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浙江省嘉兴市2025-2026学年下学期八年级学科期末检测数学试题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是 (　　)
A．2x-3y=5 B． C． D．
2．下列电视台图标中，是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
3． 在 ABCD中， 若∠A=70°， 则∠C的度数为 (　　)
A．70° B．100° C．110° D．20°
4．下列运算结果正确的是 (　　)
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题“若a>b，则 时，第一步应假设(　　)
A． B． C． D．
6． 如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O， 点E是AB的中点，连结OE， 若OE=5， 则AD 的长为(　　)
A． B．10 C．5 D．
7．某校开展“趣味投篮”比赛，每班挑选10位同学进行1分钟投篮，如图是A，B两班10位同学投篮进球数的箱线图．下列说法错误的是 (　　)
A．A，B两班 10位同学投篮进球数的中位数相同
B．两个班里进球数最多的同学在 A 班
C．B班的10位同学投篮发挥得更稳定
D．A 班 10位同学投篮进球数的m25和 m75都高于 B班
8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步 若设长为x步，根据题意可列方程是(　　)
A．(60-x)x=864 B．
C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30-x)=864
9．折纸是一项益智的艺术活动．某数学综合实践小组将正方形纸片ABCD按如图所示折叠，图③中的点C在EF上，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
10．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为 小范有以下两种说法：①b=-2a；②关于x的方程(a(x+4)(x-6)+4=0和 的解相同，下列判断正确的是 (　　)
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
11．二次根式 中，字母x的取值范围是　 　．
12．五边形的内角和为　 　度．
13．某款人形机器人在部分网友的评分中得分如右图，若将外观，性能，售后等三项评分按2：4：4的比例统计，则该款机器人的平均得分为　 　．
项目 外观 性能 售后
得分 95 90 94
14． 如图，在 ABCD中， 点E在边AD上，EC平分∠BED，若AD=4，则 BE的长为　 　．
15．已知x1，x2是一元二次方程： 的两个实数根，则 的值为　 　．
16． 如图， 菱形 ABCD中，AB=4， ∠A=120°， 线段EF在ABCD所在的平面内移动，且EF∥AD，连结BE，DF，点M，N分别是BE和DF的中点，连结MN，当EF=2时，则线段 MN的长为　 　．
17．解方程：x2-4x=0
18．计算：
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相较于点O．点E， F在AC上，小王同学认为添加一个条件可使BEDF为平行四边形．
（1）你添加的条件是　 　．(写出一种情况即可)
（2）根据你添加的条件证明BEDF为平行四边形．
20．嘉兴凤桥水蜜桃是全国“名特优新”农产品．某校综合实践小组的同学来到果园协助果农对刚采摘的一批水蜜桃进行分级包装．为了制定科学合理的分级标准，同学们开展了以下统计活动：
【数据收集】同学们随机抽取了6个水蜜桃作为样本，测量并记录它们的果径(单位：mm)如下： 73， 76， 80， 76， 79， 84
（1）【数据整理】
为了解样本数据的分布特征，请你求出这6个样本数据的众数和中位数．
（2）【数据分析】
为了兼顾包装盒规格与果品的一致性，同学们提出了两种方案：
方案 A：一级果(84， 80)；二级果(79， 76， 76， 73)．
方案 B：一级果(84， 80， 79)；二级果(76， 76， 73)．
①列式计算：计算方案A 的组内离差平方和．
②作出决策：经计算得知，方案B的组内离差平方和为20．请你帮助同学们作出决策，应该选择哪种方案 并说明理由．
21．观察下列各式：
（1）请观察规律，并写出第④个等式．
（2）请用含n(n大于1的整数)的式子写出你猜想的规律，并证明．
22． 正方形ABCD中，AB=5， 连结AC， 将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转α (0°<α<90°) 得到正方形AEFG．
（1）如图1，当点 F落在AD的延长线上时，连结CF，求∠DCF的度数．
（2） 如图2， 当α=60°时， 求CF的长．
23．某科技公司推出的AI数学画图软件深受用户喜爱，上线第1天的用户为2万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第3天用户达到3.38万人．
（1）求该软件用户前三天的日平均增长率．
（2）公司推出会员优享业务，当会员价为30元/月时，平均每天有2000名用户开通会员；月会员价每提高1元，每天开通会员的用户就减少50名．
①若公司希望每天的会员优享业务收入达到61200元，求会员价应为多少元/月
②公司每天的会员优享业务收入能否达到62000元 请说明理由．
24．我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图1，在四边形ABCD 中，若满足AB=AD，∠A=∠C，则四边形ABCD为“双等四边形”．
（1）判断命题“有一个内角为90°的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由．
（2） 在△ABC中，在AC右侧平面内有一点 P，连结AP， 以AP为对称轴将△APC作轴对称变换得到△APD，连结CD．
①如图2， ∠ACB=90°，AB=6， 若四边形ABCD 是“双等四边形”， 且AD=CD， 求BC的长．
②如图3，AB=AC=6， BC=4， 当四边形ABCD是“双等四边形”时， 求 CD 的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元一次方程”逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后，能与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴根据平行四边形对角相等，可得．
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等解答即可．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A、， A错误；
B、， B错误；
C、， C正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，， D错误．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的加减法则逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】反证法证明命题时，第一步应假设原命题的结论不成立，即结论的否定成立，
原命题结论为， 的否定为，
第一步应假设．
故答案为：B.
