（1）解：如图②，过点作，垂足为，则，
，
∴
∴
．
即点到地面的距离为；
（2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为，
，
，
∴，
∴
∴
，
点到点的距离为．
22．如图，已知点P是外的一点，直线交于点．①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交于点T；②以T为圆心，长为半径画弧，交于点C，作射线．连接，作，垂足为D．
（1）由作图过程可知：点T是线段的__________； __________°；
（2）在（1）的条件下，求证：平分；
（3）如果，，求的半径．
【答案】（1）中点，90
（2）解：由（1）可知，
，
又，
，
，
，
，
，
∴平分；
（3）解：连接，
是的直径，
又
又
，即
∴的半径为2.5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：由作图可得点是的中点，
连接，则，
则，
∴
∴
∴，
∴；
【分析】
（1）根据作图可判断点T的位置，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出度数即可；
（2）根据已知条件可证明OCBD，利用平行线的判定得，利用等腰三角形的性质可得，进而推出；
（3）连结，证明，运用相似三角形的性质列式可得结论．
（1）解：由作图可得点是的中点，
连接，则，
则，
∴
∴
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
，
又，
，
，
，
，
，
∴平分；
（3）解：连接，
是的直径，
又
又
，即
∴的半径为2.5．
23．除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且．
①求的长；
②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：证明：四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为“双直四边形”；
（2）解：
，
设为，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得
．
②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为，
是的中点，
．
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
直线的解析式为，
设，
（i）当时，，
点的坐标为；
（ii）当时，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
此时点的坐标为；
（iii）当时，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或12，
当时，，此时在第四象限，不符合题意．
当时，，此时在第一象限，符合题意．
综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证明，则有，进而通过角度转换证明对角线BFCE，结合已知直角ABC即可证明；
（2）①在中，利用勾股定理求解即可；
②根据“双直四边形”定义，满足对角线互相垂直且有一个内角是直角，由AB=BC且对角线垂直可知BD垂直平分AC，先求出直线BD的解析式，再分=90°，=90°，=90°三种情况讨论求解点D的坐标.
（1）解：证明：四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为“双直四边形”；
（2）解：
，
设为，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得
．
②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为，
是的中点，
．
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
直线的解析式为，
设，
（i）当时，，
点的坐标为；
（ii）当时，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
此时点的坐标为；
（iii）当时，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或12，
当时，，此时在第四象限，不符合题意．
当时，，此时在第一象限，符合题意．
综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或．
24．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接．
（1）如图1，请判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，
∴
令，则，解得：，
，
在中，，
同理，，
又
，
即为直角三角形；
（2）解：设直线的解析式为，
代入点得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，则
，
轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为最大值为1，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为1；

（3）存在，为或
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：存在，或
存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成正方形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又
，
，
由坐标与平移关系可得，，
②当，为对角线，构成正方形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，，
综上所述，为或．
【分析】
（1）通过求解二次函数找到A、B两点的x坐标，然后计算AC、BC、AB的长度，利用勾股定理判断是否为直角三角形；
（2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标．
（1）解：令，则，
∴
令，则，解得：，
，
在中，，
同理，，
又
，
即为直角三角形；
（2）解：设直线的解析式为，
代入点得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，则
，
轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为最大值为1，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为1；
（3）解：存在，或
存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成正方形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又
，
，
由坐标与平移关系可得，，
②当，为对角线，构成正方形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，，
综上所述，为或．
1 / 1湖南怀化市第四中学等校2026年 九年级模拟试卷 数 学
1．下列四个数中，比小的数是（　　）
A．0.1 B． C．0 D．
2．在2025年国庆、中秋假期期间，榆树湾文旅商综合体累计客流达 463300人次，用科学记数法表示 463300 是（　　）
A． B． C． D．
3．4月21日7时45分，长征二号丁运载火箭成功发射遥感四十二号02星，中国航天实力杠杠的．下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下面计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列采用的调查方式中，合理的是（　　）
