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人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.3.1第2课时直角三角形的两锐角互余第十三章三角形13.3.1第2课时直角三角形的两锐角互余同步练习题核心知识点：直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）；直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；熟练利用定理进行角度计算、三角形形状判定，结合高、角平分线进行综合角度求解。一、选择题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=28°，则∠B的度数为（）A. 62°B. 72°C. 52°D. 28°2.已知一个三角形的两个内角分别为35°和55°，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角的度数为（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则图中互余的锐角共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对5.下列说法正确的是（）A.直角三角形只有一个锐角B.任意三角形的两锐角都互余C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.直角三角形的两个钝角互余二、填空题（每题4分，共20分）6. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，则∠B=________°。7.若三角形中两个内角的和为90°，则第三个内角为________°，这个三角形是________三角形。8.直角三角形的两个锐角之差为10°，则这两个锐角分别是________°和________°。9.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B:∠C=1:4，则∠C=________°。10.已知Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，∠BCD=35°，则∠A=________°。三、解答题（共60分）11.（12分）根据条件求解直角三角形中未知锐角的度数。（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=56°，求∠B；（2）Rt△ABC中，∠B=90°，∠A比∠C大18°，求∠A、∠C。12.（14分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知∠ACD=25°，求∠B的度数。13.（16分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若∠B=26°，求∠ADC的度数。14.（18分）已知△ABC中，∠A=65°，∠B=25°，CD⊥AB于D，求证：△BCD是直角三角形。参考答案及解析一、选择题1. A解析：直角三角形两锐角互余，∠B=90°-28°=62°。2. B解析：35°+55°=90°，根据判定定理，有两个角互余的三角形是直角三角形。3. B解析：设较小锐角为x，较大锐角为2x，x+2x=90°，解得x=30°。4. C解析：互余锐角分别为：∠A与∠B、∠A与∠ACD、∠B与∠BCD、∠ACD与∠BCD，共4对。5. C解析：直角三角形有两个锐角，只有直角三角形两锐角互余，钝角不存在互余，A、B、D错误，C为判定定理，正确。二、填空题6. 53解析：90°-37°=53°。7. 90；直角解析：三角形内角和180°，两角和为90°，第三角为90°，为直角三角形。8. 40；50解析：设两角为x、90°-x，(90°-x)-x=10°，解得x=40°，另一角50°。9. 72解析：设∠B=x，∠C=4x，x+4x=90°，x=18°，∠C=72°。10. 35解析：Rt△ABC中，∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，故∠A=∠BCD=35°。三、解答题11.解：（1）∠B=90°-56°=34°；（2）设∠C=x，∠A=x+18°，x+x+18°=90°，解得x=36°，∠C=36°，∠A=54°。12.解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD=25°。13.解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，∴∠BAC=90°-26°=64°。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=32°。在△ABD中，∠ADC为外角，∠ADC=∠B+∠BAD=26°+32°=58°。14.证明：在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-25°=90°，∴△ABC是直角三角形。∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴△BCD是直角三角形（有一个角是直角的三角形是直角三角形）。（总字数：828）1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.（重点）
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.（难点）
3.发展推理能力，感受从特殊到一般的思想.
如图所示是我们常用的一副直角三角板，量一量自己手上的这两个三角板，它们两锐角的度数之和分别是多少？对于任意直角三角形，这个结论还成立吗？
探究点一： 直角三角形的性质
猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，你发现了什么？
动手操作：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数.
两锐角的度数之和为 90°.
65°
25°
36°
54°
∠B + ∠C = 90°
∠E + ∠F = 90°
拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，你发现了什么？
演绎推理：
如图，在直角三角形ABC 中，
∠C = 90°，
由 ，
得∠A +∠B + ∠C= ，
即∠A +∠B +90° = ，
所以∠A + ∠B = .
三角形内角和定理
180°
180°
90°
A
B
C
探究点一： 直角三角形的性质
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角_____.
互余
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C＝90°，
∴∠A +∠B＝90°．
“Rt△”
探究点一： 直角三角形的性质
知识要点：
例1 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE 中，
∠CAE = 90°－∠AEC.
在Rt△BDE 中，
∠DBE = 90°－∠BED.
∵∠AEC =∠BED，
∴∠CAE =∠DBE.
探究点一： 直角三角形的性质
解法一 (利用平行线的判定和性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴ AB∥CD.
∴∠A＝∠D.
解法二 (利用直角三角形和对顶角的性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠D + ∠COD＝ 90°.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠D.
变式 如图，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？
探究点一： 直角三角形的性质
通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
8 字形
∠A＝∠D
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
∠A＝∠C
探究点一： 直角三角形的性质
解：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，
∴∠BEA＝∠BDF＝90°.
∴∠ABE +∠A＝90°，
∠ABE +∠DFB＝90°.
∴∠A＝∠DFB.
∵∠DFB +∠BFC＝180°，∴∠A +∠BFC＝180°.
练一练 1. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 又有什么关系？为什么？
探究点一： 直角三角形的性质
是直角三角形.
理由如下：
如图，在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，
根据三角形内角和定理，可知
∠A +∠B +∠C = 180°，
于是得∠C = 180°－90°=90°，
∴△ABC 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.
A
B
C
直角三角形的判定：
有两个角_____的三角形是直角三角形.
互余
几何语言：
尝试翻译成几何语言.
在△ABC 中，
∵∠A +∠B＝90°，
∴△ABC 是直角三角形．
探究点二： 直角三角形的判定
知识要点：
例2 如图，∠B = 90°，∠1 =∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
证明：在△ABC 中，∵∠B = 90°，
∴∠A +∠2 = 90°，
∵∠1 =∠2，∠A+∠2 = 90°.
∴∠A +∠1 = 90°.
∴△ADE 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
E
D
例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 62°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，AD⊥BC 于点 D，∠ADF = 74°.
(1) 求∠DAE 的度数；
(1) 解：由三角形内角和定理，得
∠BAC = 180°－∠B－∠C = 88°.
∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE = ∠BAC = 44°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC = 90°，
∴∠CAD = 90°－∠C = 28°.
∴∠DAE =∠CAE－∠CAD = 44°－28°=16°.
探究点二： 直角三角形的判定
(2)求证：△ADF 是直角三角形.
(2) 证明：由 (1) 知∠DAE = 16°，
又∠ADF = 74°，
∴∠DAE +∠ADF = 90°，
∴△ADF 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
1.［厦门调研］在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另
一个锐角的度数是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.在中， ，，则 的
度数为( )
B
A. B.
C. D.
返回
返回
C
3．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角尺叠放在直尺上，则∠1＋∠2＝(　　)
A．60° B．75° C．90° D．105°
返回
4.［教材P练习T变式］如图，在中， ，
于点.若 ，则 的度数为_____.
返回
5.已知 ， ，则 为( )
C
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
返回
6.［教材P练习T变式］如图， ，垂
足为，.求证： 是直角三角形.
证明：， ，
.
， ，
， 是直角三角形.
返回
C
7．大同期中如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B的度数为(　　)
A．65° B．55° C．45° D．35°
返回
8.下列条件：； ；
；，其中能确定 是直角三
角形的条件有( )
C
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
74°
9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝________．
判定
直角三角形的性质和判定
有两个角_____的三角形是直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角_____
互余
互余

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