资源简介

广西贺州市2026年春季学期期中教学质量检测八年级数学
1．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．0
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
4．二次根式有意义的条件是(　　)
A． B． C． D．
5．用配方法将一元二次方程化为（、为常数）的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若一直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边长为（　　）
A．10 B． C．10或 D．无法确定
8．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．关于一次函数，下列结论中正确的是（　　）
A．图象必经过
B．图象经过第一、二、三象限
C．若，在图象上，则
D．图象向上平移1个单位长度得解析式为
10．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
12．若实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．9 C．11 D．14
13．若是方程的一个根，则的值为　 　．
14．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是　 　．
15．关于的不等式的解集是　 　．
16．某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有　 　个球队参加比赛．
17．解答下列各题：
（1）计算：；
（2）解方程：．
18．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率．
19．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题：
（1）求的度数；
（2）求出，两点间的距离．
20．已知关于的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
21．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论取何值，代数式的值恒为正数；
（2）若代数式的最小值为，求的值：
22．在编程课上，同学们用代码控制虚拟机器人移动，机器人的坐标需满足特定数学条件．已知机器人初始坐标由二次根式表达式确定，运动轨迹满足一元二次方程模型．
（1）若机器人的横坐标满足，纵坐标满足，求机器人的初始坐标；
（2）机器人沿直线运动时，其到原点的距离（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足方程．若时机器人到达目标位置，求出运动时间（为正整数）．（提示：我们可以将“”看作一个整体，用“换元法”求解）．
23．综合实践【问题情境】“三月三”是广西壮族自治区盛大的传统节日，各族群众载歌载舞，开展抛绣球、搭歌台、拼几何图案等民俗活动．某数学实践小组受壮锦几何图案启发，以三角形图案为模型，围绕线段旋转展开探究，研究图形变换中线段长度与三角形面积的变化规律．
【实践探究】
（1）初步感知：如图1，是等腰直角三角形纹样，，．将代表绣球抛射路线的边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．则线段的长为______；的面积为______；
（2）拓展应用：如图2，为直角三角形歌台支架，且，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求线段的长以及的面积；
（3）深入拓展：如图3，在等腰三角形壮锦图案中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14是有理数，不合题意；
B：是有理数，不合题意；
C：是无理数，符合题意；
D：0是有理数，不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义及无限不循环小数是无理数，对四个选项逐一判断即可得解答．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据定义，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，
选项A：未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
选项B：满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，故该选项符合题意；
选项C：未知数最高次数为3，是一元三次方程，故该选项不符合题意；
选项D：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
4．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义的条件是被开方数．
解得．
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵原方程为
移项得，
两边同时加一次项系数一半的平方得，
整理得，．
故答案为：A
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长；
当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长；
综上所述，第三边长为或．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不等实根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不等实根.
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A．当时，，
∴点不在图象上，A错误；
B．∵，，
∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误；
C．∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，故不成立，C错误；
D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确．
故选：D．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，性质与系数的关系，函数图象的平移规律逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：小路宽为x米，利用平移，得：，
故答案为：B．
【分析】 设小路宽为， 利用平移的性质可得平移后的长方形的长和宽分别为（32-x）和（20-x），再结合“ 草坪的面积为 ”列出方程即可.
11．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意；
B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意；
D、添加，由可得，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，即，
根据二次根式性质，化简原式
原等式左边
∵，∴，∴ ，
原等式右边，∵，∴，
将化简结果代入原等式得
，
移项得 ，
两边平方得 ，
解得．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件，结合二次根式的性质化简即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：-6
【分析】将x=2代入方程即可求出答案.
14．【答案】19
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
，，
在中：，
这支铅笔的长度可能是
故答案为：19
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为，得．
故答案为：
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求出答案.