【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，据此解答即可．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
点是的中点，
是斜边上的中线，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质求出的长，再根据菱形的四条边相等解答即可．
7．【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A、由箱线图可知，A，B两班位同学投篮进球数的中位数相同，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、由箱线图可知，两个班里进球数最多的同学在A班，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、由箱线图可知，B班数据的极差及四分位数距均小于A班，数据分布更集中，故B班发挥更稳定，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、由箱线图可知，B班不低于A班， 原说法错误，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据箱线图的五个数值“最大值，上四分位数，中位数，下四分位数，最小值”逐一判断即可．
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步 ，则可列方程为
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步 ，根据矩形的面积公式列方程即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
图①中为对折线，
，， ，
由折叠性质可知，，
在中，，
设，由折叠性质可知原图中对应线段长为 ，
原图中为中点，
在中， ，即 ，
，
，
解得
∴ ．
故答案为：D.
【分析】设正方形边长为，根据折叠可得，，在中根据勾股定理求出长，即可得到；设，在中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出比值．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
故答案为：A.
【分析】根据方程的解的定义得到，将等式右边按多项式乘以多项式展开合并，根据对应系数相等求出b与a的关系判断①；通过整理得到 与 是一个方程判断②解答即可．
11．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°．
故答案为：540．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n=5代入可求五边形内角和．
13．【答案】92.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
∴该款机器人的平均得分为 ．
故答案为： ．
【分析】利用加权平均数公式计算即可．
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的额定义得到，再利用等角对等边求出BE=BC解答即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴ ．
故答案为：.
【分析】由根与系数的关系得到，再把分式通分得到，然后整体代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，分别连接，，，，，
四边形为菱形
，
，
四边形为平行四边形
且
是的中点，是的中点
且
是的中点，是的中点
且
且
四边形为平行四边形
，
．
故答案为：.
【分析】过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，连接，，，，，根据菱形性质及30°的直角三角形的性质求出线段长，根据两组对边分别平行得到四边形为平行四边形；然后根据三角形的中位线性质得到四边形为平行四边形，即可得到MN=；然后根据勾股定理解答即可．
17．【答案】解：x2-4x=0，
x(x-4)=0
则x=0，x-4=0
解得x1=0，x2=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程解法——因式分解法，解之即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的乘法和化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
19．【答案】（1）点E， F分别是AO， CO的中点
（2）解：连结BD，
∵ABCD是平行四边形，
∴BO=DO， AO=CO，
∵点E，F分别为AO，CO的中点，
∴EO=FO，
∴BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）添加：点E， F分别是AO， CO的中点，
故答案为：点E， F分别是AO， CO的中点；
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理解答即可；
（2）根据平行四边形的性质的到BO=DO， AO=CO，再根据中点的定义得到EO=FO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
20．【答案】（1）解：果径为的水蜜桃数量最多，
这个样本数据的众数为；
把这个样本数据按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，位于第位和第位的数据为，，
这个样本数据的中位数为；
（2）解：①方案 A中：
一级果的平均数为
一级果的离差平方和为(
二级果的平均数为
二级果的离差平方和为
∴ 方案A 的组内离差平方和为 8+18=26．
②决策：应该选择方案B．
理由：因为方案B的组内离差平方和(20)小于方案A(26)，说明方案B中同一个等级内的水蜜桃大小更加均匀．这样包装售卖能提升果品卖相，避免出现同一盒内水蜜桃“大小悬殊”的现象．
【知识点】中位数；众数；离差平方和；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）分别求出一级果的离差平方和和二级果的离差平方和，二者相加解答；
根根据组内离差平方和小的水蜜桃大小均匀解答即可．
21．【答案】（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】
（1）仿照题目所给等式特征写出第④个即可；
（2）根据所给等式得到规律，然后根据二次根式的性质化简即可．
22．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
∵旋转，
∴，
∵正方形，点落在的延长线上，
∴，
∴点落在线段上，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形，
∴，
∴，
连接，则，，
由题意，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴.

