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四川省眉山市2026年中考数学真题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-6的绝对值为6.
故答案为：C.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，据此可求解.
2．眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：76000=7.6×104.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a+2）=a2+4a+4，故A不符合题意；
B、（-2ab2）3=-8a3b6，故B不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D、2ab+3ba=5ab，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式可对A作出判断；利用积的乘方法进行计算，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C、D作出判断.
4．我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为，，，，，则这组数据的众数和中位数是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排序为：86，88，90，90，91，
一共5个数据，90出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为90；
处于最中间的数是90，
∴这组数据的中位数是90.
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；然后求出已知数据的中位数和众数.
5．如图，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵m∥n，
∴∠1=∠4=45°，
∵∠3=∠2+∠4，
∴∠3=45°+25°=70°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠3的度数.
6．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠B=∠BAF=50°，
∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-50°-50°=80°，
∴∠CAF=∠AFB-∠C=80°-60°=20°.
故答案为：B.
【分析】利用作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质和等边对等角可求出∠BAF的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AFB的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠CAF的度数.
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两， 根据题意得
故答案为：A.
【分析】抓住关键已知条件：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重；这里包含两个等量关系，据此可得到关于x、y的方程组.
8．如图，菱形中，对角线与相交于点O，，，点P为线段上的一个动点（不与端点重合），过点P作于点M，于点N，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接OP，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，CO=AC=3，BO=BD=4，
∴∠BOC=90°，
∴；
∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠ONP=∠OMP=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴OP=MN，
要求MN的最小值，就是求OP的最小值，
∴当OP⊥BC时，OP的值最小，
∵，
∴
解之：
∴MN的最小值为.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用菱形的性质可求出OB、OC的长，利用勾股定理求出BC的长，再证明四边形OMPN是矩形，利用矩形的性质可证得MN=OP；要求MN的最小值，就是求OP的最小值，利用垂线段最短，可知当OP⊥BC时，OP的值最小；然后利用三角形的面积公式求出OP的长，即可求解.
9．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，AD∥BC，
∵EM⊥AF ，
∴∠ANE=∠ANM=∠ENF=90° ，
∴∠ABC=∠ANE ，
∵AE 平分∠BAF，
∴∠BAE=∠NAE，
在△ABE和△ANE中，
∴△ABE≌△ANE（AAS）
∴AB=AN=6，BE=NE=2，
设EF=x ，
∴BF=BE+EF=x+2，
∵∠ENF=∠ABC=90° ，∠EFN=∠AFB ，
∴△EFN∽△AFB ，
∴，
∴AF=3EF=3x，NF=BF=，
∵AF=AN+NF，
∴
解之：；
∴，
∵AD∥BC，
∴△EFN∽△MAN ，
∴即
解之：MN=8 ，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的概念易证∠ABC=∠ANE，∠BAE=∠NAE，利用AAS可证得△ABE≌△ANE，利用全等三角形的性质可求出AN、EN的长；设EF=x ，可表示出BF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似易证△EFN∽△AFB ，利用相似三角形的性质可表示出AF、NF的长，根据AF=AN+NF，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到NF的长；由AD∥BC可证得△EFN∽△MAN ，利用相似三角形的性质可求出MN的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AMN的面积.
10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上， 顶点坐标
∴a＞0，，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）
∴a-b+c=0
∴a+2a+c=0
∴c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点在，之间（包含端点），
∴-3≤c≤-2，
∴-3≤-3a≤-2，
解之：，故②正确；
∵当x=1时y有最小值为y=a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c
∴对于任意实数，故 ③正确；
∵当x=1时y的最小值为n，
∴直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，
∴ 关于x的方程 没有实数根，故④错误；
∴正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的开口方向及顶点坐标可得到a的取值范围，同时可得到b=-2a，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点，可推出c=-3a，再根据抛物线与y轴的交点情况，可得到c和a的关系式，据此可求出a的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的最值，可对③作出判断；当x=1时y的最小值为n，可得到直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，可得到关于x的方程的根的情况，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．如图，，，，，则的长度是　 　．
【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即
∴
解之：DF=15.
故答案为：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可求出DF的长.
13．若方程的两个根是，，则的值为　 　．
【答案】-12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，，
∴x1+x2=4，x1x2=-3
∴原式=x1x2（x1+x2）=-3×4=-12.
故答案为：-12.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，然后将原式转化为x1x2（x1+x2），整体代入求值即可.
14．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的值为　 　．
【答案】-1，1
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得x≥1
∵不等式组无解，
∴m≤1，
∵关于的分式方程的解为正数，
∴1-x+m=x-1
解之：，
∴且
解之：m＞-2且m≠0，
综上所述，m的取值范围为：-2＜m≤1且m≠0，
∴符合条件的整数m的值为-1，1.
