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吉林省松原市2025-2026学年八年级下学期数学期末测试试卷
1．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为菱形的对角线，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，，3 C．1，2，3 D．1，，
4．如图，在中，顶点、、的坐标分别为、、，则顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形的对角线、相交于点，，若，则　 　．
8．若一次函数（是常数）的图象经过第二、三、四象限，则　 　0（填“”或“”）．
9．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是　 　分.
10．如图，菱形的周长为20，是的中点，是的中点，连接，则　 　．
11．如图，在正方形中，是对角线上的一点，作于点，连接，若，，则　 　．
12．计算：．
13．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
14．如图，已知矩形，平分，交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
15．已知一次函数．
（1）若随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若，当时，直接写出的取值范围．
16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画一个矩形，使其面积为3；
（2）在图②中画一个正方形；
（3）在图③中画一个，使其面积为10．
17．如图，直线：交轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交轴、轴于点、．
（1）求的值及点的坐标；
（2）点为线段上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点的坐标．
18．某汽车厂去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比统计图如图所示，根据统计图有关信息解答下列问题．
（1）若第三季度销售汽车3900辆．
①求第三季度的汽车产量；
②若每个季度的汽车生产辆数相同，求四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）已知该厂去年全年生产汽车20000辆，并通过两个不同渠道获得去年全年的汽车销售辆数分别为16500辆和15500辆的信息，请问哪个数据更有可信度？为什么？
19．如图，在中，是边的中点，过点作，交于点．连接、，作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，求证：四边形是矩形．
20．已知、两地之间有一条长为的笔直公路，甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿此公路相向而行．甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地，两车和地的距离与甲车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在两车行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
21．【问题原型】华师版数学教材八年级下册第141页有这样一道题：
（1）如图①，在正方形中，，求证：；
请你完成这一问题的证明过程；
（2）【问题应用】在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
如图②，连接、交于点，为的中点，连接、．当为的中点时，四边形的面积为　 　；
（3）如图③，连接、，当点在边上运动时，的最小值为　 　．
22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点、同时出发，以、为邻边作，设点运动的时间为（秒），与重叠部分的面积为（平方单位）．
（1）求的长；
（2）求的长（用含的代数式表示）；
（3）当点落在上时，求的值；
（4）求与之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当，不是最简二次根式，故A不符合题意B、当，，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、当，不是最简二次根式，故C不符合题意
D、当，是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCA=∠DCA，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠BCA=∠DCA=20°，
故选：C.
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠BCA=∠DCA，根据平行线的性质得出∠D+∠DCB=180°，从而得出∠DCB=40°，即可得出∠BCA=20°.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、1+2=3，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边关系定理，可知C选项中的三条线段不能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理，进行计算，可对A、B、D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵O（0，0），C（，0），
∴OC=，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC=，
∵A（2，3），
∴B点的坐标为（+2，3），
故选：D.
【分析】先求出OC=，根据平行四边形的性质得出AB∥OC，AB=OC=，再根据点A的坐标为A（2，3），即可得出B点的坐标为（+2，3）.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线（，为常数，）相交于点，
∴当x＞-2时，直线的图象在直线的图象的下边，
∴不等式的解集为x＞-2，
故选：C.
【分析】结合图象得出当x＞-2时，直线的图象在直线的图象的下边，即可得出不等式的解集为x＞-2.
6．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵小水杯中有部分水，
∴刚开始注水时，小水杯水面的高度不为0，
故A和D不符合题意；
继续注水，小水杯水面的高度先不变，再变大，然后再不变，
故B符合题意，C不符合题意.
故选：B.
【分析】根据题意得出刚开始注水时，小水杯水面的高度不为0，即可判断A和D不符合题意，继续注水，水面不到小水杯时小水杯水面的高度不变，继续注水小水杯水面的高度变大，当水面高于小水杯时小水杯水面的高度不变，即可判断B符合题意，C不符合题意.
7．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，AB=CD=3cm，∠ADC=90°，
∴OA=OD，
∵∠AOD=120°，
∴∠CAD=∠ADB=30°，
∴AC=2CD=6cm.
故填：6.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OD，AB=CD=3cm，∠ADC=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD=30°，即可得出AC=2CD=6cm.
8．【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0.
故填：＞.
【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，得出k＜0，b＜0，即可得出kb＞0.
9．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分）.
故答案为：88.
【分析】根据理论知识得分×所占的比例+创新设计得分×所占的比例+现场展示得分×所占的比例可得综合成绩.
