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人教版数学8年级上册精做课件
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .

13综合与实践：确定均匀质薄板的重心位置
第十三章 三角形
综合与实践：确定均匀质薄板的重心位置
一、实践背景与探究目的
在生活中，书本、硬纸板、铁片等厚薄均匀、材质均匀的薄板，都属于均匀质薄板。这类物体质量分布均匀、形状规则或不规则，其重心位置是物体重力的等效作用点。对于均匀薄板，重心位置只与物体的形状有关，与质量大小无关。本次实践通过动手操作，掌握寻找均匀质薄板重心的科学方法，理解几何图形重心的几何意义，体会数学几何知识与物理力学的结合，提升动手实践与探究归纳能力。
本次实践核心目的：掌握悬挂法找薄板重心的操作步骤；理解规则几何图形重心的位置规律；学会利用三角形中线性质确定三角形薄板重心。
二、实践原理
根据物体平衡原理，静止悬挂的物体只受重力和绳子拉力，二力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。因此，物体的重心一定在悬挂线所在的竖直线上。对同一薄板进行两次不同位置悬挂，两条竖直线的交点，就是薄板的重心。
同时结合数学几何规律：规则均匀薄板的重心与几何中心重合。三角形均匀薄板的重心是三条中线的交点，也是三角形的几何重心，该点将每条中线分为2:1的两段。
三、实践器材
厚薄均匀的硬纸板（裁剪成三角形、矩形、不规则四边形）、细线、小重物（螺母、钥匙）、图钉、铅笔、直尺、剪刀。
四、实践步骤
1. 制作实验薄板：用剪刀将硬纸板分别裁剪成锐角三角形、直角三角形、长方形、任意不规则四边形四种均匀薄板，保证板面平整、厚度均匀。
2. 制作悬挂工具：将细线一端系上小重物，制作成重垂线，保证细线自然下垂时竖直笔直。
3. 第一次悬挂定位：用图钉在薄板边缘任意位置扎一个小孔，将薄板自由悬挂起来，待薄板完全静止后，沿重垂线位置，用铅笔在薄板上画出竖直直线。
4. 第二次悬挂定位：更换薄板边缘另一位置重新打孔悬挂，静止后再次画出重垂线对应的竖直直线。
5. 确定重心：两次所画直线的交点，即为该均匀薄板的重心。
6. 验证重心：用笔尖顶住交点位置，薄板可以保持水平平稳静止，证明该点为重心。
7. 重复实验：对所有形状的薄板重复以上操作，记录不同图形的重心位置。
五、实践现象与结果分析
1. 长方形薄板：两次重垂线交点为长方形对角线的交点，也就是长方形的几何中心，重心在图形内部中心位置。
2. 三角形薄板：悬挂得到的重心，与三角形三条中线的交点完全重合。该点在三角形内部，且任意一条中线都被重心分为长度2:1的两部分，符合三角形重心的几何性质。
3. 不规则四边形薄板：重心无固定几何公式，只能通过悬挂法确定，重心同样位于图形内部，是物体重力的等效作用点。
六、实践结论
1. 寻找均匀质薄板重心的通用方法为悬挂法，两次不同位置悬挂，重垂线交点即为重心。
2. 规则均匀几何薄板的重心与几何中心重合：矩形重心为对角线交点，三角形重心为三条中线的交点。
3. 三角形的重心始终在三角形内部，是三角形最稳定的中心点，具备中线2:1的比例性质。
4. 无论薄板形状是否规则，均匀质薄板的重心是重力的等效作用点，支撑重心位置可使物体保持平衡。
七、实践反思与拓展
本次实践将数学三角形中线知识与物理重心平衡知识相结合，直观验证了三角形重心的几何性质。实验中若打孔位置偏差、画线不竖直，会导致重心定位误差，实验时需保证物体自然静止、画线精准。生活中桌椅、桥梁、广告牌的设计，都利用了重心平衡原理，保证物体稳定，充分体现了几何知识在生活中的实用价值。
（总字数：816）
1. 能准确理解重心概念，知晓均匀质薄板的重心是重力等效作用点. (重点)
2. 熟练掌握悬挂法确定均匀质薄板重心位置的操作，能精准找到给定薄板的重心.(重点)
3. 学会利用几何图形性质，确定规则均匀质薄板的重心位置，理解重心与图形形状、质量分布的关联.(重点、难点)
4. 锻炼动手实践、空间想象和观察能力，积累数学活动经验；经历从实际问题抽象出数学问题、建立模型并解决问题的过程，提升分析和解决问题的能力，增强数学应用意识.
提问：“同学们，杂技演员走钢丝为何要做特定动作？不倒翁为何不易倒下？今天我们就探究如何确定匀质薄板的重心位置，揭开这些现象背后的数学奥秘.”
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形的重心在什么位置呢？
G
三边中线交点
任务1 认识平面图形的重心
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题，
（1）在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质
薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关?
答：在物理学中，物体的重心是指物体所受重力的等效作用点.
对于匀质薄板，其重心位置与薄板的形状有关.
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
(2) 用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心（图7），它能保持平衡吗？三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？
答：根据重心的性质，物体在重心处受力可保持平衡.
对于匀质三角形薄板，其质量均匀分布，其重心就是三角形的重心（三条中线交点）.
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题.
(1) 你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？
任务2 了解平面图形重心位置的分布特点
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活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
线段：中点是重心.
正方形、长方形、平行四边形：重心是对角线交点（也是中心对称点）.
（2）怎样确定其他常见的几何图形（如线段、正方形、长方形、平行四边形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？
三角形：虽非中心对称，但三条中线交点(重心)处，分割的小三角形质量分布相对均匀，体现类似中心对称的平衡性质.
