资源简介

(共27张PPT)
人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.2.2.3二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质第二十六章二次函数26.2.2.3二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质同步练习题一、核心知识点梳理1.顶点式通用特征二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k(a\neq0)\)是最完整的平移形式，图象为抛物线。由基础抛物线\(y=ax^2\)先左右平移、再上下平移得到，整合了前两节所有平移规律。核心要素：顶点坐标\((h,k)\)，对称轴为直线\(x=h\)，开口大小、方向仅由系数\(a\)决定。2.完整平移规律（左加右减、上加下减）以\(y=ax^2\)为基础：\(h>0\)右移，\(h<0\)左移；\(k>0\)上移，\(k<0\)下移。平移只改变抛物线位置，不改变开口宽窄与形状，是二次函数平移的通用法则。3.最值与增减性（核心考点）当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h,k)\)为最低点，\(x=h\)时，\(y_{最小}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大。当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h,k)\)为最高点，\(x=h\)时，\(y_{最大}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小。4.开口规律\(|a|\)越大，抛物线开口越窄、图象越陡；\(|a|\)越小，开口越宽、图象越平缓，与\(h、k\)的取值无关。二、基础巩固习题（一）选择题1.抛物线\(y=2(x-1)^2+3\)的顶点坐标是（）A. \((1,3)\) B. \((-1,3)\) C. \((1,-3)\) D. \((-1,-3)\)2.相较于\(y=3x^2\)，抛物线\(y=3(x+2)^2-1\)的平移方式是（）A.左2、上1 B.左2、下1 C.右2、上1 D.右2、下1（二）填空题3.抛物线\(y=-(x+3)^2-2\)的开口方向为________，对称轴为________，最大值为________。4.抛物线\(y=4(x-2)^2+5\)，当\(x\)________时，\(y\)随\(x\)增大而增大。三、综合提升习题（三）解答题5.已知抛物线\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点为\((2,-3)\)，且经过点\((3,1)\)，求抛物线解析式。6.已知抛物线\(y=-2(x-1)^2+4\)，写出它的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性，并比较点\(A(0,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)的函数值大小。四、参考答案与详细解析1. A解析：顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)顶点为\((h,k)\)，本题\(h=1，k=3\)，顶点\((1,3)\)。2. B解析：左加右减、上加下减，\(x+2\)向左平移2个单位，\(-1\)向下平移1个单位。3.向下；直线\(x=-3\)；\(-2\)解析：\(a=-1<0\)开口向下，对称轴\(x=-3\)，顶点纵坐标即为最大值\(-2\)。4. \(\boldsymbol{>2}\)解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴右侧\(x>2\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。5.解：由顶点\((2,-3)\)得\(h=2，k=-3\)，解析式为\(y=a(x-2)^2-3\)。将点\((3,1)\)代入得：\(a(3-2)^2-3=1\)，解得\(a=4\)。综上，解析式为\(y=4(x-2)^2-3\)。6.解：\(a=-2<0\)，开口向下；对称轴为直线\(x=1\)；顶点坐标\((1,4)\)；当\(x=1\)时，函数最大值为4；当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大，当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。代入求值：\(y_1=-2(0-1)^2+4=2\)，\(y_2=-2(2-1)^2+4=2\)，故\(y_1=y_2\)。五、本节易错点总结1.顶点坐标易错：\(y=a(x+h)^2+k\)中，顶点横坐标为\(-h\)，符号极易出错，务必对照\(y=a(x-h)^2+k\)标准形式转换；2.平移规律混淆：左右平移看括号内（左加右减），上下平移看整体末尾（上加下减），两类平移规则不可混用；3.增减性判断必须以对称轴\(x=h\)为分界，脱离对称轴笼统判断增减是高频错误。学习目标
1.会用描点法画出 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象；
2.掌握二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点）
3.理解二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点）
(1) y = ax2；
说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
(3) y = a(x - h)2.
(2) y = ax2 + k；
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 ···
··· ···
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
解：先列表：
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
探究
y =(x + 1)21
y=(x+1)21
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
____________________________.
再描点、连线.
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
向下
直线 x = -1
( 1， 1)
当 x＜-1 时，
y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：
_________________________
__________________________.
试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空.
-2
2
x
y
O
-2
4
6
-4
2
4
向上
直线 x = -1
( 1，-2)
当 x＜-1 时，y 随 x 增大而减小；
当 x＞-1时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
【归纳总结】
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，k)
(h，k)
当 x = h 时，y最小值 = k
当 x = h 时，y最大值 = k
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
【练一练】
1. 二次函数 y＝ 2(x + 1)2 4，下列说法正确的是( )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴为直线 x＝1
C．图象的顶点坐标为 (1，4)
D．当 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而增大
D
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点 (1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质
O
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
画一画，填出下表：
-2
2
-2
-4
x
y
想一想： 怎样移动可以得到 ？
向下
向下
向下
向下
x = 0
x = 0
x = -1
x = -1
(0,0)
(0,-1)
(-1,0)
(-1,-1)
y=(x+1)21
y=x2
向左平移1个单位长度
平移方法1
1 个单位长度
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
例3 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
y=(x+1)21
y=x2
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
平移方法2
向左平移
向下平移
1个单位
1 个单位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
y=(x+1)21
y=x2
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
【归纳总结】
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
【链接中考】
1. 将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
A
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
【想一想】
b3 ___ 0
k3 ___ 0
问题：一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k4 ___ 0
b4 ___ 0
＜
＞
＞
＜
＞
＞
x
y
O
y = k1x + b1
x
y
O
y = k3x + b3
y = k4x + b4
y = k2x + b2
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＜
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
a＞0，
h＜0
a＞0，
h＞0
a＜0，
h＜0
a＜0，
h＞0
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　)
解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
【归纳总结】
结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h (对称轴) 决定函数的增减性.
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)
图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k与y=ax2(a≠0)的关系
例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
点 (1.6，3) 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
由这段抛物线经过点 (3.6，0)，
0 = a(3.6 - 1.6)2 + 3.
解得
因此
y = a(x - 1.6)2 + 3 (0≤x≤3.6).
当 x = 0 时，y = 1.08.
也就是说，水管长应为 1.08 m.
a = - .
3
4
y = (x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6).
3
4
-
探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系
知识点1 二次函数 的图象
1. 抛物线 的顶点一定不在( )
B
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【点拨】由 知,该抛物线的顶点坐标为
.当时， ，此时顶点在第一象限，故
A不符合题意;当时， ,此时顶点在第四象
限，故D不符合题意;当时， ，此时顶点在第
三象限，故C不符合题意.
（第2题）
2. 若二次函数 的图象如图所
示，则坐标原点可能是( )
A
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
知识点2 二次函数 的性质
3. [2025威海] 已知点,, 都在二
次函数的图象上，则,, 的大小关系是
( )
C
A. B.
C. D.
4. [2026广东实验中学期中] 若二次函数 ，
当时，随的增大而减小，则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
5. 已知二次函数 ，当
时，的最小值为，则 的值为( )
D
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
（第6题）
6. 为了美观，在加工
太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛
物线的形状（如图所示），对应的
两条抛物线关于 轴对称，左轮廓
所在抛物线的解析式为
B
A. B.
C. D.
，则右轮廓 所在抛物线的解析式为( )
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k
(a ≠ 0)的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移:自变量左加右减
上下平移:常数项上加下减

展开更多......

收起↑