10．【答案】2.5
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∵是的中点，是的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2.5.
故填：2.5.
【分析】根据题意和菱形的性质得出BC=5，再根据三角形中位线定理得出EF=BC=2.5，即可得出EF的长.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FE交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=9，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∵BF=3，
∴AF=6，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC∥AD，∠AFE=90°，
∴四边形BCMF和ADMF是矩形，EF=AF=6，FM=BC=9，
∴DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，
∴DE=.
故填：.
【分析】延长FE交CD于点M，证出四边形BCMF和ADMF是矩形，得出DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，再根据勾股定理求出DE的长，即可得出答案.
12．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法，除法法则进行计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，CD=2，
∴AC2=13，AD2=17，CD2=4，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可得出AC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，利用列式进行计算，即可得出答案.
14．【答案】证明：∵四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是矩形，
∴∠F=90°，
，
，
，
，
∴矩形是正方形．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据矩形的性质得出，根据角平分线的定义得出，再证出四边形是矩形，得出∠F=90°，从而得出，得出，即可证出矩形是正方形．
15．【答案】（1）解：∵ 一次函数 ，随的增大而增大，
∴10-m＞0，
∴；
（2）解：∵m=1，
∴一次函数的解析式为y=9x-1，
当x=时，y=，
当x=2时，y=9×2-1=17，
∴当＜x＜2时，的取值范围是．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，得出当10-m＞0时随的增大而增大，求出m的取值范围，即可得出答案；
（2）把m=1代入一次函数的解析式得出y=9x-1，再求出当x=时和当x=2时y的值，再根据随的增大而增大，即可得出的取值范围.
16．【答案】（1）解：如图①，四边形即为所求；
（2）解：如图②，四边形即为所求；
（3）解：如图③，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）构造以AB为对角线，满足AD=BC=1、BD=AC=3的矩形，
则矩形ACBD的面积为3，
如图①，四边形即为所求；
（2）构造以AB为对角线，满足AC=BC=AD=BD=的正方形，
如图②，四边形即为所求；
（3）构建以AB为对角线，BC=AD=，BD=AC=的平行四边形，
则，
∴，
如图③，四边形即为所求．
【分析】（1）只需要画出以AB为对角线，长和宽分别为1和3的矩形，即可完成作图；
（2）只需要画出以AB为对角线，边长为的正方形，即可完成作图；
（3）只需要画出以AB为对角线，两组对边分别为和的平行四边形，即可完成作图.
17．【答案】（1）解：∵直线：交轴于点，
∴0=6a+3，
∴，
∴直线的解析式为，
∴将直线向下平移4个单位长度得到的直线的解析式为，
令y=0，则，
∴x=-2，
∴；
（2）解：点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）直线，令x=0，则y=-1，
∴C（-1，0），
∵B（-2，0），
∴BC=，
分两种情况讨论：
当BC=CM时，则OM=OB=2，
∴M（2，0）；
当BM=BC时，则MB=，
∴OM=-2，
∴M（-2，0）
综上所述，点M的坐标为（2，0）或（-2，0），
故答案为：点M的坐标为（2，0）或（-2，0）.
【分析】（1）把点A的坐标代入直线I的解析式，列出方程，解方程即可求出a的值；从而得出直线I的解析式，利用平移规律求出平移后直线的解析式，求出与x轴的交点B的坐标，即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标，求出BC=，分两种情况讨论：当BC=CM时，根据等腰三角形的性质得出OM=OB=2，得出M（2，0）；当BM=BC=时，得出OM=-2，得出M（-2，0），即可得出答案.
18．【答案】（1）解：①（辆），
答：第三季度的汽车产量是5000辆；
②∵第一季度产量是：（辆），
第二季度产量是：（辆），
第四季度产量是：（辆），
∴中位数=（辆）；
（2）解：16500更有可信度，因为去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比最低的第三季度达到78%，故全年的比值必然高于78%，则全年的销售辆数高于15600辆．
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】解：①根据第三季度销售汽车3900辆，占比为78%，列式进行计算，即可得出第三季度的汽车总产量为5000辆；
②分别计算出四个季度各自的产量，再根据中位数的定义得出中位数为排序后中间两个数的平均数，列式进行计算，即可得出四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）根据题意得出各季度销量占当季度产量的百分比，其中最低的第三季度该占比都已经达到78%，因此全年总销量占全年总产量的百分比一定会高于78%，算得全年总销量必然高于15600辆，即可得出答案.
