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浙江金华市义乌市望道中学2025-2026学年下学期九年级3月学情自测数学试题
1．的相反数是（　　）
A．5 B．－5 C． D．
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义得，的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
2．如图，已知直线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴∠4=∠1=40°，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据题意作图后，可得到∠4=∠1=40°，之后利用三角形外角的性质就可以求解.
3．双江湖新区位于浙江省义乌市西南部，是义乌市重点建设的未来城市新区.2026年多项重大工程取得突破性进展或进入新阶段，年度计划完成投资超过65亿元，将数65亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可得，从正面看这个几何体的形状图是：
，
故选：C．
【分析】本题考查从不同方向看几何体.根据图形得到小立方体的个数，其中主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，即可求解.
5．若反比例函数的图象在一、三象限内，在图像上有两点，，则与的大小关系（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限内，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选A．
【分析】
根据反比例函数的性质：当反比例函数图象位于第一、三象限时，在每个象限内，会随着的增大而减小即可解答.
6．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图示可得，
故选：B．
【分析】
结合图形分析长和宽的等量关系：从图中可以看出，大矩形的宽度可以表示为，对应已知的大矩形宽75厘米，因此得到等式；同时大矩形的长度有两种表示方式，既可以表示为，也可以表示为，因此可得，整理后得到，将两个等式联立就得到对应的方程组.
7．小明调查了班里名同学本学期购买课外书的本数，并将结果绘制成了如图所示的扇形统计图．则下列说法正确的是（　　）
A．的值为 B．众数为 C．平均数为 D．中位数为
【答案】D
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵，则，故A选项错误，不合题意；
∵本出现此时最多，则众数为，故B选项错误，不合题意；
平均数为，故C选项错误，不合题意，
根据统计图可知，中位数为第20与21个数，即中位数为3，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
【分析】
首先利用整体占比和为1的性质，用1分别减去阅读量为1本、2本、4本对应的占比25%、10%、20%，就可以计算出参数m的值；接着对比不同阅读量的人数占比，其中阅读3本的占比是最高的，因此可以得到这组数据的众数为3；之后再按照加权平均数的计算方法，就可以算出该组数据的平均数；最后根据中位数的定义确定出中位数，就可以完成对应问题的求解.
8．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵PD∥OA，∠AOB=150°
∴∠PDO+∠AOB=180°
∴∠PDO=30°
过O作OF⊥PD于F
∵OD=4
∴OF=×OD=2
∵PE⊥OA
∴FO=PE=2
故选：A．
【分析】
由平行线的性质可以得到∠PDO的度数，接着过点O作OF垂直PD，交点为F，再结合平行线的推论以及30°角直角三角形的性质，即可求出对应结果.
9．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π﹣
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由题意得，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
＝π+，
故选A．
【分析】
通过连接AD，将阴影部分面积转化为扇形ADE的面积与的面积之和，然后分别计算这两个图形的面积，最后求和得到阴影部分面积.
10．已知二次函数（a是实数，），，是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，
∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，
∵ 二次函数的对称轴为，
∴，得，
∴ 二次函数解析式为，将代入得：，
∵，
当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；
当时，若，则，若，则，故A，D错误．
故
【分析】
已知点A和点B的纵坐标相等，根据二次函数的性质可知，纵坐标相等的两个点关于二次函数的对称轴对称，因此可以先得到该抛物线的对称轴，进而推导得出系数b和a的关系；再将点A的坐标代入二次函数解析式，求出参数n的值，最后结合给定的m的取值范围，即可对相关结论做出判断.
11． 因式分解：　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：=，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解.
12．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
故不等式的解集为：．
【分析】
分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分，得到不等式的解集.
13．一个不透明的袋子里装有3个红球、5个白球和8个蓝球，这些球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个，摸到白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中球的总个数为：，其中白球的个数为，
因此摸到白球的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
14．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
通过角平分和平行线的性质推导出为等腰直角三角形，从而求出CE的长，进而利用勾股定理求出DE的长，最后结合三角形中位线定理求解FG.
15．定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的衍生数.如：2的衍生数是 的衍生数是 已知 是a1的衍生数，a3是a2的衍生数，a4是a3的衍生数，…，依此类推，则a2026=　 　.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据衍生数定义可得，
，
，
，
…，
显然每3个数循环一次，
又因为，故和的值相等，即．
故答案为：.
【分析】根据衍生数的定义求出、、、…，即可得到每3个数为一个循环组依次循环，用2026除以3，根据余数解答即可．
16．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】
过点作轴，垂足为，与交于点；再过点作，垂足为，连接。由此可得，推得点的坐标为，进一步可以得到，因此。因为，根据垂径定理可以得到，在中，借助勾股定理可以算出，因此可得，由此就可以计算得到最终答案.
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值，负整数指数次幂，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．解分式方程：
【答案】解：
两边同乘最简公分母，得 ，
去括号，得 ，
移项整理，得 ，
解得 ，
检验：当时， ，
是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解答即可.
19．为进一步落实好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1400名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
【答案】（1）解：师生人数为．
，
补全条形统计图如图：
（2）解：，
答：扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数为．