A．检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查
B．统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查
C．对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查
6．如图，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知非零实数x，y，z满足，，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
11．计算： =　 　．
12．已知，那么　 　．
13．因式分解： 　 　．
14．请写出不等式组 的一个整数解：　 　．
15．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积　 　．
16．如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为　 　．
17．计算：．
18．先化简：再从0，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
19．我市某中学举行“法治进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）成绩为“B等级”的学生人数有______名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______°，图中的值为______；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生2名男生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
20．阅读理解，解决问题：
背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架．
问题解决：
（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
21．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）
（2）在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号）
22．如图，已知点P是外的一点，直线交于点．①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交于点T；②以T为圆心，长为半径画弧，交于点C，作射线．连接，作，垂足为D．
（1）由作图过程可知：点T是线段的__________； __________°；
（2）在（1）的条件下，求证：平分；
（3）如果，，求的半径．
23．除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且．
①求的长；
②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接．
（1）如图1，请判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数和0都大于负数，
∴，，排除A选项和C选项；
计算剩余两个负数的绝对值，，，
∵两个负数比较大小，绝对值更大的数更小，
∴，，
因此比小的数是．
故
【分析】
根据实数大小比较规则，正数大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
将463300用科学记数法表示，确定a和n的值即可.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、是中心对称图形，故该选项是正确的；
故选：D
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合即可判断.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，结果不为，A不符合要求；
B、，B不符合要求；
C、，C符合要求；
D、，D不符合要求．
故答案为：C
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方计算方法逐项进行判断.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵检查神舟十八号飞船各零部件，事关飞行安全，精确度要求高，需采用全面调查，∴A不合理；
∵统计某校九年级一班学生视力情况，调查范围小，人数少，需采用全面调查，∴B不合理；
∵对全国所有中小学生进行健康调查，调查范围广，工作量大，适合采用抽样调查，∴C不合理；
∵了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，测试具有破坏性，适合采用抽样调查，∴D合理．
故
【分析】
根据调查对象的特点来选择调查方式：如果调查对象范围过大、调查具有破坏性，或是开展全面普查难度较高，就选择抽样调查；如果调查范围小，对精确度要求高，或是调查本身事关重大，就选择全面调查，接下来我们按照这个原则逐一判断选项即可.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
，
故答案为：C
【分析】
利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可得，再根据垂直定义可得，最后利用角的和差关系进行计算即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵将原方程化为一般式得，
对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为，
∴，，，
∴题目中两根之和，两根之积，
∴点的坐标为，
∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点位于第四象限．
故选D。
【分析】
先把题目给出的一元二次方程整理为标准的一般形式，之后借助一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出方程两根的和与两根的积，以此得到点横纵坐标的值后，就能判断该点所在的象限.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①函数沿轴翻折后的解析式为，
∴，
当时，代入得，，
∴函数的图象沿x轴翻折后不过点；
②对于，当时，，
∴直线与轴的交点的坐标为；
设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为，
∴，
∴
∴，
∵点关于直线对称，
∴，
∴，
解得或（舍去）
∴，
当时，，
∴点在函数的图象，
∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点；
③∵点
∴
∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到，
当时，，
∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2，2)；
④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到，
当时，，
∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点
所以，正确的结论有2个．
故选B。
【分析】
原直线完成变换后经过点P，等价于点P经过该变换的逆变换后，会落在原直线上，利用逆变换求出点P对应的变换后点的坐标，再验证该点是否在原直线上即可.