19．【答案】（1）证明：是边的中点，
．
，
．
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据线段中点定义得出，根据平行线的性质得出，利用AAS证出，得出，再根据平行四边形的判定定理即可证出四边形是平行四边形；
（2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据等腰三角形的判断得出，得出，再证出
．再根据矩形的判定定理即可证出四边形是矩形．
20．【答案】（1）2；6
（2）解：两车相遇后，设甲车和地的距离与之间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，得，
解得，
∴两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式为；
（3）解：甲车行驶或时，两车相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵ 甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇，
∴甲车行驶路程为200km时两车相遇，
∴m=200÷100=2，
∵甲车再以另一速度继续匀速行驶到达地，
∴n=2+4=6，
故填：2；6；
（3）∵甲车行驶2h，距离地时与乙车相遇， 再以另一速度继续匀速行驶到达地，
∴乙车的速度为240÷2=，相遇后甲车的速度为240÷4=，
分两种情况讨论：
相遇前， 两车相距，则440-100x-120x=80，
解得x=，
相遇后， 两车相距，则60（x-2）+120（x-2）=80，
解得x=，
综上所述，甲车行驶或时，两车相距．
【分析】（1）根据题意得出甲车行驶路程为200km时两车相遇，利用时间=，即可得出m的值；再根据甲车再以另一速度继续匀速行驶到达地，即可得出n的值；
（2）设甲车和地的距离与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出函数的解析式，即可得出答案；
（3）先求出乙车的速度和相遇后甲车的速度，分两种情况讨论：相遇前， 两车相距；相遇后， 两车相距，分别列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：如图，设与交于点，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）7
（3）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，∠B=∠FCD=90°，
∵AE=BF，E是AB的中点，
∴BF=AE=BE=2，
∴CF=2，
在和中，
，
，
，
∴∠DCE+∠CDF=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，
∴，
∵CE=DF=，
∴，
∴CG=，
∵H是GE的中点，
∴GH=EH=，
∴，
故填：7；
（3）如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠DAE=∠ABF=90°，
在和中，
，
，
，
∴DE+DF=AF+DF，
作点A关于BC对称的对称点K，连接FK，DK，
则BK=AB=4，KF=AF，
∴DE+DF=KF+DF，
∴当点D，F，K三点共线时，DE+DF的值最小，最小值为DK的长，
∵，
∴DE+DF的最小值为，
故填：.
【分析】（1）利用ASA证出，再根据全等三角形的性质即可证出；
（2）利用SAS证出，再根据全等三角形的性质得出，从而证出∠CGD=90°，根据三角形的面积公式得出，求出CG的长，再根据线段中点定义求出GH的长，利用列式进行计算，即可得出答案；
（3）连接AF，利用SAS证出，得出，从而得出DE+DF=AF+DF，作点A关于BC对称的对称点K，连接FK，DK，得出BK=AB=4，KF=AF，得出DE+DF=KF+DF，从的得出当点D，F，K三点共线时，DE+DF的值最小，最小值为DK的长，利用勾股定理求出DK的长，即可得出答案.
22．【答案】（1）解：∵∠A=90°，
∴，
∵AC=AB，BC=，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得，CQ=t，
∵四边形是平行四边形，
；
（3）解：如图，当点落在上时，
根据题意得，CQ=t，AP=t，
∴AQ=6-t，
∵∠A=90°，AC=AB，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形是平行四边形，
∴PQ∥BC，
∴∠AQP=∠C=45°，
∴∠APQ=45°=∠AQP，
∴AQ=AP，
∴，
；
（4）解：分两种情况讨论：
如图①，当D不在△ABC外部时，0＜t≤3，此时S=CQ·AP=t2；
如图②，当D在△ABC外部时，，设PD交BC于点E．
∵∠BPE=∠A=90°，∠B=45°，
∴∠PEB=45°=∠B，
∴PE=PB=6-t，
∴，
综上所述，与之间的函数关系式为.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题；用关系式表示变量间的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出，再根据AC=AB，BC=，得出，求出AB=6，即可得出答案；
（2）根据路程=速度×时间得出CQ=t，再根据平行四边形的性质得出，即可得出答案；
（3）根据路程=速度×时间得出CQ=t，AP=t，得出AQ=6-t，根据∠A=90°，AC=AB得出∠C=45°，根据平行四边形的性质得出PQ∥BC，从而得出∠APQ=45°=∠AQP，得出AQ=AP，列出方程，求出t=3，即可得出答案；
（4）分两种情况讨论：当D不在△ABC外部时，0＜t≤3；当D在△ABC外部时，，分别求出与之间的函数关系式，即可得出答案.
