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人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.3第1课时角平分线的性质第十四章全等三角形14.3第1课时角平分线的性质总结与练习一、课时核心知识点总结1.角平分线的尺规作图（基础）无需量角器，只用无刻度直尺和圆规即可作出任意角的平分线，作图原理依托SSS三角形全等，作图后需保留圆弧痕迹，是考试基础考点。2.角平分线的性质定理（必考核心）定理内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。关键词解读：①点：必须在角的平分线上；②距离：特指垂线段的长度，不是斜线段、不是线段长度；③结论：两条垂线段长度相等。几何语言（满分模板）：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN。3.核心易错点（考试高频陷阱）1.必须同时满足在角平分线上+垂直两边两个条件，才能得距离相等，缺一不可；2.不能直接用“角相等”推出线段相等，必须强调垂直距离；3.性质定理只能证线段相等，不能直接证角平分线（判定定理才可证角平分线）。4.性质定理常见应用场景1.不求角度，快速证明两条垂线段相等；2.求线段长度、周长、面积；3.简化全等证明，替代繁琐的AAS/ASA全等步骤。二、课时同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的（）相等A.线段长度B.垂线段距离C.斜线段距离D.任意距离2.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 103.下列条件中，能利用角平分线性质定理得出线段相等的是（）A.点P在角内，到角两边线段相等B.点P在角平分线上，且垂直角两边C.角相等，直接得线段相等D.点在角平分线上即可4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，若DE=3，则DF的值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 65.关于角平分线性质，下列说法错误的是（）A.可快速证垂线段相等B.无需证明全等即可得线段相等C.不垂直也能使用该性质D.点必须在角平分线上二、填空题（每题4分，共20分）6.角平分线上的点到角两边的________相等。7.若点P在∠AOB的平分线上，且PM⊥OA，PN⊥OB，PM=6cm，则PN=________cm。8.使用角平分线性质的两个条件：①点在________上；②点到角两边________。9.三角形的角平分线可以得到对应________相等，常用于求边长和面积。10.角平分线性质定理几何语言：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴________。三、解答题（共60分）11.（15分）已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。12.（15分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若PM=4，求PN的长度，并说明理由。13.（15分）在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABC=30，AB=8，AC=7，DE=DF，求DE的长。14.（15分）辨析说理：“只要点在角内部，到角两边距离就相等”，判断正误并说明理由。三、参考答案及解析一、选择题1. B解析：角平分线性质特指点到角两边的垂线段距离，非任意线段。2. C解析：根据性质定理，角平分线上的点到角两边垂线段相等，PN=PM=5。3. B解析：必须同时满足点在角平分线、垂直两边，才可使用性质定理。4. B解析：AD为角平分线，DE、DF为角两边垂线段，故DF=DE=3。5. C解析：使用性质定理必须满足垂直条件，不垂直无法得出距离相等。二、填空题6.距离（垂线段长度）7. 68.角平分线；垂直9.垂线段10. PM=PN三、解答题11.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质，∴DB=DC。12.解：PN=4。理由：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，由角平分线的性质可得PN=PM=4。13.解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S△ABC=S△ABD+S△ACD=$$\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$$。代入DE=DF、AB=8、AC=7、面积=30，得$$\frac{1}{2}\times8\times DE+\frac{1}{2}\times7\times DE=30$$，解得DE=4。14.解：说法错误。理由：只有在角平分线上的点，到角两边的距离才相等；任意角内部的点，不一定在角平分线上，到两边的距离不一定相等。1. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化分析及作图能力.(重点)
2. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点)
3. 培养观察、归纳及动手能力，发展推理能力.
（1）判定两个三角形全等的方法有哪些？
SSS、ASA、ASA、AAS、HL
（2）三角形中有哪些重要的线段？
三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做
_________________.
点到直线的距离
情境探究 ：拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠.
问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？
B
D
A
C
M
②
B
A
M
①
问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？
先 AB = BC，后 AD = DC.
探究点一： 角平分线的作法
情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
分析：在△ACD 和△ACB 中，
AC = AC，
AD = AB，
CD = CB，
∴△ACD≌△ACB(SSS).
∴∠DAC =∠BAC.
∴AE 平分∠DAB.
探究点一： 角平分线的作法
思考：你能想到如何作一个角的平分线吗
A
B
O
M
C
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N．
(3) 画射线 OC.
射线 OC 即为所求.
(2) 分别以点 M，N 为圆心．
大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C.
作法：
探究点一： 角平分线的作法
N
问题1 为什么以大于 MN 的长为半径作弧？
答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线.
A
B
O
M
N
探究点一： 角平分线的作法
问题2 两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？
答：两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.
A
B
O
M
N
C
探究点一： 角平分线的作法
在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么
B
D
A
C
M
②
B
D
A
C
M
P
③
探究点二：角的平分线的性质
纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上；
观察折痕与边的关系得到：
B
D
A
C
M
P
E
F
PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF.
对于任意角的平分线是否都有这样的结论？
探究点二：角的平分线的性质
PD PE
第一次
第二次
第三次
在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？
探究点二：角的平分线的性质
怎样验证猜想呢？
1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设：角的平分线上有一点
结论：这一点到角的两边的距离相等
已知：
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 画出图形，几何语言描述
P
A
O
B
C
D
E
OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB
求证：
PD = PE
探究点二：角的平分线的性质
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △OPD 和 △OPE 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
OP = OP，
∴△OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD = PE.
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠AOC = ∠BOC.
探究点二：角的平分线的性质
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少
点在角的平分线上
垂线段的长
探究点二：角的平分线的性质
证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证；
2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究点二：角的平分线的性质
例 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC.
解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB.
∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC，
∴ DB = DF.
在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL).
∴BE = FC.
DE = DC，
DB = DF，
探究点二：角的平分线的性质
1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( )
C
① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③
分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交
于点 .
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
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A
2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
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解：如图，点P即为所求．
3．陕西中考如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法)
4.如图，是的平分线，点在 上，
于点，于点，若 ，则
的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
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5.如图，平分，点是射线 上一点，
于点，点是射线 上的一个动点，
连接.若，则 的长度不可能是( )
D
A.18 B.7.2 C.6 D.4.5
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B
6．厦门期中如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
7.如图,，，垂足分别为,， 与
相交于点，且.求证： .
证明： ,
为 的平分线.
, ，
, .
又 ,
, .
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8.命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设是______________
___________，结论是________________________.
一个三角形的两个角互余
这个三角形是直角三角形
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C
角平分线
性质定理
一个点：________________；
二距离：________________；
两相等：____________________
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线上的点
点到角两边的距离
两条垂线段(距离)相等

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