故答案为：-1，1.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组无解，可得到m的取值范围；再求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数及分母不等于0，可得到关于m的不等式组，求出m的取值范围；综上所述可得到m的取值范围，然后求出整数m的值即可.
15．如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AE=AB-BE=9-3=6，
∵ 将沿翻折，点 的对应点为点，
∴EB=EB'=3，
在AE上取点H，使得，连接HG，DH，
∴，
∴，
∵∠HAG=∠B'AE，
∴△AHG∽△AEB'，
∴
∴
解之：HG=2，
∵点H是定点，HG的长是定值为2，
∴点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当点G在线段DH上时，DG的长最小，最小值就是DH-HG，
∴，
∴DG的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知可求出AE的长，利用折叠的性质可得到EB'的长，在AE上取点H，使得，连接HG，DH，可求出AH的长，利用SAS可证得△AHG∽△AEB'，利用相似三角形的性质可求出HG的长；由此可证得点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，可推出当点G在线段DH上时，DG的长最小，最小值就是DH-HG，利用勾股定理求出DH的长，可得到DG的最小值.
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时利用乘法运算法则进行计算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
17．先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】解：
，
∵ ， ，且，
∴ ，
∴ ，，
∴原式
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简；再利用几个非负数之和为0，每一个数都为0，可求出a、b的值；然后将a、b的值代入化简后的代数式进行计算.
18．为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数是　 　人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为　 　°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
【答案】（1）120；36；720
（2）解：喜欢A种课程的人数为（人），
喜欢C种课程的人数（人），
补全条形统计图如图所示
（3）列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
共12种情况，其中恰好选到甲和乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选到甲和乙两位同学的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）解：∵参加问卷调查的学生中喜欢B种课程的有42人，占被调查人数的，
∴参加问卷调查的学生人数是（人）．
∵喜欢D种课程的有12人，占被调查人数的百分比为
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为，
∴喜欢C种课程的人数占被调查人数的百分比为，
∴估计全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数约为（人）
故答案为：120；36；720.
【分析】（1）由喜欢B种课程的人数除以其所占百分比，列式计算可得总人数；用360° 乘以喜欢D种课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数，求出喜欢C种课程的人数所占百分比后，再乘以总人数2400即可求出全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数.
（2）分别列式计算求出喜欢A种课程的人数和喜欢C种课程的人数，再补全条形统计图即可．
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，先画表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可.
19．人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，）
【答案】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，，
由题意得，
在中，，即
∴（米），
在中，，即
∴（米）
∵米，
∴（米）
答：桥的长度约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AM⊥CD于点M，过点B作BN⊥CD 于点N ，利用已知条件可得到AM、BN的长，同时可证得AB=MN；再利用解直角三角形求出CM，DN的长，然后求出AB的长.
20．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
又∵点C在上
∴是的切线
（2）解：由（1）得，
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴的半径为
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC ，利用等腰三角形的性质：等边对等角及结合已知条件可证得；再利用圆周角定理的推论可证得∠ACB=90°，由此可推出∠OCF=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）先利用勾股定理求出BC的长再根据角平分线的概念和圆周角定理可求出CD的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DEC∽△AEB，利用相似三角形的性质可求出AB的长，然后求出圆的半径即可.
21．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
（2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每月产量的增长率为，
根据题意列方程得： ，
解得 ， ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答： 每月产量的增长率为
（2）解：设降价元，每天总利润为元，
根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，
∴，
，
当时， 取得最大值，最大值为，
答： 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每月产量的增长率为x ，根据原产量和增长两次后的产量关系列出关于x的方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（2）设降价x 元，每天总利润为y 元，根据总利润= 每件利润销售量×每天的销售量，可得到y关于x的函数解析式，然后利用二次函数的性质可求出结果.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点，
∴，，
∴，，
∴，，
将，代入一次函数，可得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为
（2）或
（3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为，
∴直线所在一次函数的表达式为，
如图，设与轴交于点，与轴交于点，
∴将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴，
∵直线交轴于点，
∴将代入，
∴，
联立平移后直线与反比例函数，得：，
∴，即，
解得或，
∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∵直线平移得到直线，直线和直线平行，
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点
∴不等式的解集为或．
【分析】（1）分别将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m、n的值，可得到点A、B的坐标；然后利用待定系数法求出一次函数的解析式.
（2）利用两函数的交点坐标，点A、B的横坐标，结合函数图象可得到不等式的解集.