1 / 1吉林省松原市2025-2026学年八年级下学期数学期末测试试卷
1．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当，不是最简二次根式，故A不符合题意B、当，，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、当，不是最简二次根式，故C不符合题意
D、当，是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判断即可.
2．如图，为菱形的对角线，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCA=∠DCA，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠BCA=∠DCA=20°，
故选：C.
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠BCA=∠DCA，根据平行线的性质得出∠D+∠DCB=180°，从而得出∠DCB=40°，即可得出∠BCA=20°.
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，，3 C．1，2，3 D．1，，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、1+2=3，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边关系定理，可知C选项中的三条线段不能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理，进行计算，可对A、B、D作出判断.
4．如图，在中，顶点、、的坐标分别为、、，则顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵O（0，0），C（，0），
∴OC=，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC=，
∵A（2，3），
∴B点的坐标为（+2，3），
故选：D.
【分析】先求出OC=，根据平行四边形的性质得出AB∥OC，AB=OC=，再根据点A的坐标为A（2，3），即可得出B点的坐标为（+2，3）.
5．如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线（，为常数，）相交于点，
∴当x＞-2时，直线的图象在直线的图象的下边，
∴不等式的解集为x＞-2，
故选：C.
【分析】结合图象得出当x＞-2时，直线的图象在直线的图象的下边，即可得出不等式的解集为x＞-2.
6．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵小水杯中有部分水，
∴刚开始注水时，小水杯水面的高度不为0，
故A和D不符合题意；
继续注水，小水杯水面的高度先不变，再变大，然后再不变，
故B符合题意，C不符合题意.
故选：B.
【分析】根据题意得出刚开始注水时，小水杯水面的高度不为0，即可判断A和D不符合题意，继续注水，水面不到小水杯时小水杯水面的高度不变，继续注水小水杯水面的高度变大，当水面高于小水杯时小水杯水面的高度不变，即可判断B符合题意，C不符合题意.
7．如图，矩形的对角线、相交于点，，若，则　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，AB=CD=3cm，∠ADC=90°，
∴OA=OD，
∵∠AOD=120°，
∴∠CAD=∠ADB=30°，
∴AC=2CD=6cm.
故填：6.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OD，AB=CD=3cm，∠ADC=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD=30°，即可得出AC=2CD=6cm.
8．若一次函数（是常数）的图象经过第二、三、四象限，则　 　0（填“”或“”）．
【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0.
故填：＞.
【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，得出k＜0，b＜0，即可得出kb＞0.
9．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是　 　分.
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分）.
故答案为：88.
【分析】根据理论知识得分×所占的比例+创新设计得分×所占的比例+现场展示得分×所占的比例可得综合成绩.
10．如图，菱形的周长为20，是的中点，是的中点，连接，则　 　．
【答案】2.5
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∵是的中点，是的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2.5.
故填：2.5.
【分析】根据题意和菱形的性质得出BC=5，再根据三角形中位线定理得出EF=BC=2.5，即可得出EF的长.
11．如图，在正方形中，是对角线上的一点，作于点，连接，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FE交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=9，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∵BF=3，
∴AF=6，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC∥AD，∠AFE=90°，
∴四边形BCMF和ADMF是矩形，EF=AF=6，FM=BC=9，
∴DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，
∴DE=.
故填：.
【分析】延长FE交CD于点M，证出四边形BCMF和ADMF是矩形，得出DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，再根据勾股定理求出DE的长，即可得出答案.
12．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法，除法法则进行计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，CD=2，
∴AC2=13，AD2=17，CD2=4，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可得出AC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，利用列式进行计算，即可得出答案.
14．如图，已知矩形，平分，交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
【答案】证明：∵四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是矩形，
∴∠F=90°，
，
，
，
，
∴矩形是正方形．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据矩形的性质得出，根据角平分线的定义得出，再证出四边形是矩形，得出∠F=90°，从而得出，得出，即可证出矩形是正方形．
15．已知一次函数．
（1）若随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 一次函数 ，随的增大而增大，
∴10-m＞0，
∴；
（2）解：∵m=1，
∴一次函数的解析式为y=9x-1，
当x=时，y=，
当x=2时，y=9×2-1=17，
∴当＜x＜2时，的取值范围是．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，得出当10-m＞0时随的增大而增大，求出m的取值范围，即可得出答案；
（2）把m=1代入一次函数的解析式得出y=9x-1，再求出当x=时和当x=2时y的值，再根据随的增大而增大，即可得出的取值范围.