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质可得，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ACF的度数，然后根据角的和差解答即可；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求出AC长，再根据旋转的性质得到△ACF是等边三角形，即可求出CF长.
23．【答案】（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：该软件用户前三天的日平均增长率为；
（2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，
由题意得，，
整理得，
解得或，
∴或，
答：会员价应为34元/月或36元/月；
②设会员月定价为a元，则a[2000-50(a-30)]=62000，
整理得a2-70a+1240=0，
，
∴方程无解，
故不能达到620000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据“ 第1天的用户为2万人， 到第3天用户达到3.38万人 ”列方程求解即可；
（2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；
②设会员月定价为a元，根据每天的会员优惠业务收入列方程，求出根的判别式的值，然后解答即可．
24．【答案】（1）不正确，理由如下：
如图，，
故四边形为双等四边形，但四边形不是正方形；
故有一个内角为的双等四边形是正方形不正确；
（2）解：①∵以为对称轴将作轴对称变换得到，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，且，
∴当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，作，，
则，，
，
∴，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得（舍去）；
∴；
综上：或.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）举反例进行说明即可；
（2）①根据轴对称的性质得到为等边三角形，即可得到，根据“双等四边形”的定义得到，即可得到∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②当时，根据SAS得到，即可得到CD=BC；当时，设，，即可得到，进而可得，连接，作，，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AG和BD长，设，同理可得CH和DH的长，再在中，根据勾股定理求出x的值解答即可.
1 / 1浙江省嘉兴市2025-2026学年下学期八年级学科期末检测数学试题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是 (　　)
A．2x-3y=5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元一次方程”逐项判断即可．
2．下列电视台图标中，是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后，能与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断即可.
3． 在 ABCD中， 若∠A=70°， 则∠C的度数为 (　　)
A．70° B．100° C．110° D．20°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴根据平行四边形对角相等，可得．
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等解答即可．
4．下列运算结果正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A、， A错误；
B、， B错误；
C、， C正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，， D错误．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的加减法则逐项判断即可.
5．用反证法证明命题“若a>b，则 时，第一步应假设(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】反证法证明命题时，第一步应假设原命题的结论不成立，即结论的否定成立，
原命题结论为， 的否定为，
第一步应假设．
故答案为：B.
【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，据此解答即可．
6． 如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O， 点E是AB的中点，连结OE， 若OE=5， 则AD 的长为(　　)
A． B．10 C．5 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
点是的中点，
是斜边上的中线，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质求出的长，再根据菱形的四条边相等解答即可．
7．某校开展“趣味投篮”比赛，每班挑选10位同学进行1分钟投篮，如图是A，B两班10位同学投篮进球数的箱线图．下列说法错误的是 (　　)
A．A，B两班 10位同学投篮进球数的中位数相同
B．两个班里进球数最多的同学在 A 班
C．B班的10位同学投篮发挥得更稳定
D．A 班 10位同学投篮进球数的m25和 m75都高于 B班
【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A、由箱线图可知，A，B两班位同学投篮进球数的中位数相同，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、由箱线图可知，两个班里进球数最多的同学在A班，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、由箱线图可知，B班数据的极差及四分位数距均小于A班，数据分布更集中，故B班发挥更稳定，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、由箱线图可知，B班不低于A班， 原说法错误，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据箱线图的五个数值“最大值，上四分位数，中位数，下四分位数，最小值”逐一判断即可．
8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步 若设长为x步，根据题意可列方程是(　　)
A．(60-x)x=864 B．
C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30-x)=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设长为步，则宽为步 ，则可列方程为
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步 ，根据矩形的面积公式列方程即可.
