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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.2.3二次函数y=ax +bx+c的图象和性质第二十六章二次函数26.2.3二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质同步练习题一、核心知识点梳理1.一般式基本概念二次函数一般形式：$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$（$$a、b、c$$为常数）。图象仍是抛物线，形状、开口大小由$$a$$决定，位置由$$a、b、c$$共同决定。所有二次函数顶点式都可展开化为一般式。2.对称轴与顶点坐标（必考公式）无需配方，直接用公式求解：对称轴直线：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$顶点纵坐标（最值）：$$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$3. a、b、c系数图象符号意义（选择填空高频）①a：决定开口方向与宽窄。$$a>0$$开口向上；$$a<0$$开口向下；$$|a|$$越大开口越窄。②c：决定与$$y$$轴交点。交点坐标恒为$$(0,c)$$；$$c>0$$交y轴正半轴，$$c<0$$交负半轴，$$c=0$$过原点。③a、b联合：决定对称轴位置（左同右异）。$$a、b$$同号，对称轴在y轴左侧；$$a、b$$异号，对称轴在y轴右侧；$$b=0$$，对称轴为y轴。4.增减性与最值①$$a>0$$，开口向上：$$x<-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而减小；$$x>-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而增大；有最小值$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$，无最大值。②$$a<0$$，开口向下：$$x<-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而增大；$$x>-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而减小；有最大值$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$，无最小值。5.一般式转顶点式方法配方法：提二次项系数→配方→整理，用于求顶点、平移、最值问题。二、基础巩固习题（一）选择题1.抛物线$$y=x^2-4x+1$$的对称轴是（）A.直线$$x=2$$ B.直线$$x=-2$$ C.直线$$x=4$$ D.直线$$x=-4$$2.抛物线$$y=-2x^2+3x-5$$的图象特征说法正确的是（）A.开口向上B.开口向下C.经过原点D.对称轴为y轴（二）填空题3.抛物线$$y=2x^2-8x+1$$的顶点横坐标为________。4.抛物线$$y=3x^2-6x$$与y轴交点坐标为________。三、综合提升习题（三）解答题5.用公式法求抛物线$$y=x^2-2x-3$$的对称轴、顶点坐标与最值。6.将一般式$$y=2x^2-8x+5$$化为顶点式，并说明图象的增减性。四、参考答案与详细解析1. A解析：$$a=1,b=-4$$，对称轴$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$$。2. B解析：$$a=-2<0$$开口向下；$$c=-5\neq0$$不过原点；$$b\neq0$$对称轴不是y轴。3. $$2$$解析：$$x=-\dfrac{-8}{4}=2$$。4. $$(0,0)$$解析：令$$x=0$$，得$$y=0$$，交点为原点。5.解：$$a=1,b=-2,c=-3$$，对称轴：直线$$x=1$$；顶点纵坐标：$$\dfrac{4\times1\times(-3)-4}{4}=-4$$；顶点坐标$$(1,-4)$$；开口向上，最小值为$$-4$$，无最大值。6.解：配方：$$y=2(x^2-4x)+5=2(x^2-4x+4-4)+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3$$。$$a=2>0$$，开口向上；当$$x<2$$时，y随x增大而减小；当$$x&gt;2$$时，y随x增大而增大。五、本节易错点总结1.对称轴公式符号易错：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$，负号不能丢，b为负数时极易算反；2.看错交点：与y轴交点只看$$c$$，直接代入$$x=0$$，不要用对称轴公式；3.增减性必须以对称轴为分界，不能笼统判断；一般式优先套公式，避免配方出错。4. “左同右异”是中考图象题秒杀口诀，需熟练掌握判断$$a、b$$符号关系。学习目标
1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 y = a(x h)2 + k (a ≠ 0)；(难点）
2.会熟练求出抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标、对称轴.（重点）
3.
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
猜想：通过组合平移 y = ax (a≠0) 的图像能否得到
y = ax + bx + c (a≠0) 的图像？
y = ax
通过上下左右平移
y = a(x h)2+k
y = ax +bx+c
是否有关系？
回顾本章第一节问题 2，得到两年后的产量：
y = 20(1 + x)2 = 20x2 + 40x + 20.
相互转化
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
【合作探究】
提示：可将其化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
对于二次函数 y =x2 - 6x+ 21，如何画出它的图象并讨论它的性质？
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
答：开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3).
