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人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.2第4课时尺规作图第十四章全等三角形14.2第4课时尺规作图总结与练习一、课时核心知识点总结1.尺规作图定义尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图，叫做尺规作图。直尺仅用于画直线、射线、线段，不可量取长度；圆规仅用于截取等长线段、画弧，是作图核心工具。本节作图核心依据：全等三角形判定定理（SSS），通过截取等长线段构造三边对应相等，得到全等三角形。2.五种基本尺规作图（八年级必考）1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作已知角的平分线；4.作已知线段的垂直平分线；5.过一点作已知直线的垂线。3.本节课重点：作三角形（SSS、SAS、ASA）（1）已知三边作三角形（SSS）原理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS），作出的三角形唯一确定。（2）已知两边及其夹角作三角形（SAS）原理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），作图结果唯一。（3）已知两角及其夹边作三角形（ASA）原理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），作图结果唯一。4.标准作图答题规范（考试得分点）1.作图痕迹必须保留（圆弧、辅助线），不可擦除；2.直尺无刻度，所有长度依靠圆规截取；3.作图完成后，必须写结论：△×××即为所求三角形；4.禁止直接量取长度、角度，严格遵循尺规作图规则。5.易错点总结1. SSA、AAA不能尺规作出唯一三角形，存在两种情况或无数种情况；2.作图遗漏圆弧痕迹，直接扣分；3.作图后不写结论，答题不完整。二、课时同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.尺规作图的工具是（）A.直尺、量角器B.刻度尺、圆规C.无刻度直尺、圆规D.直尺、三角板2.不能利用尺规作图作出唯一三角形的条件是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. SSA3.作一个三角形与已知三角形全等，下列依据中不属于尺规作图常用依据的是（）A. SSS B. AAA C. SAS D. ASA4.尺规作图中，圆规的主要作用是（）A.画直线B.截取等长线段、画弧C.测量角度D.测量长度5.已知三边作三角形，用到的全等判定方法是（）A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA二、填空题（每题4分，共20分）6.尺规作图只能使用________的直尺和________。7.已知两边及其夹角作三角形，依据的全等定理是________。8.尺规作图完成后，必须保留完整的________，并书写________。9.已知两角及其夹边作三角形，依据的全等定理是________。10. ________（填SSA/SSS）不能作出唯一的全等三角形。三、解答题（共60分）11.（20分）简述：已知三条线段a、b、c，用尺规作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b，写出简要作图步骤。12.（20分）简述：已知线段AB和∠α，用尺规作△ABC，使AB为夹边，∠A=∠α，∠B=∠α，写出作图依据与步骤。13.（20分）辨析说理：为什么AAA条件不能用尺规作出唯一三角形？结合三角形全等知识说明理由。三、参考答案及解析一、选择题1. C解析：尺规作图专属工具为无刻度直尺和圆规，禁止使用刻度尺、量角器。2. D解析：SSA不能判定三角形全等，无法作出唯一三角形，存在两种不同三角形。3. B解析：AAA只能证明三角形相似，无法判定全等，不能作为尺规作唯一三角形的依据。4. B解析：圆规核心功能是截取等长线段、画圆弧，直尺用于画直线。5. A解析：已知三边作三角形，依据边边边（SSS）全等定理。二、填空题6.无刻度；圆规7. SAS8.作图痕迹；作图结论9. ASA10. SSA三、解答题11.解：作图步骤：①作射线AP，用圆规截取AB=c；②分别以A、B为圆心，b、a为半径画弧，两弧交于点C；③连接AC、BC，△ABC即为所求。依据：SSS全等判定定理。12.解：作图步骤：①作线段AB；②分别以A、B为顶点，作∠A=∠α，∠B=∠α，两角另一边交于点C；③△ABC即为所求。依据：ASA全等判定定理。13.解：AAA只能确定三角形的形状，无法确定三角形的边长大小，可画出无数个形状相同、大小不同的三角形，不能保证三角形全等，因此无法作出唯一的三角形。1.学会作一个角等于已知角.
2.运用全等三角形的判定完成相关的尺规作图.
3.培养分析与尺规作图能力. (重点)
4. 理解尺规作图的原理，能够准确地用数学语言表述作图过程. (难点)
思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
探究点一： 作一个角等于已知角
探究 如何用直尺和圆规作一个角与已知角∠AOB 相等.