9．折纸是一项益智的艺术活动．某数学综合实践小组将正方形纸片ABCD按如图所示折叠，图③中的点C在EF上，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
图①中为对折线，
，， ，
由折叠性质可知，，
在中，，
设，由折叠性质可知原图中对应线段长为 ，
原图中为中点，
在中， ，即 ，
，
，
解得
∴ ．
故答案为：D.
【分析】设正方形边长为，根据折叠可得，，在中根据勾股定理求出长，即可得到；设，在中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出比值．
10．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为 小范有以下两种说法：①b=-2a；②关于x的方程(a(x+4)(x-6)+4=0和 的解相同，下列判断正确的是 (　　)
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
故答案为：A.
【分析】根据方程的解的定义得到，将等式右边按多项式乘以多项式展开合并，根据对应系数相等求出b与a的关系判断①；通过整理得到 与 是一个方程判断②解答即可．
11．二次根式 中，字母x的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．五边形的内角和为　 　度．
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°．
故答案为：540．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n=5代入可求五边形内角和．
13．某款人形机器人在部分网友的评分中得分如右图，若将外观，性能，售后等三项评分按2：4：4的比例统计，则该款机器人的平均得分为　 　．
项目 外观 性能 售后
得分 95 90 94
【答案】92.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
∴该款机器人的平均得分为 ．
故答案为： ．
【分析】利用加权平均数公式计算即可．
14． 如图，在 ABCD中， 点E在边AD上，EC平分∠BED，若AD=4，则 BE的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的额定义得到，再利用等角对等边求出BE=BC解答即可．
15．已知x1，x2是一元二次方程： 的两个实数根，则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴ ．
故答案为：.
【分析】由根与系数的关系得到，再把分式通分得到，然后整体代入计算即可．
16． 如图， 菱形 ABCD中，AB=4， ∠A=120°， 线段EF在ABCD所在的平面内移动，且EF∥AD，连结BE，DF，点M，N分别是BE和DF的中点，连结MN，当EF=2时，则线段 MN的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，分别连接，，，，，
四边形为菱形
，
，
四边形为平行四边形
且
是的中点，是的中点
且
是的中点，是的中点
且
且
四边形为平行四边形
，
．
故答案为：.
【分析】过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，连接，，，，，根据菱形性质及30°的直角三角形的性质求出线段长，根据两组对边分别平行得到四边形为平行四边形；然后根据三角形的中位线性质得到四边形为平行四边形，即可得到MN=；然后根据勾股定理解答即可．
17．解方程：x2-4x=0
【答案】解：x2-4x=0，
x(x-4)=0
则x=0，x-4=0
解得x1=0，x2=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程解法——因式分解法，解之即可.
18．计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的乘法和化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相较于点O．点E， F在AC上，小王同学认为添加一个条件可使BEDF为平行四边形．
（1）你添加的条件是　 　．(写出一种情况即可)
（2）根据你添加的条件证明BEDF为平行四边形．
【答案】（1）点E， F分别是AO， CO的中点
（2）解：连结BD，
∵ABCD是平行四边形，
∴BO=DO， AO=CO，
∵点E，F分别为AO，CO的中点，
∴EO=FO，
∴BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）添加：点E， F分别是AO， CO的中点，
故答案为：点E， F分别是AO， CO的中点；
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理解答即可；
（2）根据平行四边形的性质的到BO=DO， AO=CO，再根据中点的定义得到EO=FO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
20．嘉兴凤桥水蜜桃是全国“名特优新”农产品．某校综合实践小组的同学来到果园协助果农对刚采摘的一批水蜜桃进行分级包装．为了制定科学合理的分级标准，同学们开展了以下统计活动：
【数据收集】同学们随机抽取了6个水蜜桃作为样本，测量并记录它们的果径(单位：mm)如下： 73， 76， 80， 76， 79， 84
（1）【数据整理】
为了解样本数据的分布特征，请你求出这6个样本数据的众数和中位数．
（2）【数据分析】
为了兼顾包装盒规格与果品的一致性，同学们提出了两种方案：
方案 A：一级果(84， 80)；二级果(79， 76， 76， 73)．
方案 B：一级果(84， 80， 79)；二级果(76， 76， 73)．
①列式计算：计算方案A 的组内离差平方和．
②作出决策：经计算得知，方案B的组内离差平方和为20．请你帮助同学们作出决策，应该选择哪种方案 并说明理由．
【答案】（1）解：果径为的水蜜桃数量最多，
这个样本数据的众数为；
把这个样本数据按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，位于第位和第位的数据为，，