共同特点：规则匀质图形重心在几何中心(对称中心).
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
操作1：给每个小组发放形状不规则的均匀质薄板（如硬纸板剪成的任意形状）、细线、小重物（如螺母）、图钉、铅笔等器材，用图钉将细线一端固定在薄板边缘点，系上小重物制成简易铅垂线；将薄板通过固定点悬挂，待静止后沿铅垂线用铅笔在薄板上画直线，此直线代表该悬挂点下重力作用线方向；再选薄板另一不同边缘点，重复步骤画另一条铅垂线，两铅垂线交点即薄板重心.
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
（3）如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位置？”，你会怎样回答？
平面图形重心是匀质薄板时重力等效作用点.
规则匀质图形重心在几何中心，
不规则或质量不均图形可以用实验（如悬挂法）确定.
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择一些平面图形，尝试确定它们的重心位置.
（1）你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能，你的依据是什么？
如何验证你找到的重心位置的准确性？
任务3 确定一些平面图形的重心位置
重心在圆心
圆形：能确定，它是中心对称图形，重心在圆心.
验证：薄板不同位置悬挂画重力作用线，或用针尖顶圆心看是否平衡.
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
（2）当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不能，你遇到了什么困难?
活动探究一：悬挂法确定简单平面图形的重心位置
思考： 在活动一中我们探究了单一不规则图形的重心，如果是组合图形，它的重心位置又该如何确定？
活动探究二：确定平面组合图形的重心位置
平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了.
操作1：把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系，如下图所示，试着动手画一画.
两正方形组合
两矩形组合
G
G
活动探究二：确定平面组合图形的重心位置
作两种可以平分组合图形面积的分割线，两分割线的交点即为所求重心位置.
讨论：你能说明上述操作的原理吗？
活动探究二：确定平面组合图形的重心位置
操作2：为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置.
如右图，平面直角坐标系内，已知一线段两端点的位置坐标为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，确定其重心位置.
依据平面直角坐标系中，中点坐标公式可得，
G ????1+????22,????1+????22.
?
O
(x1，y1)
(x2，y2)
P
Q
x
y
G
线段的重心就是线段的中心
活动探究二：确定平面组合图形的重心位置
拓展：现有 A(3，8)，B(1，4)，C(-1，6) 三点，点 D 为线段 AB 的中点，点 C' 为点 C 关于原点对称的点，求线段 DC' 的中点坐标.
解：由中点公式可知 D ，即 D(2，6)，
根据关于原点对称求出 C' (1，-6)，
????+????????,????+????????
?
????+????????,????+(?6)????
?
∴ 线段 DC' 的中点坐标 .
????????,0
?
∴ 线段 DC' 的中点坐标 .
活动探究二：确定平面组合图形的重心位置
1. 三角形三条 ( )的交点叫作三角形的重心.
A. 高 B. 角平分线
C. 外角角平分线 D. 中线
2.下列有关重心的说法错误的是 ( )
A.线段的重心是它的中点
B.三角形的重心是它的三条高的交点
C.平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
D.长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点
B
D
3. 小敏同学利用作图法找出如图均匀薄铁片的重心，他把整块铁片分成两个长方形，确定它们的重心 O1，O2，那么整个铁片的重心必在 O1，O2，的连线上.请利用这个思路和作法，找出铁片的重心.
A
B
C
D
O1
O2
G
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1. 如图所示的网格由边长相
同的小正方形组成，点????，????，????，????，????，???? ，
????在小正方形的顶点上，则△???????????? 的重心是
( )
?
A
A.点???? B.点???? C.点???? D.点????
?
2.如图，嘉嘉用细线绑一块木板，然后提着细线使木板
悬空.嘉嘉发现，当将细线在????，???? 处捆绑木板时，木板
不能水平悬空，而将细线在???? 处捆绑时，木板能水平悬
空，则可以确定木板的重心在___处.
?
????
?
返回
3.通过查阅资料和使用悬挂法测定可知，线段的重心是____________，
正方形的重心是______________，长方形的重心是______________，平
行四边形的重心是______________，圆的重心是______.
线段的中点
对角线的交点
对角线的交点
对角线的交点
圆心
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4.已知长方形????????????????的长为2，宽为1.以???????? 所在的直
线为????轴，???????? 的中点为原点，建立平面直角坐标系，
如图.则长方形????????????????的重心???? 可以用坐标表示为
_______.若将????????与????轴的交点记为点???? ，则长方形
???????????????? 可以拆分成两个小正方形，分别为正方形
?
(????,????????)
?
(?????????,????????)
?
(????????,????????)
?
????
?
????????????????和正方形????????????????.那么正方形????????????????的重心???? 可以用坐标表示为
________，正方形????????????????的重心????可以用坐标表示为______，连接???????? ，
可以发现线段???????? 的重心恰好是点___.
?
5．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为S1，S2，重心分别为M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，
(1)如图①，若AF＝2，AB＝5，BC＝6，CD＝2，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为(　　)
B
(2)如图②，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示该图形
的重心位置．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，延长????????交????轴于点???? .
易得四边形????????????????的面积是?????????????????,其重心坐标是(????.????,????)，四边形????????????????
的面积是?????????????????，其重心坐标是(????,????.????) ，所以该图形的重心坐标为
(????????+????×????.????+????????+????×????,????????+????×????+????????+????×????.????)，即(????.????????,????.????????) .
?
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确定匀质薄板的重心位置
确定规则几何图形的重心位置
重心的概念
悬挂法确定匀质木板的重心位置

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