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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.3.1二次函数与一元二次方程第二十六章二次函数26.3.1二次函数与一元二次方程同步练习题一、核心知识点梳理1.二者核心关系二次函数解析式：$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$；一元二次方程：$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$。本质关联：当二次函数的函数值$$y=0$$时，二次函数就转化为一元二次方程。方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式Δ的三种图象意义（本节重中之重）设$$\Delta=b^2-4ac$$，针对抛物线$$y=ax^2+bx+c$$：①$$\boldsymbol{\Delta > 0}$$：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同交点；②$$\boldsymbol{\Delta = 0}$$：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有唯一交点（顶点在x轴上）；③$$\boldsymbol{\Delta < 0}$$：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。3.拓展对应关系1.求抛物线与x轴交点坐标：令$$y=0$$，解一元二次方程，得到的根即为交点横坐标，纵坐标为0；2.求方程$$ax^2+bx+c=k$$的根：可看作抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与直线$$y=k$$交点的横坐标；3.若抛物线与x轴交于$$(x_1,0)、(x_2,0)$$，可写交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$。4.函数值正负取值规律当$$a>0$$开口向上：两根外侧$$y>0$$，两根之间$$y<0$$；当$$a<0$$开口向下：两根外侧$$y<0$$，两根之间$$y>0$$。二、基础巩固习题（一）选择题1.抛物线$$y=x^2-2x-3$$与x轴的交点个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D.无法确定2.若抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴只有一个交点，则$$\Delta$$的值为（）A. $$\Delta>0$$ B. $$\Delta=0$$ C. $$\Delta<0$$ D.不确定（二）填空题3.抛物线$$y=x^2-4$$与x轴的交点坐标为________。4.已知抛物线$$y=x^2-6x+m$$与x轴无交点，则m的取值范围是________。三、综合提升习题（三）解答题5.求抛物线$$y=-x^2+2x+3$$与x轴的交点坐标。6.已知二次函数$$y=2x^2-4x+k$$，根据下列条件求k的取值：（1）图象与x轴有两个交点；（2）图象与x轴只有一个交点；（3）图象与x轴无交点。四、参考答案与详细解析1. C解析：$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$$，有两个交点。2. B解析：$$\Delta=0$$对应抛物线与x轴有唯一公共点（相切）。3. $$(2,0)、(-2,0)$$解析：令$$y=0$$，$$x^2-4=0$$，解得$$x=\pm2$$。4. $$m>9$$解析：无交点则$$\Delta<0$$，$$36-4m<0$$，解得$$m>9$$。5.解：令$$y=0$$，得$$-x^2+2x+3=0$$，整理得$$x^2-2x-3=0$$，因式分解$$(x-3)(x+1)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=-1$$。所以交点坐标为$$(3,0)、(-1,0)$$。6.解：$$\Delta=(-4)^2-4\times2\times k=16-8k$$。（1）有两个交点：$$\Delta>0 \Rightarrow 16-8k>0 \Rightarrow k<2$$；（2）一个交点：$$\Delta=0 \Rightarrow 16-8k=0 \Rightarrow k=2$$；（3）无交点：$$\Delta<0 \Rightarrow 16-8k<0 \Rightarrow k>2$$。五、本节易错点总结1.混淆对应关系：方程的根是横坐标，交点坐标必须写成$$(x,0)$$，不能只写数值；2.审题不清：“与x轴一个交点”等价于$$\Delta=0$$，不是$$\Delta>0$$；3.含参数题型忘记判别式列式，直接解方程导致出错；4.无法区分：$$y=0$$找x轴交点，$$x=0$$找y轴交点。学习目标
通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联
系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
（重点）
3.
函数的观点
对应函数
从函数值角度
从函数图象角度
函数y=ax+b
(a≠0)
函数值为___ 时，求______的值
确定直线y=ax+b与___的交点的＿坐标
解关于x
的________ 方程ax+b=0
(a≠0)
一元一次
一次
0
ax+b=0
x 轴
横
已学对象
重新分析
那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？
如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
(1) y = x + x - 2；
(2) y = x - 8x + 16；
(3) y = x - x + 1.
