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四川省内江市2026年中考数学试题
1．2的相反数是 （　　）
A．-2 B．2 C． D．
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在 200000000 吨以上，将 200000000 用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．下列图形中，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
4．某校开展主题为“防溺水，保安全”的演讲比赛活动，六名参赛者的得分情况如下：9.0、9.2、9.4、9.2、9.2、8.9，这组数据中的众数是(　　)
A．8.9 B．9.0 C．9.2 D．9.4
5．下列实数中，能使函数 有意义的x的值是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
6．如图，若AB∥CD， ∠A=80°， ∠E=36°，则∠C的度数为(　　)
A．36° B．44° C．50° D．54°
7．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲.小林、小明两人在小青龙河 6 千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的 1.2倍，小林比小明早 15 分钟走完全程.设小明的速度为 x 千米/时，则符合题意的方程是 (　　)
A． B． C． D．
9．如图， 在△ABC中， DE∥BC， 若AD：AB=1∶3， 则△ADE与△ABC'的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
10．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆ 例如： 则方程2☆x=3的根的情况为 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　)
A．36° B．45° C．60° D．72°
12．如图，二次函数 的图象经过点A(1，0)、B(5，0)， 下列说法正确的是 (　　)
A．c>0 B．4a-2b+c<0
C． D．图象的对称轴是直线x=2
13．因式分解： =　 　；
14．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为 12，则该圆锥母线AB的长为　 　.
15．如图，在平行四边形ABCD(BC>AB)中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AD于点N；②分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在. 的内部相交于点E；③连接AE并延长交线段BC于点F，若CD=6，CF=2，则平行四边形ABCD的周长为　 　.
16．南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”.图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 第三个数记为 …，第n个数记为 an，则 　 　．
17．若实数m、n满足m-2n-2=0，则代数式2m-4n+6的值为　 　.
18．若关于x的方程2x-m=3(x+1)的解是负数，且一次函数y=(m-2)x-4中，函数值y随x的增大而减小，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　.
19．如图，将反比例函数 的图象绕点O顺时针旋转 旋转后的图象与x轴交于点A(6，0)， 则k=　 　.
20．在边长为 6 的正方形ABCD中，点P 、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且 则PQ的最小值为　 　.
21．按要求解答下列各题：
（1） 计算：
（2） 化简：
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F是DC的中点，连接AF 并延长交BC的延长线于点E.
（1） 求证： △ADF≌△ECF；
（2）若CE=BC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
23．为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
24．某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像(如图甲).某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°.雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC，求孔子雕像的高度AB.(结果保留根号)
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数. 的图象与反比例函数 的图象相交于点A(2，6)和点B(-4，m).
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
（3） 已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为 15，求点C的坐标.
26．某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售.甲种衬衣每件进价100元，售价160元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元.现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60件.设购进甲种衬衣x件，两种衬衣全部售完，商场可获利y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案
（3）在(2)的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a元(027．如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交AB于点F.
（1） 如图 1，过点D作DM⊥AC于点 M.
①求证： DM是⊙O的切线；
②若∠CED=30°， AB=6，求阴影部分的面积；
（2） 如图 2， 连接BE， 若 求AE的值.
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3).
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图 2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线y=kx+k-1(k为常数)交抛物线于E、F两点 (点E、F分别在抛物线对称轴的两侧)，直线NF交x轴于点 P，直线NE交x轴于点Q.试探究MP·MQ是否为定值 若为定值，求出MP·MQ的值；若不是定值，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数。
【解答】2的相反数是-2，
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相反数的定义，即可完成。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵出现 次，出现 次，出现 次，出现 次，
∴是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是．
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案．
5．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出 的取值范围，再判断选项即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠EFD的度数，然后根据三角形的外角解答即可.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式的法则逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小明的速度为 千米/时，则小林的速度为千米/时，
由题意得，．
故答案为：C.