（3）解：（人），
答：估计全校师生对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数有1330人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）已知“很满意”的人数以及该类别占总调查人数的百分比，用“很满意”的人数除以对应百分比，即可求出本次一共调查的师生总人数，再结合已知各类别的人数，算出“不满意”的人数，从而将条形统计图补充完整；
（2）根据第一步求出的“不满意”的人数，算出“不满意”占总调查人数的比例，再用该比例乘360°，即可得到“不满意”对应扇形的圆心角度数；
（3）先算出“很满意”和“满意”的人数占总调查人数的比例之和，再用全校师生总人数1400乘以这个比例和，就可以估算出该校全体师生对创建工作“很满意”或“满意”的总人数.
（1）解：师生人数为．
，
补全条形统计图如图：
（2）解：，
答：扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数为．
（3）解：（人），
答：估计全校师生对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数有1330人．
20．如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，
（1）求证：．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）首先BD是角平分线，因此可以得到；再根据平行四边形的性质，可得，由平行线内错角相等可推得。等量代换后得到，根据等角对等边，即可证得。
（2）结合角平分线的定义与平行线的性质，可推得；再根据相似三角形的判定与性质，可得，整理后得到，，结合进一步推得，最后代入关系即可计算得到结果.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图中找到D点，连接，使（D为格点）；
（2）连接，则线段的长为________；
（3）若E为的中点，求的值．
【答案】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）
（3）解：由网格图和题意可知，．
【知识点】求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（2）解：由网格可得，；
【分析】
（）根据画图要求，结合网格进行画图即可；
（）根据勾股定理来求的长度；
（）利用正切定义求解即可．
（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：由网格可得，；
（3）解：．
22．【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值．
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值．
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值．
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】
【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；

（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．

【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）连接、，可推出为等边三角形，因此得到边长关系，据此可以先计算出圆内接正六边形的周长，再结合题干给出的关系估算出的值；
（2）如图，连接，先通过HL定理证明，由此可得，再借助三角函数计算出的长度，进一步求出圆内接正八边形的周长，最后结合题干给出的关系估算出的值；
（3）将（1）（2）得到的π估算值计算平均值，即可得到最终结果．
（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
23．已知二次函数（其中a为常数），
（1）将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值．
（3）当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．

【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）通过配方法将二次函数化为顶点式，再根据顶点式性质求出最小值；
（2）先求出二次函数与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解a的值；
（3）先确定二次函数的表达式，再根据对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，求出最大值与最小值的差，进而求出t的值.
（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
24．如图，已知在中，，，，E为边上一点，以为直径作圆，
（1）当圆与相切时，求 的长；
（2）当圆与线段AC有交点时，记其一个交点为D，连接、，把沿DE翻折得，证明：；
（3）在（2）的条件下，当N恰好落在圆上时，求的长．
【答案】（1）解：在中，，由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；