由此，你能说说方程
x + x - 2 = 0，x - 8x + 16 = 0，x - x + 1 = 0
的根的情况吗？
探究点：二次函数与一元二次方程
(2) y = x - 8x + 16；
(1) y = x + x - 2；
(3) y = x - x + 1.
解析式 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y=x +x-2
y=x -8x+16
y=x -x+1
0 个
1 个
2 个
x -x+1=0,无解
4
x -8x+16=0,x1=x2=4
-2 和 1
x +x-2=0,x1=-2,x2=1
探究点：二次函数与一元二次方程
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程角度
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的解
抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数角度
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
探究点：二次函数与一元二次方程
x
y
O
-2
2
1
3
-1
2
3
1
-3
-1
y = ax2 + bx + c
y = 0
是否有解
ax2 + bx + c = 0
判断 Δ 的情况
思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！
想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？
探究点：二次函数与一元二次方程
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的
公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac
有两个公共点
有两个不相等的实数根
Δ＞0
有一个公共点
有两个相等的实数根
Δ = 0
没有公共点
没有实数根
Δ ＜0
探究点：二次函数与一元二次方程
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有公共点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)，
∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，
∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根.
∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点.
探究点：二次函数与一元二次方程
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.
∴ 正整数 m 的值为 1.
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
探究点：二次函数与一元二次方程
【链接中考】
1. 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为_______________.
a≥-1 且 a≠0
分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，
Δ = 4 + 4a≥0
a≠0
a≥-1且 a≠0
总结
若抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴有交点，则 b2-4ac≥0.
探究点：二次函数与一元二次方程
例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的关系近似为 h = 20t - 5t2.小球的飞行高度能否达到 20 m
如果能，需要多长时间？
分析：
二次函数h = 20t - 5t2的函数值能否取20
二次方程 20 = 20t - 5t2的根的问题
探究点：二次函数与一元二次方程
解： 当 h = 20 时，
由函数关系 h = 20t - 5t2，
列得方程 20 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4 = 0，
解方程，得 t1 = t2 = 2.
小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h/m
t/s
20
2
这说明，当自变量 t = 2 时，二次函数h = 20t - 5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
探究点：二次函数与一元二次方程
关于例1，回答下列问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
h = 20t - 5t2
O
h/m
t/s
15
1
3
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 3 = 0，
解得 t1 = 1，t2 = 3.
探究点：二次函数与一元二次方程
解：令 20.5 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4.1 = 0，
因为 (-4)2 - 4×4.1＜0，
所以方程无解.
即小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
O
h/m
t/s
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗
20.5
h = 20t - 5t2
探究点：二次函数与一元二次方程
(3) 小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h/m
t/s
令 0 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t = 0，
解得 t1 = 0，t2 = 4.
故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
h = 20t - 5t2
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
探究点：二次函数与一元二次方程
2.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m．
（1）足球的飞行时间是多少？
【练一练】
探究点：二次函数与一元二次方程
解：(1) 由题意，得 函数 y = at2 + 5t + c 的图象经过 (0， 0.5)，(0.8，3.5)，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为 ，
故足球的飞行时间为
令
解得
（舍）
探究点：二次函数与一元二次方程
（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
解：∵抛物线的解析式为
∴当 t = 时，y最大 = 4.5；
探究点：二次函数与一元二次方程
（3）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 x =10 t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28 m，他能否将球直接射入球门？
解：把 x = 28 代入 x = 10t 得 t = 2.8，
∴当 t = 2.8 时，
∴他能将球直接射入球门．
探究点：二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1. 二次函数 的图象如图
所示，对称轴为直线，图象与 轴
的一个交点坐标为 ，则方程
的根为( )
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 若关于的一元二次方程 的两个根为
,，则二次函数 的图象
的对称轴为( )
B
A. 直线 B. 直线
C. 直线 D. 直线
3. 若函数的图象与 轴有交
点，则 的取值范围是( )
C
A. B. 且
C. D. 且
【点拨】 当时，函数 是二次函数.
函数的图象与 轴有交点，
,解得,且 .当
时，函数是一次函数，图象与 轴有交点.
综上所述 .
Δ = b2-4ac
二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2
没有实数根
x1 = x2 =

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