9．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵非零实数满足，
∴，
将代入得：
，
化简得，与选项C一致；
A、，由只能推出，无法得到，A错误。
B、，无法由已知推出，举反例：满足条件，此时，B错误。
D、，无法推出，举反例：满足条件，此时，D错误。
综上，选项C正确．
【分析】已知x+y+z=0，由此可以得到y关于x和z的表达式，将其代入不等式2x+3y+4z3后，再对各个选项逐一分析判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
∵，，，
∴，，
当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴，
∵，
∴该部分图象开口向上，故A、C选项不符合题意；
当时，如图，
设与交于点N，与交于点M，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴该部分图象开口向下，故D选项不符合题意；
当时，重叠部分的面积为，是固定值，
∴该部分图象是平行于x轴的线段，故只有B选项符合题意．
【分析】
按照正方形移动的过程，分为三个不同阶段来分析：
第一阶段，点B还没到达点G，此时满足，我们可以在这个范围内推导出y与x的函数关系式，再据此判断对应图象的形状；
第二阶段，点B已经经过点G、点C还没到达点H，此时满足，同样在这个区间推导y和x的函数关系式，确定对应图象的形状；
第三阶段，点C已经经过点H、点C还没到达点F，此时满足，推导得到这个区间内y和x的关系式，确定对应图象的形状；完成三个阶段的分析后，就可以选出符合分析结果的选项.
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： = =3 ．
故答案为3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即 =|a|．
12．【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：，
又，
原式．
故答案为：．
【分析】
根据分式的加减运算法则，将所求分式拆分为已知分式与常数的差，再代入已知条件计算即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案是： ．
【分析】首先提公因式 ，然后利用完全平方公式分解．
14．【答案】3（或4）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，．填写其中一个即可．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，取两个不等式组的公共解集，最后找出解集范围内的整数即可．
15．【答案】．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AC、AE、CE，分别过点B作BG⊥AC于点G，过点D作DI⊥CE于点I，过点F作FH⊥AE于点H，过点A作AI⊥CE于点I，
在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF的边长为1，
由此可得△ABC、△CDE、△AEF均为边长为1的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵正六边形每个内角为120°，因此∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，且AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，
∴BG=DI= FH=，
由勾股定理可得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
再由勾股定理可得：AI=，
因此总面积，
故填：．
【分析】本题是用六个含角的直角三角板拼接成正六边形，已知直角三角板的最短边长为1，由此可得拼接出的正六边形边长为1，作出辅助线后可得到△ABC、△CDE、△AEF是边长为1的等腰三角形，△ACE是等边三角形，再结合等腰三角形、等边三角形的性质计算出各边长度，最终求出阴影部分（△ABC、△CDE、△AEF与△ACE）的总面积即可.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（，）
∵点C在反比例函数的图象上
∴，
故答案为：
【分析】
利用圆的性质（直径所对的圆周角是直角）判定为等腰直角三角形，通过构造一线垂直，利用全等三角形对应边相等建立方程，求出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可.
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
分别计算零次幂、绝对值，正切以及立方根，然后再进行加减运算即可．
18．【答案】解：
，
，取，
则原式．

【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的加减计算括号内的，再将除法转化为乘法，根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
19．【答案】（1）5；
（2）72；40
（3）解：根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：调查总人数为（名）
成绩为“B等级”的学生人数有（名）
（2）解：“D等级”的扇形的圆心角度数为
∵，
∴；
【分析】
（1）通过条形统计图和扇形统计图“A等级”的人数及占比求出调查总人数，再减去已知各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；补充统计图即可；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）首先画树状图列出所有可能的结果，再根据概率公式即可求解．
（1）解：调查总人数为（名）
成绩为“B等级”的学生人数有（名）
（2）解：“D等级”的扇形的圆心角度数为
∵，
∴；
（3）解：根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）．
20．【答案】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，
由题意得，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷；
（2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，
由题意得，，
解得，
又由题意得，，
∵，
的值随的增大而减小，
当时，（万元），
此时乙型无人机（台），
答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）先设甲型无人机每小时可以喷洒公顷，由此可得乙型无人机每小时的喷洒面积为公顷，再结合题目给出的面积条件列出分式方程，求解后即可得到两种无人机每小时的喷洒面积；
（）设安排甲型无人机台，那么乙型无人机的数量为台，设购买总费用为万元，先根据作业面积的要求确定的取值范围，再写出总费用关于的一次函数解析式，最后结合一次函数的增减性，就能求出总费用最低的购买方案.
