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人教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质与判定第十五章轴对称15.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质与判定总结与练习一、课时核心知识点1.线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。核心条件（缺一不可）：①过线段中点；②与线段互相垂直。补充：线段的垂直平分线是直线，不是线段、射线，一条线段有且只有一条垂直平分线。2.线段垂直平分线的性质定理（必考）定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。几何语言（满分模板）：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB。作用：不用证全等，直接快速证明两条线段相等，简化几何证明步骤。3.线段垂直平分线的判定定理（必考）定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言（满分模板）：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上。作用：证明点在垂直平分线上、证明直线是线段的垂直平分线。4.性质与判定互逆关系性质：点在中垂线上→到两端点距离相等（由位置推边长）判定：到两端点距离相等→点在中垂线上（由边长推位置）5.重要推论若两点到同一条线段两个端点的距离分别相等，则这两点确定的直线就是该线段的垂直平分线。几何应用：证明一条直线是线段的垂直平分线，只需找两个距离相等的点即可。6.高频易错点（考试陷阱）1.单独一个点PA=PB，只能说明点P在中垂线上，不能直接说明过P的直线是中垂线；2.垂直平分线是直线，无限延伸，不要误写为线段；3.性质定理无需全等，直接用，是几何解题的快捷工具；4.不要混淆：角平分线是到角两边距离相等，中垂线是到线段两端点距离相等。二、课时同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线上的任意一点（）A.到线段两端点距离相等B.到线段中点距离相等C.到线段两边距离相等D.平分线段2.已知PA=PB，则可以判定（）A.直线AB垂直平分PA B.点P在AB的垂直平分线上C. AB平分PA D. PA⊥PB3.下列说法正确的是（）A.垂直于线段的直线就是中垂线B.过线段中点的直线就是中垂线C.中垂线是线段D.中垂线上的点到线段两端点距离相等4.若直线l是AB的垂直平分线，AB=6，点P在l上，则PA的长满足（）A. PA=3 B. PA=6 C. PA=PB D. PA≠PB5.证明一条直线是线段的垂直平分线，需要找到（）A.一个距离相等的点B.两个距离相等的点C.任意一个点D.线段中点即可二、填空题（每题4分，共20分）6.线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。7.到线段两个端点距离相等的点在这条线段的________上。8.线段的垂直平分线是一条________（直线/线段/射线）。9.若点P在AB的垂直平分线上，且PA=5，则PB=________。10.角平分线是到________距离相等，线段中垂线是到________距离相等。三、解答题（共60分）11.（20分）已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，求证：PA=PB。12.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，求证：点A在BC的垂直平分线上。13.（20分）辨析说理：“只要一条直线垂直于一条线段，这条直线就是线段的垂直平分线”，判断正误并说明理由。三、参考答案及解析一、选择题1. A解析：线段垂直平分线性质：中垂线上的点到线段两个端点距离相等。2. B解析：依据中垂线判定定理，到线段两端点距离相等的点，在对应中垂线上。3. D解析：中垂线需同时满足垂直、过中点两个条件，且是直线，A、B、C错误。4. C解析：点在中垂线上，必然满足PA=PB，PA长度无固定值。5. B解析：两点确定一条直线，两个距离相等的点可确定线段的垂直平分线。二、填空题6.两个端点7.垂直平分线8.直线9. 510.角两边；线段两个端点三、解答题11.证明：∵直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，根据线段垂直平分线的性质定理，∴PA=PB。12.证明：∵AB=AC，根据线段垂直平分线的判定定理，∴点A在BC的垂直平分线上。13.解：说法错误。理由：线段的垂直平分线需要同时满足两个条件，一是直线垂直于线段，二是直线经过线段的中点；仅垂直不经过中点的直线，不是线段的垂直平分线。1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
(重点)
2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. (难点)
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？
数学建模
分析：
先探究某点到一边
证明该点特殊位置
解决实际问题
操作探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2， P3，···是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，···到点 A 与点 B 的距离.
l
A
B
P3
P1
P2
探究点一：线段的垂直平分线的性质
问题1：观察量得的数据，你有什么发现？
问题2：如果把问题 1 中的线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2 A 与 P2 B、线段 P3 A 与P3B ······都重合吗？它们都分别相等吗？
P1 A＝P1 B，
P2 A＝P2 B，
P3 A＝P3 B.