（3）利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的直线CD的函数解析式然后，利用函数解析式求出点F、G、E的坐标，将直线CD和反比例函数解析式联立方程组，解方程组求出点C的坐标；然后利用S△ACE=S△FCE=S△FCG+S△FEG求解即可．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标；
（3）点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线
得，
解得，
∴抛物线的表达式为
（2）解：过点关于直线的对称点，连接，
∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，
对于，当时，
∴
∵，对称轴为直线
∴
∴，而
∴，
由对称可得，，
∴
∴
设直线
则，解得
∴直线
设直线
∴
解得
∴直线
联立，
解得
∴点
（3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点，
∵
∴，
过点作轴于点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴；
当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接，
则
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴，
综上：点Q的坐标为或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式和对称轴公式可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点关于直线BC 的对称点，连接BA'，PA'，OA'，根据PA+PO=PA'+PO≥A'O ，故当点A'，P，O 三点共线时，PA+PO 取得最小值，此时点P为A'O 与直线BC 的交点；再利用二次函数解析式求出点C、B的坐标，可证得∠ABA'=90°，同时可求出BA'的长；利用待定系数法求出直线OA'，直线OA，直线BC的函数解析式，然后求出点P的坐标.
（3）分情况讨论：当点在直线上方时，过点作交射线于点，过点作轴于点，利用解直角三角形可求出BG与BC的比值，同时可证得，利用相似三角形的性质可求出HG、BH的长，可得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线CG的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组求出点Q的坐标；当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接，利用解直角三角形可证得，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出BT的长，可得到OT的长，利用待定系数法求出直线CQ的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组求出点Q的坐标；综上所述，可得到符合题意的点Q的坐标.
24．【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与交于点F．
（1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由．
（2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）结论： ，
理由如下：
由旋转得
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ， ，
∴
∴，
在 中， ，
∴，
∴，
同理可求
∵ ，
∴
∴
∴
解得
（3）解：由（1）可得，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得，再证明，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出CE的长，同时可证得∠DCE=90°，利用勾股定理求出DE 的长，然后根据等腰直角三角形求出AE，AB的长 ；利用AA证明△AEF∽△ABD 利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长.
（3）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△MCD∽△MEC，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，结合已知条件可求出DM与FD的比值.
1 / 1四川省眉山市2026年中考数学真题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为，，，，，则这组数据的众数和中位数是（　　）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形中，对角线与相交于点O，，，点P为线段上的一个动点（不与端点重合），过点P作于点M，于点N，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．如图，，，，，则的长度是　 　．
13．若方程的两个根是，，则的值为　 　．
14．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的值为　 　．
15．如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为　 　．
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中，满足．
18．为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数是　 　人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为　 　°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
19．人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，）
20．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
21．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
（2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标；
（3）点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标．
24．【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与交于点F．
（1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由．
（2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-6的绝对值为6.
故答案为：C.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，据此可求解.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：76000=7.6×104.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a+2）=a2+4a+4，故A不符合题意；
B、（-2ab2）3=-8a3b6，故B不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D、2ab+3ba=5ab，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式可对A作出判断；利用积的乘方法进行计算，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C、D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排序为：86，88，90，90，91，
一共5个数据，90出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为90；
处于最中间的数是90，
∴这组数据的中位数是90.
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；然后求出已知数据的中位数和众数.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵m∥n，
∴∠1=∠4=45°，
∵∠3=∠2+∠4，
∴∠3=45°+25°=70°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠3的度数.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠B=∠BAF=50°，
∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-50°-50°=80°，
∴∠CAF=∠AFB-∠C=80°-60°=20°.
故答案为：B.
【分析】利用作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质和等边对等角可求出∠BAF的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AFB的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠CAF的度数.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两， 根据题意得
故答案为：A.
