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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.25.3.2传播问题与变化率问题第25章一元二次方程25.3.2传播问题与变化率问题同步练习题一、核心知识点梳理1.病毒/传播倍增模型：初始数量为1，每轮平均1人传播$$x$$人，经过两轮传播后总数量公式：$$(1+x)^2$$。多轮传播呈指数增长，是考试必考基础模型，适用于病毒传播、短信转发、传染扩散等场景。2.增长率问题模型：基数为$$a$$，平均增长率为$$x$$，连续增长两次后总量：$$a(1+x)^2$$；连续下降两次后总量：$$a(1-x)^2$$。适用于产量、销量、存款增长、降价、减产等实际问题。3.标准解题步骤：①找准初始基数、变化率、变化次数；②套用对应公式列出一元二次方程；③准确解方程；④检验取值，增长率、人数均为正数，且需符合实际场景。4.高频易错点：传播问题切勿算成$$1+x+x^2$$（总感染人数易错公式），教材标准公式为$$(1+x)^2$$；变化率问题必须区分增长与降低，公式符号不可混淆，同时舍去负数解。二、基础练习题（一）填空题1.某种病毒传播，一人每轮传染$$x$$人，经过两轮传染后共有81人患病，可列方程________。2.某工厂产品年产量为100件，年均增长率为$$x$$，两年后总产量为144件，列方程________。（二）基础解答题3.某种流感病毒传播，一人患病，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均一人传染几人？三、提升练习题（三）拔高解答题4.某品牌手机销量逐年增长，今年销量为5000台，计划两年后销量达到7200台，求年均增长率。5.某药店口罩库存积压，连续两次降价销售，原价每包25元，两次降价后售价为16元，若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率。四、参考答案与解析1. $$(1+x)^2=81$$解析：两轮传播标准模型，初始1人，每轮传染$$x$$人，两轮后总人数为$$(1+x)^2$$。2. $$100(1+x)^2=144$$解析：基数100，增长率$$x$$，连续两年增长，套用增长公式列方程。3.解：设每轮平均一人传染$$x$$人。根据题意得：$$(1+x)^2=121$$，开方得$$1+x=\pm11$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-12$$（人数不能为负，舍去）。答：每轮平均一人传染10人。4.解：设年均增长率为$$x$$。列方程：$$5000(1+x)^2=7200$$，化简得$$(1+x)^2=1.44$$，解得$$1+x=\pm1.2$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：年均增长率为20%。5.解：设每次降价百分率为$$x$$。列方程：$$25(1-x)^2=16$$，化简得$$(1-x)^2=0.64$$，解得$$1-x=\pm0.8$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（降价率不能大于1，舍去）。答：每次降价的百分率为20%。总结：传播与变化率问题核心为平方模型，两轮变化统一用平方公式。传播问题记$$(1+x)^2$$，增长问题记$$a(1+x)^2$$，下降问题记$$a(1-x)^2$$，所有负值、不符合实际的解必须舍去，是中考高频基础应用题。学习目标
1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点)
2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点)
3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.
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观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？
某种传染病的送染速度很快，如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人
【合作探究1】
探究点1：一元二次方程解决传播问题
动手操作：请画出传染示意图 (设传染 x 轮).
传染原
一轮
二轮
A
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
A
1
2
x
...
探究点1：一元二次方程解决传播问题
根据示意图，填写下列表格并作答.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1+x)1
1+x+x(1+x) = (1+x)2
x1 = ，x2 =
解方程，得
答：因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人.
10
12
(不合题意,舍去).
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
(1 + x)2 = 121.
列方程
探究点1：一元二次方程解决传播问题
【思考】(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数
(1 + x)1 (1 + x)2
(1 + x)3
分析
3 轮传染后的人数是:(1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人).
(2) n 轮传染后有多少人患流感
(1 + x) + … + x(1 + x)n = (1 + x)n人
探究点1：一元二次方程解决传播问题
x1 = 11，
x2 = 12 (不合题意，舍去).
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：设每个支干长出 x 个小分支，
则 1 + x + x2 = 133，
即 x2 + x 132 = 0.
解得
答：每个支干长出 11 个小分支.
探究点1：一元二次方程解决传播问题
1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
【交流讨论】
探究点1：一元二次方程解决传播问题
【练一练】1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌.
探究点1：一元二次方程解决传播问题
有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
60
60x
60(1 + x)
60(1 + x)
60(1 + x)x
解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则
60(1 + x)2 = 24000.
∴ x1 = 19，x2 = 21(舍去).
∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌.
(2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个).
60(1 + x)2x
60(1 + x)2
60(1 + x)3
60(1 + x)2
探究点1：一元二次方程解决传播问题
【合作探究2】
两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？
甲：(10 000 - 6000)÷2＝2000 (元)；
乙：(12 000 - 7200)÷2＝2400 (元).
问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？
下降率 =
下降前的量 下降后的量
下降前的量
×100%
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
请自己动手写出分析过程并尝试解答.
下降
下降
现在成本
一年前成本
两年前成本
成本价
成本价(1-下降率)
一年前成本(1-下降率)
甲
乙
10000
12000
设甲下降率 x，设乙下降率 y.
10000(1 - x)
12000(1 - y)
10000(1 - x)(1 - x)
12000(1 - y)(1 - y)
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 10 000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10 000(1－x ) 元，于是有
10 000(1－x )＝6 000
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%.
请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率.
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 y) 元，两年后乙种食品成本为
12 000(1 y)2 元，于是有
解方程，得
根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%.
y1≈0.225， y2≈1.775.
12 000(1 y)2＝7 200
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
问题3 经过计算，你能得出什么结论呢
经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________.
不一定较大
降前及降后的价格
一般下降率不可为负，且不大于 1.
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率.
某年
一年后
二年后
1585
增长 x
增长 x
1585(1+ x)
1585(1+ x)(1+ x)
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
解：设某市的平均每年增长率为 x.
由题意，得
1585(1 + x)2 = 2180
解得 x1≈0.172 ，x2≈-2.172 (不符合题意，舍).
答：某市的平均每年增长率约为 17.2%.
总结：增长率不可为负，但可以超过 1.
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
总结
平均变化率：
平均增长(或降低)百分率为 x
增长(或降低) n 次前的量是 a
增长(或降低) n 次后的量是 b
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
【练一练】2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为 x. 根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%.
探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题
知识点1 传播问题
1. 某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其
他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每
名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个
实验.若设1人每次都能教会 名同学，则可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
2. “水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地
让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再
把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红
一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发
给了____人.
12
知识点2 变化率问题
3. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力
度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年
接待游客的年平均增长率为( )
B
A. B. C. D.
4. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；
三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识
和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会
被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，
技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为( )
（参考数据： ）
B
A. B. C. D.
5. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，
特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份
的销售量是720件.
（1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，
求月平均增长率；
【解】设月平均增长率为 ，
由题意得 ，
解得或 （不符合题意，舍去）.
月平均增长率为 .
（2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每
件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降
低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促
销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，
则售价应降低多少元？
设售价应降低 元，
由题意得 ，
整理得 ，
解得或 .
商家决定降价促销，同时尽量减少库存， .
售价应降低20元.
6. [2026德州期中] 为助力实现“双碳”目标，
某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知
该企业生产某种零件的成本为10元/个，且
规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场
调研发现，该零件每周的销售量 （个）与
销售单价 （元/个）之间满足一
D
A. 25元 B. 20元或40元
C. 40元 D. 20元
次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件
可获利6 000元，则该零件的销售单价应定为( )
传播、平均变化率问题
传播问题：(1＋x)n
平均变化率问题：a(1±x)n＝b

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