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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.4.1几何图形的最大面积第二十六章二次函数26.4.1几何图形的最大面积同步练习题一、核心知识点梳理1.解题核心原理几何图形最大面积问题，是二次函数最值的经典实际应用。核心思路：根据几何边长、周长关系，建立面积关于边长的二次函数解析式，利用二次函数顶点最值，求解图形的最大（最小）面积，同时必须结合实际限定自变量取值范围。2.通用解题步骤（必考答题模板）①设未知数：设图形的一条关键边长为$$x$$；②表示边长：用含$$x$$的代数式表示出图形的其他边长；③列函数式：根据几何面积公式，列出面积$$S$$与$$x$$的二次函数解析式；④定取值范围：根据边长为正数、图形存在条件，确定$$x$$的取值范围；⑤求最值：利用顶点坐标求最值，若顶点横坐标在取值范围内，顶点处取最值；若不在，在区间端点取最值。3.高频经典模型（矩形面积最值）模型1：固定周长的矩形，正方形时面积最大；模型2：一边靠墙，用固定长度围栏围矩形，平行于墙的边长为围栏总长的一半时，矩形面积最大；4.最值判定规则二次函数$$S=ax^2+bx+c$$，$$a<0$$开口向下，图象顶点为最高点，存在最大面积；$$a>0$$开口向上，无最大面积，仅有最小面积（面积应用题几乎均为$$a<0$$）。二、基础巩固习题（一）填空题1.用总长为40cm的铁丝围成矩形，矩形的最大面积是________cm 。2.矩形的一边长为$$x$$，另一边长为$$10-x$$，则矩形面积$$S$$与$$x$$的函数解析式为________。（二）基础解答题3.已知一个矩形的周长为36m，设矩形的一边长为$$x$$m，求矩形面积的最大值。三、综合提升习题（三）拔高解答题（靠墙围栏模型）4.用总长为60m的围栏，一边靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积。5.如图，在△ABC中，底边BC=12cm，高AD=8cm，截取一个内接矩形EFGH，矩形一边在BC上，设矩形的高为$$x$$cm，求矩形的最大面积。四、参考答案与详细解析1. 100解析：周长固定，正方形面积最大，边长$$40\div4=10$$cm，面积$$10\times10=100$$cm 。2. $$S=-x^2+10x(0<x<10)$$解析：矩形面积=长×宽，结合边长大于0确定自变量范围。3.解：设一边长为$$x$$m，则另一边长为$$(18-x)$$m，面积$$S=x(18-x)=-x^2+18x$$。$$a=-1<0$$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。对称轴$$x=9$$，在取值范围内。当$$x=9$$时，$$S_{max}=-81+162=81$$。答：矩形最大面积为81m 。4.解：设垂直于墙的边长为$$x$$m，则平行于墙的边长为$$(60-2x)$$m。面积$$S=x(60-2x)=-2x^2+60x(0<x<30)$$。$$a=-2<0$$，对称轴$$x=15$$，此时$$S_{max}=-2\times225+900=450$$。答：菜园最大面积为450m 。5.解：设矩形高为$$x$$cm，则剩余三角形的高为$$(8-x)$$cm。由相似三角形得：矩形底边长$$=12-\dfrac{3}{2}x$$。面积$$S=x\left(12-\dfrac{3}{2}x\right)=-\dfrac{3}{2}x^2+12x(0<x<8)$$。对称轴$$x=4$$，代入得$$S_{max}=-\dfrac{3}{2}\times16+48=24$$。答：矩形最大面积为24cm 。五、本节易错点总结1.遗漏自变量取值范围：几何边长必须大于0，不判定范围直接求最值，极易扣分；2.靠墙模型边长表示错误：垂直墙、平行墙的边长代数式混淆，导致解析式出错；3.误区：所有最值都在顶点，若顶点横坐标不在取值区间内，最值取区间端点；4.相似三角形模型易错：内接矩形需利用相似求底边长度，不能直接套用固定公式。学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = -4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位)
追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
运动员的重心相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 之间的关系
引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11．
追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？
画出二次函数图象.
h= -4.9t2+2.8t+11
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？
追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？
顶点.
顶点的纵坐标.
引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11.
h= -4.9t2+2.8t+11
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
解：对于二次函数h = -4.9t2+2.8t+11，当
时，h 有最大值
因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其
重心达到最高点，最大高度为 11.4 m.
追问5 如何求出小球的最大高度？
h= -4.9t2+2.8t+11
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
函数 h = -4.9t2 + 2.8t + 11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？
h= -4.9t2+2.8t+11
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
【想一想】
思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数
y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
（1）
∴ 当 时，有
当 时，有
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
解：
O
x
y
1
-3
（2）
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
矩形面积与一边长的关系.
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
20 - 2x
x
x
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
则平行于墙的边长为 (20 2x) m，
矩形菜园的面积 S = x(20 2x)，
② 根据题意，求出自变量的取值范围
∴0＜x＜10.
x＞0
20 2x＞0
即 S = 2x2 + 20x (0＜x＜10).
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
③ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值.
因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m .
20 - 2x
x
x
当
时，S 有最大值
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
变式：如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
60 - 2x
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
由 (1) 知 S = 2x2＋60x = 2(x2 30x)
= 2(x 15)2 + 450.
∴21≤x＜30.
60 2x≤18，
x＞0
60 2x＞0
是否依然在 x = 15 时，S 取得最大值？
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
O
x
y
30
21
∵ 15＜21，
x = 15
∴ 当 21≤ x＜30 时，
S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，
此时 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450
= 378 (m2).
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
【链接中考】1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
解：设 BC 的边长为 x m，
解：(1) 由题意得，
(0＜x≤15).
(2)
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
A
B
C
D
15m
x
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定

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