【分析】抓住关键已知条件：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重；这里包含两个等量关系，据此可得到关于x、y的方程组.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接OP，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，CO=AC=3，BO=BD=4，
∴∠BOC=90°，
∴；
∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠ONP=∠OMP=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴OP=MN，
要求MN的最小值，就是求OP的最小值，
∴当OP⊥BC时，OP的值最小，
∵，
∴
解之：
∴MN的最小值为.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用菱形的性质可求出OB、OC的长，利用勾股定理求出BC的长，再证明四边形OMPN是矩形，利用矩形的性质可证得MN=OP；要求MN的最小值，就是求OP的最小值，利用垂线段最短，可知当OP⊥BC时，OP的值最小；然后利用三角形的面积公式求出OP的长，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，AD∥BC，
∵EM⊥AF ，
∴∠ANE=∠ANM=∠ENF=90° ，
∴∠ABC=∠ANE ，
∵AE 平分∠BAF，
∴∠BAE=∠NAE，
在△ABE和△ANE中，
∴△ABE≌△ANE（AAS）
∴AB=AN=6，BE=NE=2，
设EF=x ，
∴BF=BE+EF=x+2，
∵∠ENF=∠ABC=90° ，∠EFN=∠AFB ，
∴△EFN∽△AFB ，
∴，
∴AF=3EF=3x，NF=BF=，
∵AF=AN+NF，
∴
解之：；
∴，
∵AD∥BC，
∴△EFN∽△MAN ，
∴即
解之：MN=8 ，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的概念易证∠ABC=∠ANE，∠BAE=∠NAE，利用AAS可证得△ABE≌△ANE，利用全等三角形的性质可求出AN、EN的长；设EF=x ，可表示出BF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似易证△EFN∽△AFB ，利用相似三角形的性质可表示出AF、NF的长，根据AF=AN+NF，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到NF的长；由AD∥BC可证得△EFN∽△MAN ，利用相似三角形的性质可求出MN的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AMN的面积.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上， 顶点坐标
∴a＞0，，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）
∴a-b+c=0
∴a+2a+c=0
∴c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点在，之间（包含端点），
∴-3≤c≤-2，
∴-3≤-3a≤-2，
解之：，故②正确；
∵当x=1时y有最小值为y=a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c
∴对于任意实数，故 ③正确；
∵当x=1时y的最小值为n，
∴直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，
∴ 关于x的方程 没有实数根，故④错误；
∴正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的开口方向及顶点坐标可得到a的取值范围，同时可得到b=-2a，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点，可推出c=-3a，再根据抛物线与y轴的交点情况，可得到c和a的关系式，据此可求出a的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的最值，可对③作出判断；当x=1时y的最小值为n，可得到直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，可得到关于x的方程的根的情况，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即
∴
解之：DF=15.
故答案为：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可求出DF的长.
13．【答案】-12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，，
∴x1+x2=4，x1x2=-3
∴原式=x1x2（x1+x2）=-3×4=-12.
故答案为：-12.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，然后将原式转化为x1x2（x1+x2），整体代入求值即可.
14．【答案】-1，1
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得x≥1
∵不等式组无解，
∴m≤1，
∵关于的分式方程的解为正数，
∴1-x+m=x-1
解之：，
∴且
解之：m＞-2且m≠0，
综上所述，m的取值范围为：-2＜m≤1且m≠0，
∴符合条件的整数m的值为-1，1.
故答案为：-1，1.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组无解，可得到m的取值范围；再求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数及分母不等于0，可得到关于m的不等式组，求出m的取值范围；综上所述可得到m的取值范围，然后求出整数m的值即可.
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AE=AB-BE=9-3=6，
∵ 将沿翻折，点 的对应点为点，
∴EB=EB'=3，
在AE上取点H，使得，连接HG，DH，
∴，
∴，
∵∠HAG=∠B'AE，
∴△AHG∽△AEB'，
∴
∴
解之：HG=2，
∵点H是定点，HG的长是定值为2，
∴点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当点G在线段DH上时，DG的长最小，最小值就是DH-HG，
∴，
∴DG的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知可求出AE的长，利用折叠的性质可得到EB'的长，在AE上取点H，使得，连接HG，DH，可求出AH的长，利用SAS可证得△AHG∽△AEB'，利用相似三角形的性质可求出HG的长；由此可证得点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，可推出当点G在线段DH上时，DG的长最小，最小值就是DH-HG，利用勾股定理求出DH的长，可得到DG的最小值.
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时利用乘法运算法则进行计算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
17．【答案】解：
，
∵ ， ，且，
∴ ，
∴ ，，
∴原式
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简；再利用几个非负数之和为0，每一个数都为0，可求出a、b的值；然后将a、b的值代入化简后的代数式进行计算.
18．【答案】（1）120；36；720
（2）解：喜欢A种课程的人数为（人），
喜欢C种课程的人数（人），
补全条形统计图如图所示
（3）列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
共12种情况，其中恰好选到甲和乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选到甲和乙两位同学的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）解：∵参加问卷调查的学生中喜欢B种课程的有42人，占被调查人数的，
∴参加问卷调查的学生人数是（人）．
∵喜欢D种课程的有12人，占被调查人数的百分比为
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为，
∴喜欢C种课程的人数占被调查人数的百分比为，
∴估计全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数约为（人）
故答案为：120；36；720.
