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(共20张PPT)
第三章　3.4　相似三角形的性质
第2课时　相似三角形的周长
比与面积比
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.掌握相似三角形周长和面积的性质.(重点)
2.能综合运用相似三角形的性质进行计算与证明，在解题过程中提高逻辑推理的能力，增强符号感.(难点)
情境引入
学校近期要对校园西侧的两个三角形绿化花坛进行维护升级，这两个花坛有个特别的关系——它们是相似的.已知施工师傅测量出它们的相似比是2，也就是说，大花坛对应边的长度是小花坛的2倍.
现在有两个实际问题需要大家帮忙解决：第一，维护时要给两个花坛围上一圈木质栅栏，用来保护花草，那围大花坛需要的栅栏长度，是围小花坛的几倍呢？
第二，栅栏围好后，要给花坛重新铺种植土，种植土的用量取决于花坛的面积.那铺大花坛需要的种植土体积又是小花坛的几倍呢(可简化为面积比)？
下面，让我们通过本节课的学习，尝试解决以上问题.
相似三角形的周长之比与面积之比
问题　如图所示，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
(1)那么===　　；
(2)根据等比性质，得==　　；
(3)分别作△ABC，△A'B'C'的高CD，C'D'，那么==　　.根据三角形面积公式，得 ==·=　　.
k
k
k
k2
知识梳理
定理 符号表示 相似三角形的周长比等于_______ 如图所示，△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，则△ABC与△A'B'C'的周长比等于__
相似三角形的面积比等于_______ _______ 如图所示，△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，则△ABC与△A'B'C'的面积比等于___
相似比
相似比
的平方
k
k2
例　(课本P87例2)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解　根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴==(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，
即=，
例　(课本P87例2)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解　∴EC2=2.
∴EC=.
∴BE=BC-EC=2-，
即△ABC平移的距离为2-.
反思感悟
在根据相似三角形的性质解决与面积有关的问题时，容易出现的错误是丢掉了“平方”这个关键的运算，一定要高度重视.
跟踪训练　(1)若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是
A.5 B.10 C.20 D.40
解析　设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，
∴10∶x=1∶2，
解得x=20.
√
(2)已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则等于
A. B. C.6 D.8
√
解析　∵△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，=，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比为，
∴==.
(3)如图所示，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
解　∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2，
∴==，
又∵△ADE的面积是1，
∴S△ABC=4S△ADE=4，
∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=4-1=3.
(4)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=4，A'B'=5，若四边形ABCD的面积为12，求四边形A'B'C'D'的面积.
解　∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=4，A'B'=5，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为=，
∴==，
即=，
∴S四边形A'B'C'D'=.
课堂小结
相似三角形的性质
1.将△ABC放大到3倍，得到△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'的面积比是
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶9
随堂演练
√
解析　∵将△ABC放大到3倍，得到△A'B'C'，
∴AB∶A'B'=1∶3，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1∶9.
2.两个相似三角形的对应边上的中线比为1∶，则它们面积比为
A.5∶1 B.1∶5
C.1∶ D.∶1
随堂演练
√
解析　∵相似三角形对应边上的中线的比为1∶，即相似比为1∶，而相似三角形的面积比等于其相似比的平方，∴其面积比为1∶5.
3.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的周长比是
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3 D.3∶2
随堂演练
√
解析　∵AD=1，BD=2，∴AB=AD+BD=3.∵△ADE∽△ABC，∴AD∶AB=1∶3，∴△ADE与△ABC的周长比是1∶3.
4.已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，则△A'B'C'的周长是　　.
随堂演练
解析　∵△ABC的三边长分别为6，8，10，∴△ABC的周长为6+8+ 10=24，∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3，∴△A'B'C'的周长为24×3=72.
72
5.如图，已知AB∥DE，AC∶AE=2∶5，若△ABC 的面积为16，则△DCE的面积为　　.
随堂演练
解析　∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，由AC∶AE=2∶5，
得AC∶CE=2∶3，∴S△ABC=·S△CDE，解得S△CDE=36.
36
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