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人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.3.2三角形的外角第十三章三角形13.3.2三角形的外角同步练习题核心知识点：1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；2.外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角；4.三角形的外角和为360°，熟练运用定理进行角度计算、大小比较及几何推理。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于三角形外角的说法正确的是（）A.三角形的外角大于任意一个内角B.三角形的外角等于两个内角的和C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形的外角都比内角大2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°3.一个三角形的一个外角是110°，与它不相邻的一个内角为50°，则另一个不相邻的内角为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.三角形的三个外角的和为（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°二、填空题（每题4分，共20分）6.在△ABC中，∠A=35°，∠B=45°，则∠C的外角为________°。7.三角形的一个外角为130°，与它相邻的内角为________°。8.在△ABC中，外角∠ACD=105°，∠A=48°，则∠B=________°。9.等腰三角形的一个内角为70°，则它的一个外角为________°。10.三角形的一个外角比与它相邻的内角大20°，则这个相邻内角为________°。三、解答题（共60分）11.（12分）根据已知条件，利用外角定理求未知角度。（1）△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，求∠ACB的外角度数；（2）△ABC中，外角∠BCD=95°，∠A=42°，求∠B的度数。12.（14分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=35°，∠ACD=100°，AE平分∠BAC，求∠CAE的度数。13.（16分）已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三角形各外角的度数。14.（18分）如图，求证：三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。参考答案及解析一、选择题1. C解析：三角形外角定理核心内容，外角等于与它不相邻的两个内角和，且只大于不相邻内角，A、B、D表述错误。2. B解析：根据外角定理，∠C的外角=∠A+∠B=40°+60°=100°。3. C解析：由外角定理可得，另一个内角=110°-50°=60°。4. C解析：外角与相邻内角互补，外角小于相邻内角，说明相邻内角大于90°，为钝角三角形。5. C解析：任意三角形的三个外角和恒为360°。二、填空题6. 80解析：∠C的外角=∠A+∠B=35°+45°=80°。7. 50解析：外角与相邻内角互补，180°-130°=50°。8. 57解析：∠B=∠ACD-∠A=105°-48°=57°。9. 110或100解析：若70°为底角，外角为110°；若70°为顶角，底角为55°，外角为100°。10. 80解析：设相邻内角为x，外角为180°-x，列方程180-x-x=20，解得x=80°。三、解答题11.解：（1）∠ACB的外角=∠A+∠B=30°+50°=80°；（2）∠B=∠BCD-∠A=95°-42°=53°。12.解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠BAC=∠ACD-∠B=100°-35°=65°。∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=1/2∠BAC=32.5°。13.解：设三个内角为2x、3x、4x，2x+3x+4x=180°，解得x=20°。三个内角分别为40°、60°、80°，对应外角分别为140°、120°、100°。14.证明：设△ABC中，∠ACD为外角，∴∠ACD=∠A+∠B。∵∠A、∠B均为正数，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B，即三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。（总字数：835）1. 理解三角形的外角的概念和性质.(重点)
2. 运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程.(难点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论.
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性.
两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处
题目所求的是哪个角度？
思考：如图，先把△ABC 的一边 BC 延长，这时在△ABC 外得到∠ACD. 类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD 这样的角呢？它又具有什么性质呢？
C
B
A
D
概念引入：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形的外角
探究点一：三角形外角的概念
C
B
A
D
问题1：三角形的外角有什么特征？
（1）角的顶点是三角形的顶点；
（2）角的一边是三角形的一边；
（3）角的另一边是三角形某边的延长线.
问题2 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题3 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究点一：三角形外角的概念
问题4 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
B
A
C
F
A
B
C
D
E
练一练 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 和 △BEF
的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
探究点一：三角形外角的概念
思考： 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，
∠ACD 是△ABC 的一个外角. 能由∠A，∠B 求出∠ACD 吗？如果能，求出∠ACD 与∠A、∠B 的关系；
∠ACD = 130°.
∠ACD = ∠A + ∠B，
∠ACD > ∠A 等.
探究点二：三角形外角的性质
讨论：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？请由三角形内角和定理自行证明.
都有这种关系.
证明：在上图中，∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACB = 180°－∠A－∠B.
∵∠ACB +∠ACD = 180°，
∴∠ACD = 180°－∠ACB
= 180°－(180°－∠A－∠B) =∠A +∠B.
探究点二：三角形外角的性质
拓展：你是否有其他方式证明？与大家讨论.
分析：利用角的转移.
D
证明：过 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
探究点二：三角形外角的性质
三角形内角和定理推论：
三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___.
等于
和
几何语言：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
探究点二：三角形外角的性质
知识要点：
例1 如图，∠A = 76°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 76° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 94°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 94°，
∴∠BFC = 122°.
F
A
C
D
E
B
探究点二：三角形外角的性质
例2 (一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
探究点二：三角形外角的性质
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在 △ABD 中，∠1 +∠B = ∠3，
在 △ACD 中，∠2 +∠C = ∠4.
∵∠BDC = ∠3 +∠4，
∠BAC = ∠1 +∠2，
∴∠BDC = ∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
探究点二：三角形外角的性质
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 = ∠B + ∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
探究点二：三角形外角的性质
通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？
∠BDC＝∠A + ∠B + ∠C
飞镖形
探究点二：三角形外角的性质
2. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处
解：∵∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，
∴∠A = 70°.
∴小猫需要转动的角度为：
∠ECB = ∠A+∠ABC = 40°+70° = 110°.
探究点二：三角形外角的性质
探究 对于任意三角形 ABC，请探索其外角和是多少.
例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
分析：利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算.
探究点三：三角形外角和
证法一：利用三角形内角和及其推论.
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
探究点三：三角形外角和
证法二：利用三角形内角和及平角的定义.
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°.
你还有其他解法吗？
探究点三：三角形外角和
三角形外角和：
三角形的外角和等于_____.
例如：∠FAE + ∠ECD + ∠DBF = 360°.
360°
探究点三：三角形外角和
1.下图中 是三角形的一个外角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如图， 的外角是_______、_______.
返回
3.如图， ， ，则 的度数是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4.如图，若 ，则 的度数为( )
B
A. B.C. D.
返回
A
5．烟台中考如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　)
A．40° B．35° C．30° D．20°
返回
6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝(　　)
A．50° B．60° C．65° D．70°
C
返回
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是________________．(用“<”连接)
∠2<∠1<∠3
返回
8.如图，在中，， 平分
的外角.求证： .
证明：由三角形外角的性质，得
.
， .
平分 ，
.
.
返回
9．如图，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝25°，求∠BFC的度数．
解：∵∠A＝70°，∠ABE＝25°，
∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝95°.
又∵∠ACD＝20°，∴∠BFC＝∠ACD＋∠BEC＝20°＋95°＝115°.
返回
10．教材P15例4变式如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，∠ACD＝130°，则∠BAE＋∠CBF＝(　　)
A．130° B．230° C．260° D．300°
B
性质
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和
定义
三角形的一边与另外一边的______所组成的角
延长线
三角形外角和
三角形的外角和等于_____
360°
不相邻

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