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第三章　3.4　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形对应高、
角平分线、中线的比
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.熟练掌握三角形中主要线段的性质，掌握相似三角形中对应线段的性质.(重点)
2.能利用相似三角形中对应线段的性质进行计算与证明，并在解题过程中加深对相似三角形的理解，提高综合运用所学知识的能力.(难点)
情境引入
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.
根据相似图形的概念，可知△ACD与△A'C'D'相似，那么这两根立柱的长度之间有什么关系呢？
相似三角形对应高、角平分线、中线的比
问题　(1)如图，△ABC和△A'B'C'在边长为1的网格中的位置如图所示，已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AE和A'E'分别是△ABC和△A'B'C'的高，则△ABC∽△A'B'C'的相似比是　　　，AD和A'D'的比是　　　，AE和A'E'的比是　　　；
提示　根据勾股定理，得AB==，A'B'==2，AD==，A'D'=2，AE=2，A'E'=4，所以△ABC∽△A'B'C'的相似比是1∶2，AD和A'D'的比是1∶2，AE和A'E'的比是1∶2.
(2)利用同样的道理，可以得到△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比是　　　　　.
提示　△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比为1∶2.
知识梳理
相似三角形的性质如表.
定理内容 符号表示 相似三角形对应高的比、对应 的比、对应 的比都等于相似比 如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，线段AD和A'D'，AE和A'E'，AF和A'F'分别是△ABC和△A'B'C'的中线、高、角平分线，那么===k
角平分线
中线
例　(课本P85例1)如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？
解　∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形对应高的比等于相似比)，
例　(课本P85例1)如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？
解　即=.
当SR=BC时，得=.解得DE=h.
当SR=BC时，得=，解得DE=h.
反思感悟
对于此类问题，其关键是审题，而审题的重点是两方面的内容，即已知条件与三角形的相似比是什么关系；二是所求线段是否为三角形中的主要线段或能否转化为三角形中的主要线段，若符合上述条件，利用相似三角形的性质即可得到答案.
跟踪训练　(1)如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE=10，BC=15，AG=12.求GH的值.
解　∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE，
∴=，即=，
∴AH=18，
∴GH=AH-AG=18-12=6.
(2)两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解　设其中较短的角平分线的长为x cm，
则另一条角平分线的长为(42-x)cm.
根据题意，得=，解得x=18.
所以42-x=24.
所以这两条角平分线的长分别是18 cm，24 cm.
(3)已知△ABC∽△A'B'C'，=，AB边上的中线CD=4 cm，求A'B'边上的中线C'D'.
解　∵△ABC∽△A'B'C'，CD是AB边上的中线，C'D'是A'B'边上的中线，
∴==.
又∵CD=4 cm，
∴C'D'==×4=6(cm)，
即A'B'边上的中线C'D'的长是6 cm.
课堂小结
相似三角形的性质
1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.8∶27
随堂演练
√
2.若两个三角形相似，且相似比为1∶3，则这两个三角形对应角平分线的比为
A.1∶ B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
随堂演练
√
3.若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为
A. B. C. D.
随堂演练
√
解析　因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相等，
所以它们对应边上的高之比为.
4.如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△ABC与△DEF的对应高之比为
A.2∶1 B.3∶1
C.4∶1 D.5∶1
随堂演练
√
解析　因为点D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以DF∥AC，DE∥ AB，EF∥BC，可得△ABC∽△DEF，且相似比为AB∶DE=2∶1，则△ABC与△DEF的对应高之比为2∶1.
5.如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶5，那么它们的中线比是　 　.
随堂演练
2∶5
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