（2）证明：是圆的直径
由翻折的性质可知：
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．

【知识点】切线的性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先通过勾股定理计算出斜边BC的长度，设圆的半径为r，那么直径EB=2r，再结合切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解半径；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，可以得到=90°，结合平角的定义可推出和互余；再根据翻折的性质，可得=，最后通过角度的和差关系即可完成证明；
（3）根据圆周角定理可得，进一步可推得。设，那么，在中，根据勾股定理有，据此列出方程即可求出x的值；再利用和，就可以计算出直径的长度．
（1）解：在中，，由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；
（2）证明：是圆的直径
由翻折的性质可知：
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
1 / 1浙江金华市义乌市望道中学2025-2026学年下学期九年级3月学情自测数学试题
1．的相反数是（　　）
A．5 B．－5 C． D．
2．如图，已知直线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．双江湖新区位于浙江省义乌市西南部，是义乌市重点建设的未来城市新区.2026年多项重大工程取得突破性进展或进入新阶段，年度计划完成投资超过65亿元，将数65亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
5．若反比例函数的图象在一、三象限内，在图像上有两点，，则与的大小关系（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．小明调查了班里名同学本学期购买课外书的本数，并将结果绘制成了如图所示的扇形统计图．则下列说法正确的是（　　）
A．的值为 B．众数为 C．平均数为 D．中位数为
8．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π﹣
10．已知二次函数（a是实数，），，是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11． 因式分解：　 　
12．不等式组的解集是　 　．
13．一个不透明的袋子里装有3个红球、5个白球和8个蓝球，这些球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个，摸到白球的概率是　 　.
14．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为　 　．
15．定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的衍生数.如：2的衍生数是 的衍生数是 已知 是a1的衍生数，a3是a2的衍生数，a4是a3的衍生数，…，依此类推，则a2026=　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则　 　．
17．计算：
18．解分式方程：
19．为进一步落实好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1400名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
20．如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，
（1）求证：．
（2）若，求的值．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图中找到D点，连接，使（D为格点）；
（2）连接，则线段的长为________；
（3）若E为的中点，求的值．
22．【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值．
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值．
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值．
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】
23．已知二次函数（其中a为常数），
（1）将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值．
（3）当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知在中，，，，E为边上一点，以为直径作圆，
（1）当圆与相切时，求 的长；
（2）当圆与线段AC有交点时，记其一个交点为D，连接、，把沿DE翻折得，证明：；
（3）在（2）的条件下，当N恰好落在圆上时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义得，的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴∠4=∠1=40°，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据题意作图后，可得到∠4=∠1=40°，之后利用三角形外角的性质就可以求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可得，从正面看这个几何体的形状图是：
，
故选：C．
【分析】本题考查从不同方向看几何体.根据图形得到小立方体的个数，其中主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限内，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选A．
【分析】
根据反比例函数的性质：当反比例函数图象位于第一、三象限时，在每个象限内，会随着的增大而减小即可解答.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图示可得，
故选：B．
【分析】
结合图形分析长和宽的等量关系：从图中可以看出，大矩形的宽度可以表示为，对应已知的大矩形宽75厘米，因此得到等式；同时大矩形的长度有两种表示方式，既可以表示为，也可以表示为，因此可得，整理后得到，将两个等式联立就得到对应的方程组.
7．【答案】D
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵，则，故A选项错误，不合题意；
∵本出现此时最多，则众数为，故B选项错误，不合题意；
平均数为，故C选项错误，不合题意，
根据统计图可知，中位数为第20与21个数，即中位数为3，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
【分析】
首先利用整体占比和为1的性质，用1分别减去阅读量为1本、2本、4本对应的占比25%、10%、20%，就可以计算出参数m的值；接着对比不同阅读量的人数占比，其中阅读3本的占比是最高的，因此可以得到这组数据的众数为3；之后再按照加权平均数的计算方法，就可以算出该组数据的平均数；最后根据中位数的定义确定出中位数，就可以完成对应问题的求解.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵PD∥OA，∠AOB=150°
∴∠PDO+∠AOB=180°
∴∠PDO=30°
过O作OF⊥PD于F
∵OD=4
∴OF=×OD=2
∵PE⊥OA
∴FO=PE=2
故选：A．
【分析】
由平行线的性质可以得到∠PDO的度数，接着过点O作OF垂直PD，交点为F，再结合平行线的推论以及30°角直角三角形的性质，即可求出对应结果.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由题意得，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
＝π+，
故选A．
【分析】
通过连接AD，将阴影部分面积转化为扇形ADE的面积与的面积之和，然后分别计算这两个图形的面积，最后求和得到阴影部分面积.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，
∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，
∵ 二次函数的对称轴为，
∴，得，
∴ 二次函数解析式为，将代入得：，
∵，
当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；
当时，若，则，若，则，故A，D错误．
故
【分析】
已知点A和点B的纵坐标相等，根据二次函数的性质可知，纵坐标相等的两个点关于二次函数的对称轴对称，因此可以先得到该抛物线的对称轴，进而推导得出系数b和a的关系；再将点A的坐标代入二次函数解析式，求出参数n的值，最后结合给定的m的取值范围，即可对相关结论做出判断.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：=，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
故不等式的解集为：．
【分析】
分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分，得到不等式的解集.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中球的总个数为：，其中白球的个数为，
因此摸到白球的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
通过角平分和平行线的性质推导出为等腰直角三角形，从而求出CE的长，进而利用勾股定理求出DE的长，最后结合三角形中位线定理求解FG.
15．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据衍生数定义可得，
，
，
，
…，
显然每3个数循环一次，
又因为，故和的值相等，即．
故答案为：.
【分析】根据衍生数的定义求出、、、…，即可得到每3个数为一个循环组依次循环，用2026除以3，根据余数解答即可．
16．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】
过点作轴，垂足为，与交于点；再过点作，垂足为，连接。由此可得，推得点的坐标为，进一步可以得到，因此。因为，根据垂径定理可以得到，在中，借助勾股定理可以算出，因此可得，由此就可以计算得到最终答案.
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值，负整数指数次幂，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：
两边同乘最简公分母，得 ，
去括号，得 ，
移项整理，得 ，
解得 ，
检验：当时， ，
是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解答即可.
19．【答案】（1）解：师生人数为．
，
补全条形统计图如图：
（2）解：，
答：扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数为．