【分析】设小明的速度为 千米/时，则小林的速度为千米/时，根据“ 小林比小明早 15 分钟走完全程 ”列方程即可.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据新定义，将转化为一元二次方程的一般式，再计算根的判别式的值，判断根的情况解答．
11．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据正五边形的性质求得中心角，然后根据圆周角定理解答即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由函数图象知抛物线与 轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意；
当时，，即，故选项B符合题意；
由图象知抛物线与 轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与y轴交点位置得到c的取值范围判断A；根据图象得到x=-2时函数值为负值判断B；根据抛物线与x轴交点的个数判断C；根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴判断D即可.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
14．【答案】13
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设，
∵圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴该圆锥的底面圆的周长为，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：13.
【分析】圆锥的侧面展开扇形的弧长与底面圆的周长相等求出OB长，然后根据勾股定理求出 的长即可．
15．【答案】28
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，平分，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴，，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴平行四边形 的周长为．
故答案为：28.
【分析】由作图可得平分，利用平行四边形的性质以和角平分线的定义得到，即可得到，然后求出周长即可．
16．【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：由题意可知：
．
故答案为：.
【分析】根据杨辉三角中数的排列可得规律为，即可得到 ，然后根据裂项相消法计算即可．
17．【答案】10
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴．
故答案为：10.
【分析】原式化为m-2n=2，然后将代数式变形为2(m-2n)+6，然后整体代入计算即可．
18．【答案】-2
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系；解系数含参的一元一次方程；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：解方程 ，得，
∵方程的解是负数，
∴，
解得，
∵一次函数中，函数值 随 的增大而减小，
∴，
解得，
∴ 的取值范围是，
∴符合条件的整数 为，
∴所有满足条件的整数 的值之和为．
故答案为：-2.
【分析】先解一元一次方程求出x的值，根据解为负数得到，再根据一次函数的增减性得到，得到整数 的值，求和即可．
19．【答案】18
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作出点 旋转前的对应点 ，，
∵，
∴，
过点 作轴于点 ，
∴，
∴，
把代入，得．
故答案为：18.
【分析】作出点 旋转前的对应点 ，根据旋转可得，过点 作轴于点 ，利用勾股定理求出，得到点 的坐标，代入解析式求出k的值即可．
20．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点 ，交于点 ，
∵正方形 ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
∴，，
在中，
由勾股定理得
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点作于点 ，交于点 ，设，根据勾股定理和线段的和差得到，，在中，利用勾股定理可得，根据二次函数的顶点坐标得到最值即可．
21．【答案】（1）解：
=-2-1+4-1
=-4；
（2）解：
=-1.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先运算绝对值、零次幂、乘方，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可；
（2）根据同分母分式的加减，分母不变，分子先加减计算，然后约分即可.
22．【答案】（1）证明：∵点F是DC的中点，
∴DF=CF
∵AD∥BC
∴∠E=∠DAF
∵∠AFD=∠EFC
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
由(1)知△AFD≌△EFC，
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC，
∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，然后等量代换得到AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可.
23．【答案】（1）解：50；
C等级的学生人数为名，
（2）72
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有 2 种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
故答案为：50；
解：由（1）得，；
故答案为：72；
【分析】（1）用B等级的学生人数除以占比求出调查人数，再用调查人数减去其它等级人数求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以C等级人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
24．【答案】解：设AB= xm，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°；
在Rt△ABD中， ∠ABD=90°， ∠ADB=60°，
在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， ∠ACB=45°，
∵CD=BC-BD=12m，
解得
答：孔子雕像的高度AB为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AB= xm，根据正切的定义表示BD和CD长，然后列方程求出x的值解答即可.
