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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.3.2求一元二次方程的近似解第二十六章二次函数26.3.2求一元二次方程的近似解同步练习题一、核心知识点梳理1.核心原理利用二次函数图象求一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$的近似解。方程的解对应抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴交点的横坐标，当无法用因式分解、公式法求出精确根时，可通过函数值的正负变化确定根的近似值。2.二分法（夹值法）核心依据若二次函数$$y=ax^2+bx+c$$在两个自变量取值$$x_1、x_2$$对应的函数值一正一负（$$y_1\cdot y_2<0$$），且函数图象连续，则在$$x_1\sim x_2$$之间一定存在方程$$ax^2+bx+c=0$$的一个实数根。3.求近似解标准步骤①列表取值：选取合适的x值，计算对应函数y的值；②锁定区间：找到函数值由正变负或由负变正的连续x取值区间，确定根所在范围；③逐步逼近：不断缩小x的取值区间，根据精度要求（保留1位/2位小数），确定方程的近似解。4.关键结论与精度规则当区间内两个端点的近似值四舍五入后数值相同时，该数值即为方程满足精度要求的近似解；一元二次方程有两个根，需分别锁定两个根的取值区间，逐一求解。二、基础巩固习题（一）选择题1.根据表格对应值，判断方程$$x^2+2x-10=0$$的一个近似解的范围是（）$$x:2.1，y:-1.39$$；$$x:2.2，y:-0.76$$；$$x:2.3，y:-0.11$$；$$x:2.4，y:0.56$$A. $$2.1\sim2.2$$ B. $$2.2\sim2.3$$ C. $$2.3\sim2.4$$ D. $$2.4\sim2.5$$2.已知二次函数$$y=x^2-4x+2$$，当$$x=0.5$$时$$y=0.25$$，$$x=0.6$$时$$y=-0.04$$，则方程$$x^2-4x+2=0$$的一个近似解约为（）A. 0.5 B. 0.6 C. 0.55 D.无法确定（二）填空题3.利用函数图象求方程近似解的核心是：找到函数值________的两个自变量，锁定根的区间。4.方程$$x^2-3x-5=0$$的一个根在$$4.2\sim4.3$$之间，若精确到0.1，可初步判定近似解为________。三、综合提升习题（三）解答题5.用夹值法求方程$$x^2-2x-2=0$$的正实数近似解（精确到0.1）。6.已知二次函数$$y=2x^2-6x-1$$，根据取值表格，求方程$$2x^2-6x-1=0$$的负根近似解（精确到0.1）。四、参考答案与详细解析1. C解析：$$x=2.3$$时$$y=-0.11$$（负），$$x=2.4$$时$$y=0.56$$（正），函数值正负交替，根在此区间内。2. B解析：$$x=0.5$$函数值为正，$$x=0.6$$函数值接近0且为负，区间$$0.5\sim0.6$$，0.6更贴近0，近似解为0.6。3.一正一负解析：夹值法核心判定条件，正负区间内必有方程实数根。4. 4.2或4.3（合理即可）解析：区间两端均贴近0，满足0.1精度要求，均可作为近似解。5.解：设$$y=x^2-2x-2$$，取值计算：$$x=2$$时$$y=-2$$，$$x=3$$时$$y=1$$，正根在$$2\sim3$$之间；进一步细化：$$x=2.7$$，$$y=-0.11$$；$$x=2.8$$，$$y=0.24$$。根在$$2.7\sim2.8$$之间，精确到0.1，近似解为$$2.7$$。6.解：设$$y=2x^2-6x-1$$，寻找负根区间：$$x=-0.1$$，$$y=-0.38$$；$$x=-0.2$$，$$y=0.68$$。负根在$$-0.2\sim-0.1$$之间，精确到0.1，近似解为$$-0.1$$。五、本节易错点总结1.误区：仅靠单一函数值判断根的位置，必须满足区间两端函数值一正一负；2.精度易错：近似解需严格匹配题目要求的精确度，不能随意保留小数位数；3.遗漏双根：一元二次方程大概率有两个根，需分别判断正负根区间，不要只求解一个根；4.概念混淆：近似解是横坐标数值，不是坐标点，无需书写括号。学习目标
1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点）
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）
3.