这个样本数据的中位数为；
（2）解：①方案 A中：
一级果的平均数为
一级果的离差平方和为(
二级果的平均数为
二级果的离差平方和为
∴ 方案A 的组内离差平方和为 8+18=26．
②决策：应该选择方案B．
理由：因为方案B的组内离差平方和(20)小于方案A(26)，说明方案B中同一个等级内的水蜜桃大小更加均匀．这样包装售卖能提升果品卖相，避免出现同一盒内水蜜桃“大小悬殊”的现象．
【知识点】中位数；众数；离差平方和；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）分别求出一级果的离差平方和和二级果的离差平方和，二者相加解答；
根根据组内离差平方和小的水蜜桃大小均匀解答即可．
21．观察下列各式：
（1）请观察规律，并写出第④个等式．
（2）请用含n(n大于1的整数)的式子写出你猜想的规律，并证明．
【答案】（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】
（1）仿照题目所给等式特征写出第④个即可；
（2）根据所给等式得到规律，然后根据二次根式的性质化简即可．
22． 正方形ABCD中，AB=5， 连结AC， 将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转α (0°<α<90°) 得到正方形AEFG．
（1）如图1，当点 F落在AD的延长线上时，连结CF，求∠DCF的度数．
（2） 如图2， 当α=60°时， 求CF的长．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
∵旋转，
∴，
∵正方形，点落在的延长线上，
∴，
∴点落在线段上，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形，
∴，
∴，
连接，则，，
由题意，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴.

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质可得，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ACF的度数，然后根据角的和差解答即可；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求出AC长，再根据旋转的性质得到△ACF是等边三角形，即可求出CF长.
23．某科技公司推出的AI数学画图软件深受用户喜爱，上线第1天的用户为2万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第3天用户达到3.38万人．
（1）求该软件用户前三天的日平均增长率．
（2）公司推出会员优享业务，当会员价为30元/月时，平均每天有2000名用户开通会员；月会员价每提高1元，每天开通会员的用户就减少50名．
①若公司希望每天的会员优享业务收入达到61200元，求会员价应为多少元/月
②公司每天的会员优享业务收入能否达到62000元 请说明理由．
【答案】（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：该软件用户前三天的日平均增长率为；
（2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，
由题意得，，
整理得，
解得或，
∴或，
答：会员价应为34元/月或36元/月；
②设会员月定价为a元，则a[2000-50(a-30)]=62000，
整理得a2-70a+1240=0，
，
∴方程无解，
故不能达到620000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据“ 第1天的用户为2万人， 到第3天用户达到3.38万人 ”列方程求解即可；
（2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；
②设会员月定价为a元，根据每天的会员优惠业务收入列方程，求出根的判别式的值，然后解答即可．
24．我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图1，在四边形ABCD 中，若满足AB=AD，∠A=∠C，则四边形ABCD为“双等四边形”．
（1）判断命题“有一个内角为90°的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由．
（2） 在△ABC中，在AC右侧平面内有一点 P，连结AP， 以AP为对称轴将△APC作轴对称变换得到△APD，连结CD．
①如图2， ∠ACB=90°，AB=6， 若四边形ABCD 是“双等四边形”， 且AD=CD， 求BC的长．
②如图3，AB=AC=6， BC=4， 当四边形ABCD是“双等四边形”时， 求 CD 的长．
【答案】（1）不正确，理由如下：
如图，，
故四边形为双等四边形，但四边形不是正方形；
故有一个内角为的双等四边形是正方形不正确；
（2）解：①∵以为对称轴将作轴对称变换得到，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，且，
∴当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，作，，
则，，
，
∴，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得（舍去）；
∴；
综上：或.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）举反例进行说明即可；
（2）①根据轴对称的性质得到为等边三角形，即可得到，根据“双等四边形”的定义得到，即可得到∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②当时，根据SAS得到，即可得到CD=BC；当时，设，，即可得到，进而可得，连接，作，，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AG和BD长，设，同理可得CH和DH的长，再在中，根据勾股定理求出x的值解答即可.
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