25．【答案】（1）解：把点A(2，6)代入反比例函数的表达式得
∴反比例函数的表达式为
把点B(-4，m)代入 得
∴m=-3，
∴点 B 的坐标为(-4，-3)，
把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数的表达式得
∴一次函数的表达式为
（2）-4≤x<0或x≥2
（3）解：如图所示，设直线 AB 交 x 轴于点 D，
在 中，当y=0时， 解得x=-2，
∴点 D 的坐标为(-2，0)，
∴点 C 的横坐标为 或点 C 的横坐标为
∴点 C 的坐标为 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可得关于x的不等式 的解集为-4≤x<0或x≥2；
故答案为：-4≤x<0或x≥2；
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方和交点处的自变量取值范围解答即可；
（3）设直线 交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长，进而得到点C的坐标．
26．【答案】（1）解：设购进甲种衬衣x件，则购进乙种衬衣(100-x)件，
甲每件利润为160-100=60元， 乙每件利润为120-80=40元，
根据题意得y=60x+40(100-x)=20x+4000
由题意得x≥60， 100-x≥0，
因此60≤x≤100， 且x为整数；
（2）解：根据题意，可得100x+80(100-x)≤9300，
整理得20x≤1300，
解得x≤65，
∵x≥60，且x为正整数，
∴60≤x≤65，
x的取值为60，61，62，63，64，65，对应乙的数量为40，39，38，37，36，35，
因此共有6种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60件，乙种衬衣40件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣39件；③购进甲种衬衣62件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37件；⑤购进甲种衬衣64件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35件；
（3）解：根据题意，调价后甲每件利润为(60-a)元，乙每件利润仍为40元，
∴利润y=(60-a)x+40(100-x)=(20-a)x+4000，
①当00，
∴y随x的增大而增大，
∵60≤x≤65，
∴当x=65时，利润有最大，此时(20-a)×65+4000=4650，
解得a=10；
②当a=20时， y=4000≠4650，不符合题意；
③当20∴y随x的增大而减小，
∵60≤x≤65，
∴当x=60时，利润有最大，此时(20-a)×60+4000=4650，解得 不符合题意；
综上可得：最大利润为4650元时a的值为10.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购进甲种衬衣 件，则购进乙种衬衣件，根据“总利润 甲的利润乙的利润”列函数关系式即可；
根据“总费用不超过元”列不等式，求出x的取值范围，根据x的整数解得到方案解答即可；
根据题意调价后甲每件利润为元，求出利润y关于x的函数解析式，分情况根据一次函数增减性得到最大利润，列方程求出a的值即可．
27．【答案】（1）解：①证明： 如图 1 所示，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD， 即点 D 为BC的中点，
又∵点 O 为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
②解： 如图 1 所示， 连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∴∠AOD=2∠AED=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵点 O 为AB的中点，
（2）解：如图 2 所示，取AC的中点 T，连接DT，
由 (1)可得点 D 为BC的中点，
∴DT为△ABC的中位线，
∴DT∥AB，
设AE=x， AT=CT=2x， 则AC=AT+CT=4x，
∴AB=AC=4x；
∵AB是⊙O的直径，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
解得x=2或x=-2 (舍去) ，
∴AE=2.
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三线合一得到点D为的中点，即可得到是 的中位线，进而可得，即可证明，得到结论即可；
②根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，根据正弦的定义求出BD长，然后根据计算即可；
（2）取 的中点T，连接，即可得到为 的中位线，进而可得，根据平行线分线段成比例可得；设，则，在Rt△ABE中根据勾股定理得求出x的值即可．
28．【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A(3，0)、B(1，0)两点，
∵抛物线与y轴交于点C(0，3)
∴-3a=-3，
解得a=1
∴抛物线的表达式为
（2）解：过点D作DT∥y轴，交AC于点T，
设直线AC：y= px+q，
代入A(-3，0)， C(0，-3)可得，
解得
∴直线AC：y=-x-3
∴当△ACD面积最大时，四边形ABCD面积最大，
设 则T(d，-d-3)
即
∴当 时，△ACD的面积最大为
∴四边形ABCD面积最大值为
∴此时点D纵坐标为
∴点D 的坐标为
（3）解：MP·MQ是定值，
如图，不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线
∴顶点N(-1，-4)
∴M(-1，0)
设
联立直线y=kx+k-1与抛物线
则
整理得，
设直线 则
解得
∴直线NE：y=(x1+1)x+x1-3
令y=0， 则 解得
同理可得
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）过点 作轴，交 于点，根据待定系数法求直线AC的解析式，根据可得面积最大时，四边形 面积最大，设（），则，再根据，得到，配方为顶点式，利用二次函数的顶点坐标求出最大值解答即可；
（3）不妨设点 、 分别位于对称轴的左右两侧，化为顶点式求出定点，进而可得M的坐标，设，，联立直线与抛物线，整理得，，根据根与系数的关系得到，利用待定系数法求直线NE的解析式，然后求出直线NE与坐标轴的交点P，Q的坐标，进而表示MQ和PM的值，代入求乘积即可．
1 / 1四川省内江市2026年中考数学试题
1．2的相反数是 （　　）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数。
【解答】2的相反数是-2，
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相反数的定义，即可完成。
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在 200000000 吨以上，将 200000000 用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列图形中，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，据此解答即可.