16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画一个矩形，使其面积为3；
（2）在图②中画一个正方形；
（3）在图③中画一个，使其面积为10．
【答案】（1）解：如图①，四边形即为所求；
（2）解：如图②，四边形即为所求；
（3）解：如图③，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）构造以AB为对角线，满足AD=BC=1、BD=AC=3的矩形，
则矩形ACBD的面积为3，
如图①，四边形即为所求；
（2）构造以AB为对角线，满足AC=BC=AD=BD=的正方形，
如图②，四边形即为所求；
（3）构建以AB为对角线，BC=AD=，BD=AC=的平行四边形，
则，
∴，
如图③，四边形即为所求．
【分析】（1）只需要画出以AB为对角线，长和宽分别为1和3的矩形，即可完成作图；
（2）只需要画出以AB为对角线，边长为的正方形，即可完成作图；
（3）只需要画出以AB为对角线，两组对边分别为和的平行四边形，即可完成作图.
17．如图，直线：交轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交轴、轴于点、．
（1）求的值及点的坐标；
（2）点为线段上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线：交轴于点，
∴0=6a+3，
∴，
∴直线的解析式为，
∴将直线向下平移4个单位长度得到的直线的解析式为，
令y=0，则，
∴x=-2，
∴；
（2）解：点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）直线，令x=0，则y=-1，
∴C（-1，0），
∵B（-2，0），
∴BC=，
分两种情况讨论：
当BC=CM时，则OM=OB=2，
∴M（2，0）；
当BM=BC时，则MB=，
∴OM=-2，
∴M（-2，0）
综上所述，点M的坐标为（2，0）或（-2，0），
故答案为：点M的坐标为（2，0）或（-2，0）.
【分析】（1）把点A的坐标代入直线I的解析式，列出方程，解方程即可求出a的值；从而得出直线I的解析式，利用平移规律求出平移后直线的解析式，求出与x轴的交点B的坐标，即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标，求出BC=，分两种情况讨论：当BC=CM时，根据等腰三角形的性质得出OM=OB=2，得出M（2，0）；当BM=BC=时，得出OM=-2，得出M（-2，0），即可得出答案.
18．某汽车厂去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比统计图如图所示，根据统计图有关信息解答下列问题．
（1）若第三季度销售汽车3900辆．
①求第三季度的汽车产量；
②若每个季度的汽车生产辆数相同，求四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）已知该厂去年全年生产汽车20000辆，并通过两个不同渠道获得去年全年的汽车销售辆数分别为16500辆和15500辆的信息，请问哪个数据更有可信度？为什么？
【答案】（1）解：①（辆），
答：第三季度的汽车产量是5000辆；
②∵第一季度产量是：（辆），
第二季度产量是：（辆），
第四季度产量是：（辆），
∴中位数=（辆）；
（2）解：16500更有可信度，因为去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比最低的第三季度达到78%，故全年的比值必然高于78%，则全年的销售辆数高于15600辆．
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】解：①根据第三季度销售汽车3900辆，占比为78%，列式进行计算，即可得出第三季度的汽车总产量为5000辆；
②分别计算出四个季度各自的产量，再根据中位数的定义得出中位数为排序后中间两个数的平均数，列式进行计算，即可得出四个季度的汽车销售辆数的中位数；
（2）根据题意得出各季度销量占当季度产量的百分比，其中最低的第三季度该占比都已经达到78%，因此全年总销量占全年总产量的百分比一定会高于78%，算得全年总销量必然高于15600辆，即可得出答案.