（3）解：（人），
答：估计全校师生对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数有1330人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）已知“很满意”的人数以及该类别占总调查人数的百分比，用“很满意”的人数除以对应百分比，即可求出本次一共调查的师生总人数，再结合已知各类别的人数，算出“不满意”的人数，从而将条形统计图补充完整；
（2）根据第一步求出的“不满意”的人数，算出“不满意”占总调查人数的比例，再用该比例乘360°，即可得到“不满意”对应扇形的圆心角度数；
（3）先算出“很满意”和“满意”的人数占总调查人数的比例之和，再用全校师生总人数1400乘以这个比例和，就可以估算出该校全体师生对创建工作“很满意”或“满意”的总人数.
（1）解：师生人数为．
，
补全条形统计图如图：
（2）解：，
答：扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数为．
（3）解：（人），
答：估计全校师生对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数有1330人．
20．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）首先BD是角平分线，因此可以得到；再根据平行四边形的性质，可得，由平行线内错角相等可推得。等量代换后得到，根据等角对等边，即可证得。
（2）结合角平分线的定义与平行线的性质，可推得；再根据相似三角形的判定与性质，可得，整理后得到，，结合进一步推得，最后代入关系即可计算得到结果.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）
（3）解：由网格图和题意可知，．
【知识点】求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（2）解：由网格可得，；
【分析】
（）根据画图要求，结合网格进行画图即可；
（）根据勾股定理来求的长度；
（）利用正切定义求解即可．
（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：由网格可得，；
（3）解：．
22．【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；

（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．

【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）连接、，可推出为等边三角形，因此得到边长关系，据此可以先计算出圆内接正六边形的周长，再结合题干给出的关系估算出的值；
（2）如图，连接，先通过HL定理证明，由此可得，再借助三角函数计算出的长度，进一步求出圆内接正八边形的周长，最后结合题干给出的关系估算出的值；
（3）将（1）（2）得到的π估算值计算平均值，即可得到最终结果．
（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
23．【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．

【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）通过配方法将二次函数化为顶点式，再根据顶点式性质求出最小值；
（2）先求出二次函数与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解a的值；
（3）先确定二次函数的表达式，再根据对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，求出最大值与最小值的差，进而求出t的值.
（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
24．【答案】（1）解：在中，，由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；

（2）证明：是圆的直径
由翻折的性质可知：
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．

【知识点】切线的性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先通过勾股定理计算出斜边BC的长度，设圆的半径为r，那么直径EB=2r，再结合切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解半径；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，可以得到=90°，结合平角的定义可推出和互余；再根据翻折的性质，可得=，最后通过角度的和差关系即可完成证明；
（3）根据圆周角定理可得，进一步可推得。设，那么，在中，根据勾股定理有，据此列出方程即可求出x的值；再利用和，就可以计算出直径的长度．
（1）解：在中，，由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；
（2）证明：是圆的直径
由翻折的性质可知：
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
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