4．某校开展主题为“防溺水，保安全”的演讲比赛活动，六名参赛者的得分情况如下：9.0、9.2、9.4、9.2、9.2、8.9，这组数据中的众数是(　　)
A．8.9 B．9.0 C．9.2 D．9.4
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵出现 次，出现 次，出现 次，出现 次，
∴是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是．
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案．
5．下列实数中，能使函数 有意义的x的值是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出 的取值范围，再判断选项即可．
6．如图，若AB∥CD， ∠A=80°， ∠E=36°，则∠C的度数为(　　)
A．36° B．44° C．50° D．54°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠EFD的度数，然后根据三角形的外角解答即可.
7．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式的法则逐项判断即可.
8．内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲.小林、小明两人在小青龙河 6 千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的 1.2倍，小林比小明早 15 分钟走完全程.设小明的速度为 x 千米/时，则符合题意的方程是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小明的速度为 千米/时，则小林的速度为千米/时，
由题意得，．
故答案为：C.
【分析】设小明的速度为 千米/时，则小林的速度为千米/时，根据“ 小林比小明早 15 分钟走完全程 ”列方程即可.
9．如图， 在△ABC中， DE∥BC， 若AD：AB=1∶3， 则△ADE与△ABC'的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
10．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆ 例如： 则方程2☆x=3的根的情况为 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据新定义，将转化为一元二次方程的一般式，再计算根的判别式的值，判断根的情况解答．
11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　)
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据正五边形的性质求得中心角，然后根据圆周角定理解答即可．
12．如图，二次函数 的图象经过点A(1，0)、B(5，0)， 下列说法正确的是 (　　)
A．c>0 B．4a-2b+c<0
C． D．图象的对称轴是直线x=2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由函数图象知抛物线与 轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意；
当时，，即，故选项B符合题意；
由图象知抛物线与 轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与y轴交点位置得到c的取值范围判断A；根据图象得到x=-2时函数值为负值判断B；根据抛物线与x轴交点的个数判断C；根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴判断D即可.
13．因式分解： =　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
14．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为 12，则该圆锥母线AB的长为　 　.
【答案】13
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设，
∵圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴该圆锥的底面圆的周长为，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：13.
【分析】圆锥的侧面展开扇形的弧长与底面圆的周长相等求出OB长，然后根据勾股定理求出 的长即可．
15．如图，在平行四边形ABCD(BC>AB)中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AD于点N；②分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在. 的内部相交于点E；③连接AE并延长交线段BC于点F，若CD=6，CF=2，则平行四边形ABCD的周长为　 　.
【答案】28
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，平分，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴，，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴平行四边形 的周长为．
故答案为：28.
【分析】由作图可得平分，利用平行四边形的性质以和角平分线的定义得到，即可得到，然后求出周长即可．
16．南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”.图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 第三个数记为 …，第n个数记为 an，则 　 　．
【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：由题意可知：
．
故答案为：.
【分析】根据杨辉三角中数的排列可得规律为，即可得到 ，然后根据裂项相消法计算即可．
17．若实数m、n满足m-2n-2=0，则代数式2m-4n+6的值为　 　.
【答案】10
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴．
故答案为：10.
【分析】原式化为m-2n=2，然后将代数式变形为2(m-2n)+6，然后整体代入计算即可．
18．若关于x的方程2x-m=3(x+1)的解是负数，且一次函数y=(m-2)x-4中，函数值y随x的增大而减小，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　.
【答案】-2
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系；解系数含参的一元一次方程；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：解方程 ，得，
∵方程的解是负数，
∴，
解得，
∵一次函数中，函数值 随 的增大而减小，
∴，
解得，
∴ 的取值范围是，
∴符合条件的整数 为，
∴所有满足条件的整数 的值之和为．
故答案为：-2.