19．如图，在中，是边的中点，过点作，交于点．连接、，作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：是边的中点，
．
，
．
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据线段中点定义得出，根据平行线的性质得出，利用AAS证出，得出，再根据平行四边形的判定定理即可证出四边形是平行四边形；
（2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据等腰三角形的判断得出，得出，再证出
．再根据矩形的判定定理即可证出四边形是矩形．
20．已知、两地之间有一条长为的笔直公路，甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿此公路相向而行．甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地，两车和地的距离与甲车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在两车行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
【答案】（1）2；6
（2）解：两车相遇后，设甲车和地的距离与之间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，得，
解得，
∴两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式为；
（3）解：甲车行驶或时，两车相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵ 甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇，
∴甲车行驶路程为200km时两车相遇，
∴m=200÷100=2，
∵甲车再以另一速度继续匀速行驶到达地，
∴n=2+4=6，
故填：2；6；
（3）∵甲车行驶2h，距离地时与乙车相遇， 再以另一速度继续匀速行驶到达地，
∴乙车的速度为240÷2=，相遇后甲车的速度为240÷4=，
分两种情况讨论：
相遇前， 两车相距，则440-100x-120x=80，
解得x=，
相遇后， 两车相距，则60（x-2）+120（x-2）=80，
解得x=，
综上所述，甲车行驶或时，两车相距．
【分析】（1）根据题意得出甲车行驶路程为200km时两车相遇，利用时间=，即可得出m的值；再根据甲车再以另一速度继续匀速行驶到达地，即可得出n的值；
（2）设甲车和地的距离与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出函数的解析式，即可得出答案；
（3）先求出乙车的速度和相遇后甲车的速度，分两种情况讨论：相遇前， 两车相距；相遇后， 两车相距，分别列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
21．【问题原型】华师版数学教材八年级下册第141页有这样一道题：
（1）如图①，在正方形中，，求证：；
请你完成这一问题的证明过程；
（2）【问题应用】在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
如图②，连接、交于点，为的中点，连接、．当为的中点时，四边形的面积为　 　；
（3）如图③，连接、，当点在边上运动时，的最小值为　 　．
【答案】（1）证明：如图，设与交于点，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）7
（3）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，∠B=∠FCD=90°，
∵AE=BF，E是AB的中点，
∴BF=AE=BE=2，
∴CF=2，
在和中，
，
，
，
∴∠DCE+∠CDF=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，
∴，
∵CE=DF=，
∴，
∴CG=，
∵H是GE的中点，
∴GH=EH=，
∴，
故填：7；
（3）如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠DAE=∠ABF=90°，
在和中，
，
，
，
∴DE+DF=AF+DF，
作点A关于BC对称的对称点K，连接FK，DK，
则BK=AB=4，KF=AF，
∴DE+DF=KF+DF，
∴当点D，F，K三点共线时，DE+DF的值最小，最小值为DK的长，
∵，
∴DE+DF的最小值为，
故填：.
【分析】（1）利用ASA证出，再根据全等三角形的性质即可证出；
（2）利用SAS证出，再根据全等三角形的性质得出，从而证出∠CGD=90°，根据三角形的面积公式得出，求出CG的长，再根据线段中点定义求出GH的长，利用列式进行计算，即可得出答案；
（3）连接AF，利用SAS证出，得出，从而得出DE+DF=AF+DF，作点A关于BC对称的对称点K，连接FK，DK，得出BK=AB=4，KF=AF，得出DE+DF=KF+DF，从的得出当点D，F，K三点共线时，DE+DF的值最小，最小值为DK的长，利用勾股定理求出DK的长，即可得出答案.
22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点、同时出发，以、为邻边作，设点运动的时间为（秒），与重叠部分的面积为（平方单位）．
（1）求的长；
（2）求的长（用含的代数式表示）；
（3）当点落在上时，求的值；
（4）求与之间的函数关系式．
【答案】（1）解：∵∠A=90°，
∴，
∵AC=AB，BC=，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得，CQ=t，
∵四边形是平行四边形，
；
（3）解：如图，当点落在上时，
根据题意得，CQ=t，AP=t，
∴AQ=6-t，
∵∠A=90°，AC=AB，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形是平行四边形，
∴PQ∥BC，
∴∠AQP=∠C=45°，
∴∠APQ=45°=∠AQP，
∴AQ=AP，
∴，
；
（4）解：分两种情况讨论：
如图①，当D不在△ABC外部时，0＜t≤3，此时S=CQ·AP=t2；
如图②，当D在△ABC外部时，，设PD交BC于点E．
∵∠BPE=∠A=90°，∠B=45°，
∴∠PEB=45°=∠B，
∴PE=PB=6-t，
∴，
综上所述，与之间的函数关系式为.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题；用关系式表示变量间的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出，再根据AC=AB，BC=，得出，求出AB=6，即可得出答案；
（2）根据路程=速度×时间得出CQ=t，再根据平行四边形的性质得出，即可得出答案；
（3）根据路程=速度×时间得出CQ=t，AP=t，得出AQ=6-t，根据∠A=90°，AC=AB得出∠C=45°，根据平行四边形的性质得出PQ∥BC，从而得出∠APQ=45°=∠AQP，得出AQ=AP，列出方程，求出t=3，即可得出答案；
（4）分两种情况讨论：当D不在△ABC外部时，0＜t≤3；当D在△ABC外部时，，分别求出与之间的函数关系式，即可得出答案.
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