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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.25.2.2公式法第25章一元二次方程25.2.2公式法同步练习题一、核心知识点梳理1.求根公式推导：由一元二次方程一般形式$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$，通过配方法可推导出通用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$，公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程。2.根的判别式：定义$$\Delta=b^2-4ac$$，通过判别式的值可直接判断方程实数根的个数。当$$\Delta>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程无实数根。3.标准解题步骤：①将方程化为一般形式$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$；②准确确定$$a、b、c$$的值（注意符号）；③计算判别式$$\Delta$$，判断根的情况；④若$$\Delta\geq0$$，代入求根公式计算方程的根。4.关键注意点：确定系数时切勿遗漏负号；只有$$\Delta\geq0$$才能使用求根公式求解；$$\Delta=0$$时，方程的两个实数根相等，只需书写一组根即可。二、基础练习题（一）选择题1.一元二次方程$$x^2-3x+2=0$$的判别式$$\Delta$$的值为（）A. 1 B. -1 C. 17 D. -172.方程$$2x^2+4x+2=0$$根的情况是（）A.两个不相等实数根B.两个相等实数根C.无实数根D.无法判断（二）填空题3.方程$$x^2+2x-1=0$$中，$$a=$$________，$$b=$$________，$$c=$$________。4.若一元二次方程$$x^2-mx+1=0$$有两个相等实数根，则$$\Delta=$$________。三、提升练习题（三）解答题5.用公式法解下列一元二次方程：（1）$$x^2-2x-8=0$$（2）$$2x^2-5x+2=0$$6.用公式法解方程：$$3x^2+2x-1=0$$四、参考答案与解析1. A解析：由方程得$$a=1，b=-3，c=2$$，$$\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1$$。2. B解析：$$a=2，b=4，c=2$$，$$\Delta=4^2-4\times2\times2=16-16=0$$，方程有两个相等的实数根。3. 1，2，-1解析：对照一元二次方程一般形式，准确提取各项系数与常数项，注意常数项为负数。4. 0解析：一元二次方程有两个相等实数根的充要条件是判别式$$\Delta=0$$。5.（1）解：$$a=1，b=-2，c=-8$$，$$\Delta=4+32=36>0$$，代入公式得$$x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2}$$，解得$$x_1=4，x_2=-2$$。（2）解：$$a=2，b=-5，c=2$$，$$\Delta=25-16=9>0$$，代入公式得$$x=\frac{5\pm3}{4}$$，解得$$x_1=2，x_2=\frac{1}{2}$$。6.解：$$a=3，b=2，c=-1$$，$$\Delta=4+12=16>0$$，代入公式得$$x=\frac{-2\pm4}{6}$$，解得$$x_1=\frac{1}{3}，x_2=-1$$。总结：公式法解题核心：定系数、算判别、判根情、代公式。判别式是解题关键，既能判断根的情况，也能检验方程是否有实数解，解题时务必精准识别$$a、b、c$$的正负，避免计算失误。学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点)
2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.
3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根
的判别式进行相关的计算或推理.
如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0
配方法能解所有的一元二次方程吗？
解：方程整理得
配方得
开平方得
解得
引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？
解：设雕像下部 BC = x m，
列方程得 x2 = 5(5 - x )，
整理得　x2 + 5x - 25 = 0．
A
C
B
如何解出该一元二次方程？
探究
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否用配方法得出它的解呢？
探究点一：求根公式的推导
解：移项，得
配方，得
即
问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？
ax2 + bx = -c
二次项系数化为1，得
探究点一：求根公式的推导
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
因为 a≠0，所以 4a2 > 0.
式子 b2－4ac 的值有以下三种情况：
(1) 当 b2－4ac ＞0 时，
＞0，由①得
方程有两个不相等的实数根
探究点一：求根公式的推导
(2) 当 b2 - 4ac = 0 时，
= 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - .
(3) 当 b2 - 4ac＜0 时，
＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根.
探究点一：求根公式的推导
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
因此把 b2 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
探究点一：求根公式的推导
【填一填】按要求完成下列表格：
的值
0
4
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
Δ
探究点一：求根公式的推导
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程即 x2 + x 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∵ Δ = b2 4ac = 12 4×1×( 1) = 5＞0，
∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B.
B
探究点一：求根公式的推导
【练一练】1.若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( )
A. q≤4 B. q≥4
C. q＜16 D. q＞16
C
解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，
则 Δ = b2 4ac＞0，即 82 4q＞0.
解得 q＜16，故选 C.