【分析】先解一元一次方程求出x的值，根据解为负数得到，再根据一次函数的增减性得到，得到整数 的值，求和即可．
19．如图，将反比例函数 的图象绕点O顺时针旋转 旋转后的图象与x轴交于点A(6，0)， 则k=　 　.
【答案】18
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作出点 旋转前的对应点 ，，
∵，
∴，
过点 作轴于点 ，
∴，
∴，
把代入，得．
故答案为：18.
【分析】作出点 旋转前的对应点 ，根据旋转可得，过点 作轴于点 ，利用勾股定理求出，得到点 的坐标，代入解析式求出k的值即可．
20．在边长为 6 的正方形ABCD中，点P 、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且 则PQ的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点 ，交于点 ，
∵正方形 ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
∴，，
在中，
由勾股定理得
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点作于点 ，交于点 ，设，根据勾股定理和线段的和差得到，，在中，利用勾股定理可得，根据二次函数的顶点坐标得到最值即可．
21．按要求解答下列各题：
（1） 计算：
（2） 化简：
【答案】（1）解：
=-2-1+4-1
=-4；
（2）解：
=-1.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先运算绝对值、零次幂、乘方，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可；
（2）根据同分母分式的加减，分母不变，分子先加减计算，然后约分即可.
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F是DC的中点，连接AF 并延长交BC的延长线于点E.
（1） 求证： △ADF≌△ECF；
（2）若CE=BC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵点F是DC的中点，
∴DF=CF
∵AD∥BC
∴∠E=∠DAF
∵∠AFD=∠EFC
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
由(1)知△AFD≌△EFC，
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC，
∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，然后等量代换得到AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可.
23．为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
【答案】（1）解：50；
C等级的学生人数为名，
（2）72
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有 2 种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
故答案为：50；
解：由（1）得，；
故答案为：72；
【分析】（1）用B等级的学生人数除以占比求出调查人数，再用调查人数减去其它等级人数求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以C等级人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
24．某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像(如图甲).某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°.雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC，求孔子雕像的高度AB.(结果保留根号)
【答案】解：设AB= xm，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°；
在Rt△ABD中， ∠ABD=90°， ∠ADB=60°，
在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， ∠ACB=45°，
∵CD=BC-BD=12m，
解得
答：孔子雕像的高度AB为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AB= xm，根据正切的定义表示BD和CD长，然后列方程求出x的值解答即可.
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数. 的图象与反比例函数 的图象相交于点A(2，6)和点B(-4，m).
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
（3） 已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为 15，求点C的坐标.
【答案】（1）解：把点A(2，6)代入反比例函数的表达式得
∴反比例函数的表达式为
把点B(-4，m)代入 得
∴m=-3，
∴点 B 的坐标为(-4，-3)，
把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数的表达式得
∴一次函数的表达式为
（2）-4≤x<0或x≥2
（3）解：如图所示，设直线 AB 交 x 轴于点 D，
在 中，当y=0时， 解得x=-2，
∴点 D 的坐标为(-2，0)，
∴点 C 的横坐标为 或点 C 的横坐标为
∴点 C 的坐标为 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可得关于x的不等式 的解集为-4≤x<0或x≥2；
故答案为：-4≤x<0或x≥2；
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方和交点处的自变量取值范围解答即可；
（3）设直线 交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长，进而得到点C的坐标．
26．某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售.甲种衬衣每件进价100元，售价160元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元.现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60件.设购进甲种衬衣x件，两种衬衣全部售完，商场可获利y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案
（3）在(2)的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a元(0【答案】（1）解：设购进甲种衬衣x件，则购进乙种衬衣(100-x)件，
甲每件利润为160-100=60元， 乙每件利润为120-80=40元，
根据题意得y=60x+40(100-x)=20x+4000
由题意得x≥60， 100-x≥0，
因此60≤x≤100， 且x为整数；
（2）解：根据题意，可得100x+80(100-x)≤9300，
整理得20x≤1300，
解得x≤65，
∵x≥60，且x为正整数，
∴60≤x≤65，
x的取值为60，61，62，63，64，65，对应乙的数量为40，39，38，37，36，35，
因此共有6种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60件，乙种衬衣40件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣39件；③购进甲种衬衣62件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37件；⑤购进甲种衬衣64件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35件；
（3）解：根据题意，调价后甲每件利润为(60-a)元，乙每件利润仍为40元，
∴利润y=(60-a)x+40(100-x)=(20-a)x+4000，
①当00，
∴y随x的增大而增大，
∵60≤x≤65，
∴当x=65时，利润有最大，此时(20-a)×65+4000=4650，
解得a=10；
②当a=20时， y=4000≠4650，不符合题意；
③当20∴y随x的增大而减小，
∵60≤x≤65，
∴当x=60时，利润有最大，此时(20-a)×60+4000=4650，解得 不符合题意；
综上可得：最大利润为4650元时a的值为10.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购进甲种衬衣 件，则购进乙种衬衣件，根据“总利润 甲的利润乙的利润”列函数关系式即可；
根据“总费用不超过元”列不等式，求出x的取值范围，根据x的整数解得到方案解答即可；
根据题意调价后甲每件利润为元，求出利润y关于x的函数解析式，分情况根据一次函数增减性得到最大利润，列方程求出a的值即可．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交AB于点F.