都重合，都分别相等.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
【知识要点】
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.
相等
几何表达：
如果 l⊥AB，AC = CB，
那么对 l 上任意一点 P，
有 PA = PB.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明.
∴ PA ＝PB.
证明： ∵ l ⊥ AB，
∴ ∠PCA ＝ ∠PCB.
又 AC ＝CB ，PC ＝PC ，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
如图，直线 l⊥AB ，垂足为 C ，AC ＝CB ，点 P 在 l 上．求证 PA ＝PB.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
例1 如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE
交 AB 于点 D ，连接 DC ，若 AB = 3.7 ，AC = 2.3 ，则△ADC 的周长是______.
解 ∵ DE 是 BC 的垂直平分线，
∴ BD = CD.
而 C△ADC = AD + CD + AC，
∴C△ADC = AD + BD + AC
= AB + AC
= 3.7 + 2.3
= 6.
6
探究点一：线段的垂直平分线的性质
思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线 段的垂直平分线上呢？
探究：如图，PA ＝PB. 点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
A
B
P
探究点二：线段的垂直平分线的判定
问题1：过点 P 的直线有无数条，如果我们要说明 点 P 在 AB 的垂直平分线上，我们可以先选定一条 怎样的直线进行说明？怎样说明？
可以先过点 P 作一条与 AB 垂直的直线，再说明这 条直线平分线段 AB.
如图，先过点 P 作 PC⊥AB，垂 足为 C ，
再说明 AC ＝BC.
A
B
P
C
探究点二：线段的垂直平分线的判定
问题2：如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
又 PC⊥AB，
∴ AC = BC．
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．
PA = PB，PC = PC，
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
则∠PCA =∠PCB = 90°．
A
B
P
C
探究点二：线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定：
与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的___________上.
相等
垂直平分线
直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合.
几何表达：
∵ PA = PB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
C
例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证.
解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下：
探究点二：线段的垂直平分线的判定
总结
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，
∴ PA = PB.
同理，PB = PC.
∴ PA = PB = PC.
三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？
探究点三：原命题和逆命题
这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定.
探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？
互逆命题
不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系.
探究点三：原命题和逆命题
例2 判断下列命题及其逆命题是否成立.
（1）对顶角相等.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）若 a > b ，则 | a | > | b |.
总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理. 这两个定理叫作互逆定理.
其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
原命题成立，逆命题成立
原命题成立，逆命题不成立
原命题不成立，逆命题不成立
探究点三：原命题和逆命题
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C
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2，则ED的长为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定
3.［教材习题 变式］［广州越秀区期末］如图，
在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ，
，连接，若，，则 的周长为
( )
A.19 B.20 C.21 D.22
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C
2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD的长为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
C
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8 cm
4．合肥期中如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM分别交BC，AB于点D，M，边AC的垂直平分线EN分别交BC，AC于点E，N，已知△ADE的周长为8 cm，则BC的长为________．
5.如图，点是内的一点，若 ，则( )
D
A.点在 的平分线上
B.点在 的平分线上
C.点在边 的垂直平分线上
D.点在边 的垂直平分线上
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返回
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PB＝QC，QB＝RC.
求证：点Q在线段PR的垂直平分线上．
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7. 风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．小淇制作了一个风筝，风筝的骨架示意图如图所示，其中AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：AD垂直平分BC.
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若a＋1>b＋1，则a>b
8．无锡中考请写出命题“若a＞b，则a＋1＞b＋1”的逆命题：________________________．
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9.下列命题的逆命题是真命题的是( )
C
A.若两个角是直角，则它们相等 B.若，则
C.两直线平行，同位角相等 D.对顶角相等
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10.下列定理中，有逆定理的是( )
C
A.同角的余角相等
B.互为相反数的两个数的绝对值相等
C.直角三角形的两锐角互余
D.全等三角形的对应角相等
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11. 如图，在足球场内，，， 表示三个足球运动员，
为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员
的距离相等，则足球应放置在( )
C
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B的平分线的交点处
线段的垂直平分线的性质
___________________与这条线段_________的距离_____
与__________________距离_____的点在这条线段的___________上.
互逆
线段垂直平分线的点
两个端点
相等
这条线段两个端点
相等
垂直平分线

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