探究点一：求根公式的推导
【变式题1】二次项系数含字母
若关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > 1 B. k > 1 且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
B
(-2)2 + 4k > 0
归纳: 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
方程有两个不等的实数根
分析：
二次项系数不为 0
k≠0
k > 1 且 k≠0
探究点一：求根公式的推导
【变式题2】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 2x 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k≥ 1 B. k≥ 1且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
分析：
分类讨论
k = 0
k≠0
原方程变形为 2x 1 = 0，有实数根
Δ = 4 + 4k≥0
k≥ 1
A
探究点一：求根公式的推导
总结
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式
ax2+bx+c=0
Δ = b2 4ac > 0
Δ = b2 4ac = 0
Δ = b2 4ac < 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
探究点一：求根公式的推导
由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
用公式法解方程
探究点二：公式法解一元二次方程
例2 用公式法解下列方程：
(1) x2 4x 7 = 0；
方程有两个不等的实数根
解：因为 a = 1，b = 4，c = 7，所以
Δ = b2－4ac = ( 4)2－4×1×( 7) = 44＞0.
即
探究点二：公式法解一元二次方程
方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(2) 2x2 x + 1 = 0；
解：因为 a = 2，b = ，c = 1.
Δ = b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0.
探究点二：公式法解一元二次方程
(3) 5x2－3x = x + 1；
方程有两个不等的实数根
a = 5，b = －4，c = －1，所以
Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
(3) 方程化为 5x2－4x－1 = 0，此时
即
探究点二：公式法解一元二次方程
(4) x2 + 17 = 8x.
方程无实数根.
a = 1，b = 8，c = 17，所以
Δ = b2 4ac = ( 8)2 4×1×17 = 4＜0.
解：方程化为 x2－8x + 17 = 0，此时
探究点二：公式法解一元二次方程
总结
化为一般形式
解一元二次方程的步骤：
变形
确定系数
计算
根据根的情况求解
用 a，b，c 写出各项系数
b2 4ac
探究点二：公式法解一元二次方程
【回顾导入】
解方程 x2 + 5x - 25 = 0.
用公式法解这个方程，得
即
如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09.
关于这两个根，只有 x1≈3.09 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为 3.09 m.
探究点二：公式法解一元二次方程
公式法解方程的步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 4ac 的值；
4. 判断：若 Δ = b2 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，则方程没有实数根.
探究点二：公式法解一元二次方程
2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
【练一练】
解：因为 a = 1，b = 7，c = 18，所以
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×( 18 ) = 121 > 0，
方程有两个不等的实数根
即 x1 = 2， x2 = -9.
探究点二：公式法解一元二次方程
3. 解方程 3x2 5x + 1 = 0.
解：因为 a = 3，b = 5，c = 1，所以
Δ = b2－4ac = ( 5)2－4×3×1= 13＞0.
方程有两个不等的实数根
即
探究点二：公式法解一元二次方程
4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解：因为 a = 2，b = ，c = 3，所以
Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0，
方程有两个不等的实数根
探究点二：公式法解一元二次方程
5. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：方程化为 3x2 - 7x + 8 = 0，此时
a = 3，b = -7，c = 8，所以
Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0，
方程没有实数根.
探究点二：公式法解一元二次方程
知识点1 一元二次方程根的判别式
1. [2025安徽] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是
( )
D
A. B.
C. D.
2. [2026深圳期末] 一元二次方程 的根的情况
是( )
B
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
3. [2025内江] 若关于 的一元二次方程
有实数根，则实数 的取值范围是
( )
C
A. B.
C. 且 D. 且
【点拨】 关于的一元二次方程 有
实数根，，且 ，
解得且 .
知识点2 一元二次方程的求根公式
4. 一元二次方程 在用求根公式
求解时,,, 的值分别是( )
D
A. 3,, B. ,,3 C. ,3,1 D. ,3,
5. 若 是一元二次方程
的根，则 ( )
D
A. B. 4 C. 2 D. 0
知识点3 用公式法解一元二次方程
6. 利用公式法解一元二次方程 可得两根分
别为，，且，则 的值为( )
D
A. B.
C. D.
公式法
用求根公式解一元二次方程的方法
一元二次方程根的判别式 Δ= b2－4ac
求根公式：
当 b2－4ac > 0 时，
方程有________的实数根；
当 b2－4ac = 0 时，
方程有________的实数根；
当 b2－4ac < 0 时，
方程_________.
两个不等
两个相等
无实数根
( b2－4ac≥0 )

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