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(共27张PPT)
第四章　4.1　投　影
第2课时　平行投影
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.掌握平行投影、正投影的概念.
2.会判断平行投影、正投影，掌握有关规律.(重点)
3.会进行平行投影、正投影的画图.(难点)
4.能利用平行投影解决问题.(重点、难点)
情境引入
我们知道，物体在太阳光下也有影子，这种情况下的影子与在灯光下的影子相同吗？本节课将学习这个问题.
一、
平行投影
问题　取一些长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子.
(1)固定投影面的位置，当改变小棒或纸片的位置时，它们的影子的位置______(填“发生”或“不发生”)改变；当改变小棒或纸片的方向时，它们的影子的方向　　 (填“发生”或“不发生”)改变；
(2)固定小棒或纸片的位置，当改变投影面的位置时，它们的影子的位置______(填“发生”或“不发生”)改变；当改变投影面的方向时，它们的影子的方向　 　(填“发生”或“不发生”)改变.
发生
发生
发生
发生
知识梳理
1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为 .如图1，2表示的都是平行投影.
平行投影
2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为 ，如图2，显然正投影属于平行投影.
正投影
知识梳理
3.平行投影与中心投影的异同点：
平行投影 中心投影
相同点 都是投影现象，都是物体在光线照射下形成影子 不同点 定义不同 物体在平行光线下所形成的投影 物体在从一个点发出的光线下所形成的投影
光源不同 光源发出的光是平行光线，如太阳等 光源发出的光都是从同一个点发出的，如电灯等
投影线不同 任意两条投影线都互相平行 任意两条投影线都相交于同一点，即光源处
投影特点不同 同一物体在同一位置、同一时刻形成的投影相同 物体的投影与光源的位置、投影面的位置等因素有关
例1　图中两棵小树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子.(用线段表示)
解　图中两棵小树的影子是在太阳光下形成的，旗杆的影子用线段AB表示，如图所示.
反思感悟
画平行投影时，关键是画出过物体顶端的光线.判断平行投影时，可分别过不同物体的顶端及投影的顶端画光线，若光线平行则为平行投影.
跟踪训练1　(1)直角三角形的正投影可能是　　　　　 .
三角形或线段
(2)下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪幅图是太阳光下形成的吗？为什么？
解　两幅图中，树的投影情况如图所示.
在图1中，因为两条光线平行，所以它们是太阳光下形成的.
在图2中，因为两条光线相交于一点，所以它们是灯光下形成的.
二、
利用平行投影的特点计算或推理
例2　(课本P110例2)某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5 m.
(1)某一时刻甲立柱在阳光下的影子如图所示.你能画出此时乙立柱的影子吗？
解　如图1，连接DD'，过点E作DD'的平行线，交AD'所在的直线于点E'.BE'就是乙立柱的影子.
例2　(课本P110例2)某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5 m.
(2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
解　如图2，将乙立柱移动到与墙之间的距离为BE'的地方，其影子刚好不落在墙上.
例2　(课本P110例2)某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5 m.
(3)在(2)的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24 m和1 m，那么你能求出甲立柱的高度吗？
解　因为△ADD'∽△BEE'，所以=，即=.
所以，甲立柱的高度为AD==1.86(m).
反思感悟
在平行投影问题中，因为同一时刻、同一位置的太阳光线互相平行，因此要注意题目各问题之间的信息互相补充，互相支撑，如(1)中，利用甲立柱可以得到太阳光线的方向，进而利用太阳光线的方向画出乙立柱的影子.
跟踪训练2　(1)如图，小王身高1.7 m，他想测量一栋大楼的高度，他沿着阳光下的楼影BA由B向A走去，当他走到点C时，他的影子顶端正好与大楼的影子顶端重合，测得AC=19.2 m，BC=0.8 m，
则大楼的高度为
A.40.8 m B.41.6 m
C.42.5 m D.44.2 m
√
解析　设大楼的高为x m，楼和人均与地面垂直，可得=，即=，解得x=42.5，所以大楼的高为42.5 m.
(2)如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=4 m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3 m，在同一时刻测得DE的影长为4.5 m，则DE=　　m.
6
解析　DE在阳光下的投影是EF，如图所示，
∵△ABC∽△DEF，AB=4 m，BC=3 m，EF=4.5 m，
∴=，即=，
∴DE==6(m).
(3)如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影
解　该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的.
子BF的长度为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长度为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度.
①该小组的同学在这里利用的是　　　　投影的有关知识进行计算的；
(3)如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影
子BF的长度为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长度为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度.
②试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
解　如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点G作GN⊥CD于点N.
则MB=EF=2米，ND=GH=3米，ME=BF=10米，NG=DH=5米.
所以AM=10-2=8(米)，
由平行投影可知=，即=，
解得CD=7 米，即电线杆的高度为7米.
课堂小结
1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是
A.正方形 B.平行四边形或一条线段
C.矩形 D.菱形
随堂演练
√
解析　正方形两组对边分别平行，在太阳光(平行投影)下，它的投影会保持对边平行的特性，或当正方形平面与投影光线方向一致时，投影会重合为一条线段，所以正方形的投影是平行四边形或一条线段.
2.下列各图中，物体的影子不正确的是
随堂演练
解析　因为太阳光是一束平行光线，所以选项B是错误的，符合题意.
√
3.下列投影是平行投影的是
A.孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B.朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C.车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D.匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
随堂演练
√
解析　A项，灯是点光源，形成中心投影，不符合题意；
B项，太阳光线是平行光线，形成平行投影，符合题意；
C项，萤火虫为点光源，形成中心投影，不符合题意；
D项，灯光为点光源，形成中心投影，不符合题意.
4.如图，在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下该雕像的影子长度的变化情况是
A.逐渐变长
B.逐渐变短
C.先逐渐变长，后逐渐变短
D.先逐渐变短，后逐渐变长
随堂演练
√
解析　∵早晨太阳逐渐升高，下午太阳逐渐变低，∴在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下该雕像的影子长度的变化是先逐渐变短，后逐渐变长.
5.小兰身高160 cm，她站立在阳光下的影子长为80 cm；她把手臂竖直举起，此时影子长为100 cm，那么小兰的手臂超出头顶　　cm.
随堂演练
解析　设手臂竖直举起时总高度为x cm，
则=，解得x=200，200-160=40(cm)，故小兰的手臂超出头顶40 cm.
40
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