16．【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设有个队，每个队都要赛场，根据题意，得
，
解得或（舍去）．
所以应邀请8个球队参加比赛．
故答案为：8．
【分析】设有个队，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
或
∴，．
【知识点】二次根式的加减法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
或
∴，．
18．【答案】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据补角即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
20．【答案】（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可得：，
，
，
解得或．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个实数根.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可得：，
，
，
解得或．
21．【答案】（1）证明：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，代数式的值恒为正数
（2）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为，
∴，
∴
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）按照题目给出的配方方法，我们可以对代数式变形得到，根据平方的非负性可知，即可证明对应结论；
（2）先对代数式配方可得，结合平方的非负性可以得到，即代数式的最小值为，结合题目给出的最小值条件建立方程，即可求解出对应参数的值．
（1）证明：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，代数式的值恒为正数；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：二次根式有意义需满足被开方数非负，因此可得 ，
解得，
将代入，得；
对两边平方得，解得；
∴机器人的初始坐标为；
（2）解：当时，原方程为 ，
设，方程化为，
因式分解得，
解得或；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或（为正整数，舍去）；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或；
综上，运动时间为秒，秒或秒．
【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；整体思想
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得a值，解方程可得b值，即可求出初始坐标.
（2）根据整体思想令，解方程即可求出答案.
（1） 解：二次根式有意义需满足被开方数非负，因此可得 ，
解得，
将代入，得；
对两边平方得，解得；
∴机器人的初始坐标为；
（2）解：当时，原方程为 ，
设，方程化为，
因式分解得，
解得或；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或（为正整数，舍去）；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或；
综上，运动时间为秒，秒或秒．
23．【答案】（1），
（2）解：如图，过点作于点，
同（1）可得：，
∴，
∴
∴的面积为，；
（3）9
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，；
故答案为：，
（3）解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴的面积为．
故答案为：9
【分析】（1）证（AAS），得，，的面积为，在Rt△CDE中，由勾股定理解得=；
（2）过点作于点，
同理证（AAS）则，，CE=3，的面积为2，CD=；
（3）过点作于点，过点作于点，
由勾股定理解得=4，同（1）可证，得，的面积为9.
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，；
（2）解：如图，过点作于点，
同（1）可得：，
∴，
∴
∴的面积为，；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴的面积为．
1 / 1广西贺州市2026年春季学期期中教学质量检测八年级数学
1．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14是有理数，不合题意；
B：是有理数，不合题意；
C：是无理数，符合题意；
D：0是有理数，不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义及无限不循环小数是无理数，对四个选项逐一判断即可得解答．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据定义，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，
选项A：未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
选项B：满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，故该选项符合题意；
选项C：未知数最高次数为3，是一元三次方程，故该选项不符合题意；
选项D：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
4．二次根式有意义的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义的条件是被开方数．
解得．
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
5．用配方法将一元二次方程化为（、为常数）的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵原方程为
移项得，
两边同时加一次项系数一半的平方得，
整理得，．
故答案为：A
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
7．若一直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边长为（　　）
A．10 B． C．10或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长；
当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长；
综上所述，第三边长为或．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
8．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不等实根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不等实根.
9．关于一次函数，下列结论中正确的是（　　）
A．图象必经过
B．图象经过第一、二、三象限
C．若，在图象上，则
D．图象向上平移1个单位长度得解析式为
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A．当时，，
∴点不在图象上，A错误；
B．∵，，
∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误；
C．∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，故不成立，C错误；
D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确．
故选：D．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，性质与系数的关系，函数图象的平移规律逐项进行判断即可求出答案.
10．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：小路宽为x米，利用平移，得：，
故答案为：B．
【分析】 设小路宽为， 利用平移的性质可得平移后的长方形的长和宽分别为（32-x）和（20-x），再结合“ 草坪的面积为 ”列出方程即可.
11．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意；
B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意；
D、添加，由可得，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．若实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．9 C．11 D．14
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，即，
根据二次根式性质，化简原式
原等式左边
∵，∴，∴ ，
原等式右边，∵，∴，
将化简结果代入原等式得
，
移项得 ，
两边平方得 ，
解得．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件，结合二次根式的性质化简即可求出答案.
13．若是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：-6
【分析】将x=2代入方程即可求出答案.