思路：
将∠AOB “放在” 一个三角形中
作出这个三角形
根据全等三角形的性质，∠AOB 的对应角就是要求作的角
讨论：这样的三角形容易做出来吗？
为什么∠AOB 的对应角就是要求作的角？
O
B
A
理由：
如图，在∠AOB 的边 OA，OB上分别取点 C，D，连接 C，D，得到△COD，∠AOB 就是△COD 的一个内角.
O
B
A
则∠C'O'D' =∠COD =∠AOB.
C
D
C'
D'
O'
再作出△C'O'D′，
使△C'O'D'≌△COD，
为了作图方便，一般取OC = OD.
探究点一： 作一个角等于已知角
D'
C'
B'
O'
A'
(2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'；
(3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步的弧相交于点 D'；
则∠A'O'B' =∠AOB.
作法：
(4) 过点 D' 作射线 O'B'，
O
B
A
C
D
(1) 以 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点C，D；
探究点一： 作一个角等于已知角
练一练 1. 如图，用尺规作出∠OBF =∠AOB，所画痕迹弧 MN 是( )
A. 以点 B 为圆心，OD 的长为半径的弧
B. 以点 C 为圆心，CD 的长为半径的弧
C. 以点 E 为圆心，OD 的长为半径的弧
D. 以点 E 为圆心，CD 的长为半径的弧
D
A
O
B
C
D
E
F
M
N
例1 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C. 利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB的平行线 CD.
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行. 可以利用这个结论，过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. 为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
A
B
C
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
(1) 过点 C 作一条直线，与直
线 AB 相交于点 E；
A
B
C
E
(2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD =∠CEB；
F
D
作法：如图.
(3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD∥AB.
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试.
思考讨论：
问题1：判定两直线平行的方法是什么？
同位角相等，两直线平行.
问题2：作平行线的过程，其本质是什么？
作一个角等于已知角.
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
1. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号)
①
【详解】解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意.
②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意.
③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意.
②
③
①②③
探究点二：过直线外一点作直线的平行线
如图，已知线段 a，b 和∠α，
求作△ABC，使 AB= a，AC = b，∠A =∠α.
例2 已知两边及其夹角作三角形.
探究点三：已知两边及其夹角作三角形
b
α
a
(2) 在射线 AD 上作 AB = a，
在射线 AE 上作 AC = b；
(3) 连接 BC，则△ABC 为所求作的三角形.
作法：
(1) 作∠DAE =∠α；
A
E
D
B
C
探究点三：已知两边及其夹角作三角形
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，BC = a.
例3 已知两角及其夹边作三角形.
探究点四：已知两角及其一边作三角形
a
α
β
A
作法：
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
思考：这里用了哪些作图方法
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作
∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
议一议 上述例题中作出的△ABC 唯一吗？试说明理由.
A
α
β
E
D
C
B
作出的△ABC 唯一.
理由如下：
因为作图过程中，确定了BC = a，
∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，
符合三角形全等判定的角边角条件，满足该条件的三角形都全等，即形状和大小都一样，所以△ABC 是唯一的.
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
α
β
a
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
α
β
a
作法：
(1) 作线段 AB = a；
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α，
BD 与 AE 相交于点 C.
C
α
E
D
A
B
C
α
E
D
A
B
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
能完全重合.
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1.如图是用直尺和圆规作一个角等
于已知角的示意图，说明
的依据是( )
B
A. B. C. D.
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D
2．聊城期中如图，用尺规作出了∠ICD＝∠A，作图痕迹中弧MN是(　　)
A．以点F为圆心，EF长为半径的弧
B．以点C为圆心，EF长为半径的弧
C．以点G为圆心，AF长为半径的弧
D．以点G为圆心，EF长为半径的弧
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3.［西安期末］如图，已知，是射线 上的一点，请用尺
规过点在上方作，使得 .（保留作图痕迹，不
写作法）
解：如图， 即为所作.
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B
4．如图，用尺规作图，“过点B作BC∥OA”，其作图依据是(　　)
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
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5.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
已知：如图，点是的边 上一点.
求作：点，使，并与交于点 .
解：如图，点 即为所求.
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6.如图，已知 ， ，线段，求作，使得 ，
， .
作法：
（1）作线段 ___；
（2）在的同侧，作 ___，作 ___，与
交于点___，则 就是所求作的三角形.
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7.如图，已知线段和 ，求作，使得， ，
.（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
解：如图， 即为所求作.
返回
D
8．在△ABC中，D为AC边上一点，现要利用尺规作图过点D作DE∥AB，下列作法不可行的是(　　)
尺规作图
作一个角等于已知角
过直线外一点作直线的平行线
已知两边及夹角作三角形
已知两角及一边作三角形

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