问题：上节课我们学习了一元二次方程
ax2 + bx + c = 0(a≠0) 和二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
例1 利用函数图象求方程 x2 2x 2 = 0 的根的近似值 (结果保留小数点后一位).
分析：一元二次方程 x 2x 2 = 0 的根就是抛物线 y = x 2x 2 与 x 轴的公共点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y = x 2x 2 的图象(如下图)，
则方程有两个实数根，一个在 1 与 0
之间，另一个在 2 与 3 之间.
通过取平均数的方法不断缩小根的范围.
y = -0.75＜0
y = 0.062 5＞0
根在 2.5 与 3 之间.
根在 2.5 与 2.75 之间.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
(2,-2)
(3,1)
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.625，2.75 之间，在 2.687 5，2.75 之间······ 可以看到：
根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值，
最终，根要求精确到 0.1，故取 x1≈2.7.
例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 | 2.687 5 - 2.75 | = 0.0625 < 0.1，我们可以将 2.687 5 作为根的近似值.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
你能用这种方法得出方程 x 2x 2 = 0 的另一个根的近似值吗 (要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1) ？
由图像得，另一个根在 1 与 0 之间.
y = -0.75＜0
y = 0.0625＞0
通过取平均数的方法不断缩小根的范围.
根在 1 与 0.5 之间.
根在 0.75 与 0.5 之间.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 0.75， 0.625 之间，在 0.75 ， 0.6875 之间······
例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 | 0.6875 - ( 0.75) | = 0.0625 < 0.1，我们可以将 0.6875 作为根的近似值.
最终，根要求精确到 0.1，故取 x2≈-0.7.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根：
(1) 用描点法作二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值).
(3) 确定方程的近似解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
【练一练】1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 ( 　)
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
B
解析：由图象可得该抛物线的对称轴为
x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点
到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又
∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5.
探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
【合作探究】
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
3
1
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题2：如果不等式ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？
0
解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数.
O
x
y
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
xx2
x1有一个交点
x≠x1或x≠x2
无解
无交点
全体实数
无解
x2
x1
O
x
y
x1=x2
O
x
y
O
x
y
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
有一个交点
无交点
x1无解
无解
xx2
x≠x1或x≠x2
全体实数
x2
x1
O
x
y
x1=x2
O
x
y
O
x
y
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = -x2+x-2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 无解
① 无解
② 无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
4. 下表是二次函数的自变量与函数值 的若
干组对应值：
… 0.7 0.8 0.9 1.0 …
… 0.30 0.05 …
则下面是关于的方程 的一个近似根
（精确到 ）的是( )
C
A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3
5.二次函数 的图象如图所示，若方程
的一个近似根是 ，则方程的另一个
近似根为________（结果精确到 ）.
知识点3 利用图象法解一元二次不等式
6. 如图，二次函数 的图象
与轴交于点，其对称轴是直线 ，
则不等式 的解集是( )
D
A. B. 或
C. D. 或
7.[2026北京交大附中期末] 已知一个二次函数
图象上部分点的横坐标与纵坐标 的对应值
如下表所示：
… 0 1 …
… 0 0 …
（1）求这个二次函数的解析式；
【解】 二次函数的图象过点和 ，
该二次函数的解析式为 .
将代入,得 ，
解得 ，
二次函数的解析式为 .
（2）当时，直接写出 的取值范围；
.
（3）当时，对于的每一个值，函数 的值都
小于二次函数的值，直接写出 的取值范围.
.
8. 李同学在探究函数
的性质时，作出了如
图所示的图象，请根据图象判断，当方程
有两个实数根时，常
数 满足的条件是( )
D
A. B.
C. D. 或
二次函数图象
由图象与 x 轴的交点位置，
判断方程根的近似值
一元二次方程的根
一元二次不等式的解集

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