14．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是　 　．
【答案】19
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
，，
在中：，
这支铅笔的长度可能是
故答案为：19
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
15．关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为，得．
故答案为：
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求出答案.
16．某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有　 　个球队参加比赛．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设有个队，每个队都要赛场，根据题意，得
，
解得或（舍去）．
所以应邀请8个球队参加比赛．
故答案为：8．
【分析】设有个队，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
17．解答下列各题：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
或
∴，．
【知识点】二次根式的加减法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
或
∴，．
18．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率．
【答案】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题：
（1）求的度数；
（2）求出，两点间的距离．
【答案】（1）解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据补角即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
20．已知关于的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可得：，
，
，
解得或．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个实数根.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可得：，
，
，
解得或．
21．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论取何值，代数式的值恒为正数；
（2）若代数式的最小值为，求的值：
【答案】（1）证明：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，代数式的值恒为正数
（2）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为，
∴，
∴
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）按照题目给出的配方方法，我们可以对代数式变形得到，根据平方的非负性可知，即可证明对应结论；
（2）先对代数式配方可得，结合平方的非负性可以得到，即代数式的最小值为，结合题目给出的最小值条件建立方程，即可求解出对应参数的值．
（1）证明：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，代数式的值恒为正数；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为，
∴，
∴．
22．在编程课上，同学们用代码控制虚拟机器人移动，机器人的坐标需满足特定数学条件．已知机器人初始坐标由二次根式表达式确定，运动轨迹满足一元二次方程模型．
（1）若机器人的横坐标满足，纵坐标满足，求机器人的初始坐标；
（2）机器人沿直线运动时，其到原点的距离（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足方程．若时机器人到达目标位置，求出运动时间（为正整数）．（提示：我们可以将“”看作一个整体，用“换元法”求解）．
【答案】（1）解：二次根式有意义需满足被开方数非负，因此可得 ，
解得，
将代入，得；
对两边平方得，解得；
∴机器人的初始坐标为；
（2）解：当时，原方程为 ，
设，方程化为，
因式分解得，
解得或；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或（为正整数，舍去）；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或；
综上，运动时间为秒，秒或秒．
【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；整体思想
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得a值，解方程可得b值，即可求出初始坐标.
（2）根据整体思想令，解方程即可求出答案.
（1） 解：二次根式有意义需满足被开方数非负，因此可得 ，
解得，
将代入，得；
对两边平方得，解得；
∴机器人的初始坐标为；
（2）解：当时，原方程为 ，
设，方程化为，
因式分解得，
解得或；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或（为正整数，舍去）；
当时，得，
整理得，
因式分解得，
解得或；
综上，运动时间为秒，秒或秒．
23．综合实践【问题情境】“三月三”是广西壮族自治区盛大的传统节日，各族群众载歌载舞，开展抛绣球、搭歌台、拼几何图案等民俗活动．某数学实践小组受壮锦几何图案启发，以三角形图案为模型，围绕线段旋转展开探究，研究图形变换中线段长度与三角形面积的变化规律．
【实践探究】
（1）初步感知：如图1，是等腰直角三角形纹样，，．将代表绣球抛射路线的边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．则线段的长为______；的面积为______；
（2）拓展应用：如图2，为直角三角形歌台支架，且，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求线段的长以及的面积；
（3）深入拓展：如图3，在等腰三角形壮锦图案中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的面积．
【答案】（1），
（2）解：如图，过点作于点，
同（1）可得：，
∴，
∴
∴的面积为，；
（3）9
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，；
故答案为：，
（3）解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴的面积为．
故答案为：9
【分析】（1）证（AAS），得，，的面积为，在Rt△CDE中，由勾股定理解得=；
（2）过点作于点，
同理证（AAS）则，，CE=3，的面积为2，CD=；
（3）过点作于点，过点作于点，
由勾股定理解得=4，同（1）可证，得，的面积为9.
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，；
（2）解：如图，过点作于点，
同（1）可得：，
∴，
∴
∴的面积为，；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴的面积为．
1 / 1

展开更多......

收起↑