（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，
由题意得，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷；
（2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，
由题意得，，
解得，
又由题意得，，
∵，
的值随的增大而减小，
当时，（万元），
此时乙型无人机（台），
答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元．
21．【答案】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则，
，
∴
∴
．
即点到地面的距离为；
（2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为，
，
，
∴，
∴
∴
，
点到点的距离为．

【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图②，通过作辅助线，则有，在直角三角形中，根据勾股定理可求出的长，进而求出结果；
（2）如图③，过点作垂直于，垂足为，则，求出，，再利用勾股定理求解．
（1）解：如图②，过点作，垂足为，则，
，
∴
∴
．
即点到地面的距离为；
（2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为，
，
，
∴，
∴
∴
，
点到点的距离为．
22．【答案】（1）中点，90
（2）解：由（1）可知，
，
又，
，
，
，
，
，
∴平分；
（3）解：连接，
是的直径，
又
又
，即
∴的半径为2.5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：由作图可得点是的中点，
连接，则，
则，
∴
∴
∴，
∴；
【分析】
（1）根据作图可判断点T的位置，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出度数即可；
（2）根据已知条件可证明OCBD，利用平行线的判定得，利用等腰三角形的性质可得，进而推出；
（3）连结，证明，运用相似三角形的性质列式可得结论．
（1）解：由作图可得点是的中点，
连接，则，
则，
∴
∴
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
，
又，
，
，
，
，
，
∴平分；
（3）解：连接，
是的直径，
又
又
，即
∴的半径为2.5．
23．【答案】（1）解：证明：四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为“双直四边形”；
（2）解：
，
设为，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得
．
②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为，
是的中点，
．
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
直线的解析式为，
设，
（i）当时，，
点的坐标为；
（ii）当时，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
此时点的坐标为；
（iii）当时，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或12，
当时，，此时在第四象限，不符合题意．
当时，，此时在第一象限，符合题意．
综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证明，则有，进而通过角度转换证明对角线BFCE，结合已知直角ABC即可证明；
（2）①在中，利用勾股定理求解即可；
②根据“双直四边形”定义，满足对角线互相垂直且有一个内角是直角，由AB=BC且对角线垂直可知BD垂直平分AC，先求出直线BD的解析式，再分=90°，=90°，=90°三种情况讨论求解点D的坐标.
（1）解：证明：四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为“双直四边形”；
（2）解：
，
设为，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得
．
②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为，
是的中点，
．
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
直线的解析式为，
设，
（i）当时，，
点的坐标为；
（ii）当时，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
此时点的坐标为；
（iii）当时，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或12，
当时，，此时在第四象限，不符合题意．
当时，，此时在第一象限，符合题意．
综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或．
24．【答案】（1）解：令，则，
∴
令，则，解得：，
，
在中，，
同理，，
又
，
即为直角三角形；
（2）解：设直线的解析式为，
代入点得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，则
，
轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为最大值为1，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为1；

（3）存在，为或
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：存在，或
存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成正方形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又
，
，
由坐标与平移关系可得，，
②当，为对角线，构成正方形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，，
综上所述，为或．
【分析】
（1）通过求解二次函数找到A、B两点的x坐标，然后计算AC、BC、AB的长度，利用勾股定理判断是否为直角三角形；
（2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标．
（1）解：令，则，
∴
令，则，解得：，
，
在中，，
同理，，
又
，
即为直角三角形；
（2）解：设直线的解析式为，
代入点得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，则
，
轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为最大值为1，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为1；
（3）解：存在，或
存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成正方形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又
，
，
由坐标与平移关系可得，，
②当，为对角线，构成正方形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，，
综上所述，为或．
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