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3.2.1.2函数的单调性
A组 基础训练
1．若函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
2．函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3．(多选)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有＞0的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－1
4．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是　　　.
5．已知函数f(x)＝，且f(1)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
B组 拔高提升
1．已知函数f(x)是R上的增函数，则f(x2－2x)与f(－1)的大小关系为(　　)
A．f(x2－2x)≥f(－1)
B．f(x2－2x)≤f(－1)
C．f(x2－2x)＝f(－1)
D．不能确定
2．已知f(x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f(2a－3)＜f(a－2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，2]　 B．(1，3]　
C．(1，4]　 D．(1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调，则实数k的取值范围为(　　)
A．[2，8]
B．[－8，－2]
C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，2]∪[8，＋∞)
4．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．(新定义)定义max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x2－x，1－x2}的单调递增区间为　　　　　　　　.
6．函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
3.2.1.2函数的单调性
A组 基础训练
1．C　解析：因为f(x)在R上是减函数，且3<5，所以f(3)>f(5)．
2．C　解析：函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数y＝的图象(图略)可知，其在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减．
3．ACD　解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．对于A，根据反比例函数的性质可知，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，根据一次函数的性质可知，f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于C，根据二次函数的性质可知，f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，根据一次函数的性质可知，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
4． ，　解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示．
由图可知，f(x)的单调递减区间为，.
5．(1)解：因为f(1)＝＝2，所以a＝1，所以f(x)＝.
(2)证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为11，所以x1－x2<0，x1x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
B组 拔高提升
1．A　解析：因为x2－2x－(－1)＝(x－1)2≥0，所以x2－2x≥－1.因为函数f(x)是R上的增函数，所以f(x2－2x)≥f(－1)．
2．A　解析：因为f(x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f(2a－3)＜f(a－2)，
所以解得1＜a≤2.
3．D　解析：函数f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调，图象的对称轴为直线x＝－＝，所以作出函数图象(图略)．
结合图象得≤1或≥4，解得k≤2或k≥8.
所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)．
4． B　解析：由于函数f(x)＝是定义在R上的减函数，
所以函数y＝(2a－3)x＋2在区间(－∞，1]上为减函数，
函数y＝在区间(1，＋∞)上为减函数，且有(2a－3)×1＋2≥，即解得1≤a<.
因此，实数a的取值范围是.故选B．
5． ，[1，＋∞)　解析：由x2－x＝1－x2，得2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－.当x≥1或x≤－时，f(x)＝max{x2－x，1－x2}＝x2－x；当－6．
(1)证明： x1，x2∈R，且x10，f(x2－x1)＞1.
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
所以f(x2)>f(x1)．
故f(x)在R上是增函数．
(2)解：因为f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.
所以原不等式可化为f(3m－2)由(1)可知f(x)在R上是增函数，所以3m－2<2，
解得m＜.
故原不等式的解集为.
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