(1) 你能说出 的开口方向，对称轴及
顶点坐标吗？
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
(2) 抛物线 可以看作是由 怎样
平移得到的？
y= x2
向右平移
6个单位
y= (x-6)2
向上平移
3个单位
y= (x-6)2+3
y= x2
向上平移
3个单位
y= x2+3
向右平移
6个单位
y= (x-6)2+3
方法1
方法2
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
探究2：用“描点法”法作图研究图象性质
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表；
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
5
10
x
y
5
10
x = 6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
问题 结合二次函数 y = x2 - 6x + 21 的图象，说出其增减性.
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x + 1 的图象和性质吗
解：配方得 y = -2x2 - 4x + 1
= -2(x + 1)2 + 3
因此，抛物线开口向下，对称轴是 x = -1，
顶点坐标是 (-1，3)，顶点是图象的最高点.
= -2(x2 + 2x) + 1
= -2(x2 + 2x + 1) + 2 + 1
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
“描点法”法作图
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
当 x < -1 时，y 随 x 增大而增大；
当 x > -1 时， y 随 x 增大而减小.
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？
y = ax + bx + c
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
【归纳总结】
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
，
.
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式
y = ax2 + bx + c =
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
【练一练】
1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式
y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标．
(1) y = x2 - 2x + 1；
(2) y = 2x2 - 4x + 6．
解：(1) y = x2 2x + 1 = (x 1)2，顶点坐标为 (1，0).
(2) y = 2x2 4x + 6 = 2(x 1)2 + 4，顶点坐标为 (1，4).
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
【归纳总结】
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；
当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5．
(1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
(2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
(3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3，
∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小．
解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
(2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4).
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)
图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用.
开口方向
一般研究哪几种性质？
顶点坐标
对称轴
增减性
a 决定
a，b 共同决定
开口方向，对称轴
a，b 共同决定
c 决定什么？
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
x
y
O
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___0
b1 ___0
c1 ___0
a2 ___0
b2 ___0
c2 ___0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
x = 0 时
y = c.
y2 = a2x2 + b2x + c2
y1=a1x2+b1x+c1
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
x
y
O
a3 ___ 0
b3 ___ 0
c3 ___ 0
a4 ___ 0
b4 ___ 0
c4 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
x = 0时
y = c.
y4 = a4x2 + b4x + c4
y3 = a3x2 + b3x + c3
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
【链接中考】
1. 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5.
其中正确的结论的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
O
x = -1
1
x
y
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ，
∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误；
②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0，
∴3a＜-c，故 ② 正确；
③：∵ x = -1 时，y 有最大值，
∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)，
即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b.
故 ③ 错误；
O
x = -1
1
x
y
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点
(-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根
为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点
为 (-3，-2).
∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的
另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3.
∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确．
所以正确的是 ②④.
O
x = -1
1
x
y
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
字母符号 图象的特征
a＞0 开口___________
a＜0 开口___________
b = 0 对称轴为_____轴
a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧
c = 0 经过原点
c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴
c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数图象与 a、b、c 的关系
【归纳总结】
探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
知识点1 二次函数 与
间的关系
1. 将二次函数化成 的形
式是( )
A
A. B.
C. D.
2.把二次函数化为 的形式，
那么 ___.
1
知识点2 二次函数 的图象和性质
（第3题）
3. 二次函数 的
图象如图，则一次函数 的图象一
定不经过( )
D
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. [2025广州] 在平面直角坐标系中，两点 ，
在抛物线 上，则下列结论中
正确的是( )
A
A. 当且时，则
B. 当时，则
C. 当且时，则
D. 当时，则
5. 已知二次函数 的自
变量与函数值 之间满足的数量关系如下表，则
的值为_______.
3 5
12 12 100
1 200
知识点3 二次函数的图象与，，
符号间的关系
（第6题）
6. [2025安徽] 已知二次函数
的图象如图所示，
则( )
C
A. B.
C. D.
7. [2026天津一中模拟] 如图，抛物线
经过点 ，且对
称轴是直线 ，则下列结论正确的有( )
B
； ；
③若， 是抛物线上的两点，
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②
则当时，的取值范围是 ；
④若抛物线与轴交于点，当时，函数 的最
大值与最小值的差为6，则的值为或 .
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)

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