资源简介

(共24张PPT)
人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.3第2课时角平分线的判定第十四章全等三角形14.3第2课时角平分线的判定总结与练习一、课时核心知识点总结1.角平分线的判定定理（必考核心）定理内容：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。核心条件（缺一不可）：①点在角的内部；②点到角两边垂直距离相等。满足两点，可直接判定点在角平分线上。几何语言（考试满分模板）：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴点P在∠AOB的平分线上。2.性质定理与判定定理（互逆定理）对比性质定理（知平分，得距离等）：点在角平分线上→到角两边距离相等。判定定理（知距等，证平分）：点到角两边距离相等→点在角平分线上。性质用来证线段相等，判定用来证角相等、证角平分线，做题一定要分清因果关系。3.高频易错陷阱1.必须有垂直！仅有线段相等、无垂直条件，不能判定角平分线；2.必须是角内部的点，外部点不适用判定定理；3.判定定理无需全等，直接可得平分，简化证明步骤。4.重要拓展：三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。二、课时同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.判定点在角平分线上的依据是（）A.点在角内部B.点到角两边距离相等且在角内部C.任意两点距离相等D.点到角两边线段相等2.已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=PN，则（）A. OP平分∠AOB B. OA=OB C. ∠AOB=90°D.无法判断3.下列条件，不能判定OP是∠AOB平分线的是（）A. PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B.点P到OA、OB垂线段相等且在角内C. PA=PB，无垂直条件D.满足角平分线判定定理条件4.三角形三条角平分线的交点是（）A.重心B.内心C.外心D.垂心5.关于角平分线判定与性质，说法正确的是（）A.距离相等一定平分B.平分一定距离相等C.无垂直也可判定平分D.性质和判定无关联二、填空题（每题4分，共20分）6.在角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。7.证明角平分线用判定定理，已知角平分线得线段相等用________定理。8.点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=7，则当PN=________时，OP平分∠AOB。9.三角形内心到三角形________的距离相等。10.使用角平分线判定定理，必须具备距离相等和________两个条件。三、解答题（共60分）11.（15分）已知：点P在∠ABC内部，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，求证：BP平分∠ABC。12.（15分）如图，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN，求证：AD是∠BAC的平分线。13.（15分）在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，BF=CE，求证：点A在∠BAC的平分线上（本题考查判定综合应用）。14.（15分）辨析题：“点到角两边线段相等，这个点就在角平分线上”，判断正误并说明理由。三、参考答案及解析一、选择题1. B解析：角平分线判定定理两大条件：角内部、到两边垂线段距离相等。2. A解析：满足判定定理条件，可直接判定OP平分∠AOB。3. C解析：无垂直条件，只是斜线段相等，不满足判定定理，无法判定角平分线。4. B解析：三角形三条角平分线交点为内心，内心到三边距离相等。5. B解析：性质定理恒成立（平分→距离相等）；距离相等需满足垂直、角内才能推平分。二、填空题6.垂线段距离7.性质8. 79.三边10.点在角内部三、解答题11.证明：∵点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC，且PD=PE，根据角平分线的判定定理，∴BP平分∠ABC。12.证明：∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA=∠DNA=90°。又∵DM=DN，点D在∠BAC内部，由角平分线判定定理可得：AD平分∠BAC。13.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC=∠AEB=90°。在Rt△ABF和Rt△ACE中，可证得点A到两边距离相等，结合判定定理，可证AD平分∠BAC，即点A在角平分线上。（标准考试写法：利用垂距相等证平分）14.解：说法错误。理由：判定角平分线要求是垂线段距离相等，且点在角内部；普通斜线段相等、无垂直条件，不能判定该点在角平分线上。1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点)
2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.
(难点)
3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？
S
垂线段的长
实际问题
几何问题
A
O
B
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
探究点一： 角平分线的判定
新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
思考
这个结论正确吗？
A
O
B
P
D
E
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线 OP.
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
B
A
D
O
P
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等).
探究点一： 角平分线的判定
角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
位置关系
数量关系
探究点一： 角平分线的判定
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求.
O
探究点一： 角平分线的判定
例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.
在 △BDF 和 △CDE 中，
∠BFD = ∠CED，
∠BDF = ∠CDE，
BD = CD，
∴△BDF≌△CDE (AAS).
∴ DF = DE.
又 DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线.
探究点一： 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
探究点一： 角平分线的判定
变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
A
B
C
分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上，
则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P.
P
那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE. 同理，PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
总结：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
∴△ABC 的三条角平分线交于一点.
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，
这个风筝主题公园应建在
何处？(画出所有点)
A
B
C
P1
P2
P3
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
【归纳总结】
A
B
C
P4
P2
P3
P1
到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个.
4
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
练一练 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边
AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( )
A. 140° B. 130°
C. 120° D. 110°
A
探究点二： 三角形三条角平分线的关系
1.如图，于点，于点，，当 ___时，
点在 的平分线上.
2
返回
2.如图，于点 ，于点，
若，且 ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
3.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，
使得顶点重合， ，若
，则 的度数是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.［教材习题 变式］［2025武汉月考］如图，已
知，，垂足分别为，，，
相交于点，连接.若，求证： 平分
.
返回
5．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．
解：如图，作的平分线交
于点，点 即为水厂的位置.
返回
返回
6.到的三条边距离相等的点是 的( )
B
A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对
7.如图，的三边，， 的长分别为4，6，8，
其三条角平分线将分成三个三角形，则
_______.
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
相关结论
三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____
平分线
相等

展开更多......

收起↑