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第三章　3.5　图形的位似
第2课时　图形的位似与坐标变化
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律.
2.能利用位似图形的坐标变化规律进行推理和计算.(重点)
3.根据位似图形的坐标变化规律在平面直角坐标系中画出位似图形.
情境引入
上节课我们学习了位似图形的概念和性质，以及位似图形的画图，那么在平面直角坐标系中，位似图形有哪些变化规律呢，让我们一起探究一下吧.
平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律
问题　如图1，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，1)，B(2，3).
(1)将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到点O，A，B的对应点O，A1，B1三个点，则点O，A1，B1的坐标依次为_______________________
_________，在平面直角坐标系中的位置如图2，可以看出△OA1B1与△OAB位似，位似中心是　 　，相似比是　　；
O(0，0)，A1(6，2)，
B1(4，6)
原点
2
(2)将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘-2，得到点O，A，B的对应点O，A2，B2三个点，则点O，A2，B2的坐标依次为_______________________
__________，在平面直角坐标系中的位置如图2，可以看出△OA2B2与△OAB位似，位似中心是　　 ，相似比是　　.
O(0，0)，A1(-6，-2)，
B1(-4，-6)
原点
2
知识梳理
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形 ，位似中心是 ，它们的相似比为 .
位似
坐标原点
|k|
例　(课本P93例2)在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(-3，3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3.
解　如图，有两种画法.
画法一：将四边形OABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘，得到O(0，0)，A'(4，0)，B'(2，4)，C'(-2，2)；在平面直角坐标系中描出点A'，B'，C'，用线段顺次连接点O，A'，B'，C'，O，则四边形OA'B'C'就是符合要求的四边形.
例　(课本P93例2)在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(-3，3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3.
解　画法二：将四边形OABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘-，得到O(0，0)，A″(-4，0)，B″(-2，-4)，C″(2，-2)；在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″，用线段顺次连接点O，A″，B″，C″，O，则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形.
反思感悟
画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k(或除以±k)，可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.
跟踪训练　(1)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是
A.(2，5) B.
C.(3，5) D.(3，6)
解析　∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，
∴=，
∵A(1，2)，∴C.
√
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(6，4)，B(4，-2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是
A.(3，2) B.(12，8)
C.(12，8)或(-12，-8) D.(3，2)或(-3，-2)
√
解析　如图，△A'B'O与△A″B″O即为所作的位似图形，可求得点A的对应点的坐标为(3，2)或(-3，-2).
(3)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，2)，C(3，1).
①以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1，使得它与△ABC的相似比为2∶1(点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应)；
解　如图所示，△A1B1C1 即为所求.
(3)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，2)，C(3，1).
②在①的条件下，写出点A1，C1的坐标.
解　A1(-4，-6)，C1(-6，-2).
课堂小结
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(-3，1)，(-1，4).以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A'的坐标是
A.(-3，1) B.
C.(3，-1) D.
随堂演练
√
随堂演练
解析　以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将△OAB缩小，将A(-3，1)的横、纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得.
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，若△OEF与△OE'F'关于点O位似，S△OEF∶S△OE'F'=4∶1，点F的对应点F'的坐标为
A.(1，1)
B.(4，4)
C.(4，4)或(-4，-4)
D.(1，1)或(-1，-1)
随堂演练
√
随堂演练
解析　∵△OEF与△OE'F'关于点O位似，S△OEF∶S△OE'F'=4∶1，
∴=4，
∴=2或=-2，
∴=或=-，
∵F(-2，-2)，
故F'(-1，-1)或F'(1，1).
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是　　　　.
随堂演练
(12，0)
解析　如图所示，连接AA'，BB'并延长，两条延长线交于点P，
则位似中心点P的坐标是(12，0).
4.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系.
(1)点A的坐标为　 　，点B的坐标为　　　　，点C的坐标为　　　　　；
随堂演练
解　A(-2，1)，B(-3，-2)，C(1，-2).
4.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系.
(2)以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在方格纸内画出△A1B1C1；
随堂演练
解　如图，△A1B1C1和△A'1B'1C'1即为所求.
4.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系.
(3)求出△A1B1C1的面积.
随堂演练
解　△A1B1C1的面积=×8×6=24.
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