（1） 如图 1，过点D作DM⊥AC于点 M.
①求证： DM是⊙O的切线；
②若∠CED=30°， AB=6，求阴影部分的面积；
（2） 如图 2， 连接BE， 若 求AE的值.
【答案】（1）解：①证明： 如图 1 所示，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD， 即点 D 为BC的中点，
又∵点 O 为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
②解： 如图 1 所示， 连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∴∠AOD=2∠AED=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵点 O 为AB的中点，
（2）解：如图 2 所示，取AC的中点 T，连接DT，
由 (1)可得点 D 为BC的中点，
∴DT为△ABC的中位线，
∴DT∥AB，
设AE=x， AT=CT=2x， 则AC=AT+CT=4x，
∴AB=AC=4x；
∵AB是⊙O的直径，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
解得x=2或x=-2 (舍去) ，
∴AE=2.
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三线合一得到点D为的中点，即可得到是 的中位线，进而可得，即可证明，得到结论即可；
②根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，根据正弦的定义求出BD长，然后根据计算即可；
（2）取 的中点T，连接，即可得到为 的中位线，进而可得，根据平行线分线段成比例可得；设，则，在Rt△ABE中根据勾股定理得求出x的值即可．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3).
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图 2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线y=kx+k-1(k为常数)交抛物线于E、F两点 (点E、F分别在抛物线对称轴的两侧)，直线NF交x轴于点 P，直线NE交x轴于点Q.试探究MP·MQ是否为定值 若为定值，求出MP·MQ的值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A(3，0)、B(1，0)两点，
∵抛物线与y轴交于点C(0，3)
∴-3a=-3，
解得a=1
∴抛物线的表达式为
（2）解：过点D作DT∥y轴，交AC于点T，
设直线AC：y= px+q，
代入A(-3，0)， C(0，-3)可得，
解得
∴直线AC：y=-x-3
∴当△ACD面积最大时，四边形ABCD面积最大，
设 则T(d，-d-3)
即
∴当 时，△ACD的面积最大为
∴四边形ABCD面积最大值为
∴此时点D纵坐标为
∴点D 的坐标为
（3）解：MP·MQ是定值，
如图，不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线
∴顶点N(-1，-4)
∴M(-1，0)
设
联立直线y=kx+k-1与抛物线
则
整理得，
设直线 则
解得
∴直线NE：y=(x1+1)x+x1-3
令y=0， 则 解得
同理可得
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）过点 作轴，交 于点，根据待定系数法求直线AC的解析式，根据可得面积最大时，四边形 面积最大，设（），则，再根据，得到，配方为顶点式，利用二次函数的顶点坐标求出最大值解答即可；
（3）不妨设点 、 分别位于对称轴的左右两侧，化为顶点式求出定点，进而可得M的坐标，设，，联立直线与抛物线，整理得，，根据根与系数的关系得到，利用待定系数法求直线NE的解析式，然后求出直线NE与坐标轴的交点P，Q的坐标，进而表示MQ和PM的值，代入求乘积即可．
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