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2025-2026学年广东广州市天河中学高二下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
4．的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
5．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ）
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．
参考数据：令
3 2.5 0.5 10 12 6
A． B． C． D．
6．某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个.
A．432 B．257 C．282 D．504
8．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下的列联表：
喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计
男 40 20 60
女 20 30 50
总计 60 50 110
由公式，算得
附表
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
参照附表，以下结论正确的是（ ）
A．依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1%
D．认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1%
10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，拐点处的切线方程为
B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是
C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是
D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点
三、填空题
12．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差为________．
13．如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种.
14．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______.
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.
16．如图，已知四棱锥，底面，圆为底面的外接圆，是直径，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
17．已知椭圆的离心率为，且过点，其左 右顶点分别为为椭圆上异于的两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值；
18．已知函数，其中.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间；
(2)若，求的取值范围.
19．某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
(2)请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
《广东广州市天河中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D D A D B BD ABC
题号 11
答案 ACD
1．A
2．B
3．C
4．D
5．D
6．A
7．D
8．B
9．BD
10．ABC
11．ACD
12．
13．6
14． 1
15．(1)，
(2)
16．(1)证明见解析
(2)
17．(1)
(2)
18．(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增.
(2).
19．(1)①
0 1 2 3
；
②
(2)
；
当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.

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