【分析】（1）由喜欢B种课程的人数除以其所占百分比，列式计算可得总人数；用360° 乘以喜欢D种课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数，求出喜欢C种课程的人数所占百分比后，再乘以总人数2400即可求出全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数.
（2）分别列式计算求出喜欢A种课程的人数和喜欢C种课程的人数，再补全条形统计图即可．
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，先画表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可.
19．【答案】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，，
由题意得，
在中，，即
∴（米），
在中，，即
∴（米）
∵米，
∴（米）
答：桥的长度约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AM⊥CD于点M，过点B作BN⊥CD 于点N ，利用已知条件可得到AM、BN的长，同时可证得AB=MN；再利用解直角三角形求出CM，DN的长，然后求出AB的长.
20．【答案】（1）证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
又∵点C在上
∴是的切线
（2）解：由（1）得，
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴的半径为
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC ，利用等腰三角形的性质：等边对等角及结合已知条件可证得；再利用圆周角定理的推论可证得∠ACB=90°，由此可推出∠OCF=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）先利用勾股定理求出BC的长再根据角平分线的概念和圆周角定理可求出CD的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DEC∽△AEB，利用相似三角形的性质可求出AB的长，然后求出圆的半径即可.
21．【答案】（1）解：设每月产量的增长率为，
根据题意列方程得： ，
解得 ， ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答： 每月产量的增长率为
（2）解：设降价元，每天总利润为元，
根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，
∴，
，
当时， 取得最大值，最大值为，
答： 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每月产量的增长率为x ，根据原产量和增长两次后的产量关系列出关于x的方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（2）设降价x 元，每天总利润为y 元，根据总利润= 每件利润销售量×每天的销售量，可得到y关于x的函数解析式，然后利用二次函数的性质可求出结果.
22．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点，
∴，，
∴，，
∴，，
将，代入一次函数，可得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为
（2）或
（3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为，
∴直线所在一次函数的表达式为，
如图，设与轴交于点，与轴交于点，
∴将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴，
∵直线交轴于点，
∴将代入，
∴，
联立平移后直线与反比例函数，得：，
∴，即，
解得或，
∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∵直线平移得到直线，直线和直线平行，
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点
∴不等式的解集为或．
【分析】（1）分别将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m、n的值，可得到点A、B的坐标；然后利用待定系数法求出一次函数的解析式.
（2）利用两函数的交点坐标，点A、B的横坐标，结合函数图象可得到不等式的解集.
（3）利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的直线CD的函数解析式然后，利用函数解析式求出点F、G、E的坐标，将直线CD和反比例函数解析式联立方程组，解方程组求出点C的坐标；然后利用S△ACE=S△FCE=S△FCG+S△FEG求解即可．
23．【答案】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线
得，
解得，
∴抛物线的表达式为
（2）解：过点关于直线的对称点，连接，
∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，
对于，当时，
∴
∵，对称轴为直线
∴
∴，而
∴，
由对称可得，，
∴
∴
设直线
则，解得
∴直线
设直线
∴
解得
∴直线
联立，
解得
∴点
（3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点，
∵
∴，
过点作轴于点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴；
当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接，
则
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴，
综上：点Q的坐标为或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式和对称轴公式可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点关于直线BC 的对称点，连接BA'，PA'，OA'，根据PA+PO=PA'+PO≥A'O ，故当点A'，P，O 三点共线时，PA+PO 取得最小值，此时点P为A'O 与直线BC 的交点；再利用二次函数解析式求出点C、B的坐标，可证得∠ABA'=90°，同时可求出BA'的长；利用待定系数法求出直线OA'，直线OA，直线BC的函数解析式，然后求出点P的坐标.
（3）分情况讨论：当点在直线上方时，过点作交射线于点，过点作轴于点，利用解直角三角形可求出BG与BC的比值，同时可证得，利用相似三角形的性质可求出HG、BH的长，可得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线CG的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组求出点Q的坐标；当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接，利用解直角三角形可证得，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出BT的长，可得到OT的长，利用待定系数法求出直线CQ的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组求出点Q的坐标；综上所述，可得到符合题意的点Q的坐标.
24．【答案】（1）结论： ，
理由如下：
由旋转得
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ， ，
∴
∴，
在 中， ，
∴，
∴，
同理可求
∵ ，
∴
∴
∴
解得
（3）解：由（1）可得，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得，再证明，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出CE的长，同时可证得∠DCE=90°，利用勾股定理求出DE 的长，然后根据等腰直角三角形求出AE，AB的长 ；利用AA证明△AEF∽△ABD 利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长.
（3）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△MCD∽△MEC，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，结合已知条件可求出DM与FD的比值.
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