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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.26.4.2商品利润最大问题第二十六章二次函数26.4.2商品利润最大问题同步练习题一、核心知识点梳理1.核心利润公式（必考必背）单件利润=售价 进价（成本）总利润=单件利润×销售数量二次函数利润模型：通过涨价/降价改变单件利润和销量，建立总利润与调价量的二次函数，利用顶点求最大利润。2.两类经典题型模型模型①涨价少卖：原价销售，每涨价1元，销量减少固定数量；模型②降价多卖：原价销售，每降价1元，销量增加固定数量；两类模型最终解析式均为$$y=ax^2+bx+c(a<0)$$，开口向下，顶点处存在最大利润。3.标准解题模板（考试满分步骤）①设未知数：设涨价/降价$$x$$元；②表示新单价、新销量：新售价=原价±$$x$$；新销量=原销量 变化量×$$x$$；③表示单件利润：单件利润=新售价 进价；④列总利润函数：$$W=\text{单件利润} \times \text{销量}$$，整理为二次函数标准式；⑤限定自变量范围：售价、利润、销量必须为正数，结合实际取值；⑥求最值：顶点横坐标在取值范围内，顶点取最大利润；超出范围取端点最值。4.重要结论利润问题二次函数开口一定向下，只有最大值，没有最小值；实际应用题中，若顶点横坐标不是整数，需取最接近的整数计算最大利润（商品数量为整数）。二、基础巩固习题（一）填空题1.商品进价20元，售价30元，销量100件，则单件利润为______元，总利润为______元。2.商品原价40元，每涨价1元少卖2件，原销量50件，若涨价$$x$$元，则新销量为________件。（二）基础解答题3.某商品进价每件30元，售价每件40元，每周可卖出200件。市场调查发现：每件涨价1元，周销量减少5件。设涨价$$x$$元，求总利润$$W$$关于$$x$$的函数解析式，并求最大利润。三、综合提升习题（三）拔高解答题（降价促销模型）4.某文具进价10元，售价16元，日均销量60件。经统计：每降价1元，日均多卖10件。设降价$$x$$元，求日均最大利润及对应的售价。5.某商店销售纪念品，进价20元，售价35元，每月可售300件。每涨价2元，月销量减少20件，如何定价可获得最大月利润？最大利润是多少？四、参考答案与详细解析1. 10，1000解析：单件利润$$30-20=10$$，总利润$$10\times100=1000$$。2. $$50-2x$$解析：涨价销量减少，每涨1元少2件，涨$$x$$元少$$2x$$件。3.解：单件利润：$$40+x-30=10+x$$，销量：$$200-5x$$总利润：$$W=(10+x)(200-5x)=-5x^2+150x+2000$$$$a=-5<0$$，对称轴$$x=-\dfrac{150}{2\times(-5)}=15$$当$$x=15$$时，$$W_{max}=-5\times225+150\times15+2000=3125$$答：最大利润为3125元。4.解：降价$$x$$元，单件利润：$$16-x-10=6-x$$，销量：$$60+10x$$$$W=(6-x)(60+10x)=-10x^2+0x+360=-10x^2+360$$对称轴$$x=0$$，在取值范围内，降价会降低最大利润。故不降价时利润最大，售价16元，最大利润360元。答：售价16元时，日均利润最大为360元。5.解：设涨价$$x$$个2元，即涨价$$2x$$元。单件利润：$$35+2x-20=15+2x$$，销量：$$300-20x$$$$W=(15+2x)(300-20x)=-40x^2+300x+4500$$对称轴$$x=\dfrac{300}{80}=3.75$$，$$x$$取整数，比较$$x=3$$、$$x=4$$$$x=3$$，定价$$35+6=41$$，利润$$5160$$；$$x=4$$，定价$$43$$，利润$$5160$$答：定价41元或43元时，最大利润为5160元。五、本节易错点总结1.列式顺序错误：总利润必须是“单件利润×销量”，不要用售价×销量；2.涨价降价符号混乱：涨价加、销量减；降价减、销量加，必须对应；3.忽略整数限制：商品件数、调价份数必须为整数，非整数顶点需就近取值对比；4.忘记取值范围：单件利润不能为负、销量不能为负，超范围顶点无效。学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）
3.
1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：
审→设→列→解→答
公式法：顶点坐标
配方法：y = a(x - h)2 + k
利润 = 收入 - 成本
总收入 = 销售单价×销量
总成本 = 进货单价×销量
总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量
= (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量
2. 销售问题中有关利润的公式：
总利润 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量
40
60
300
涨价
60 + 1
300 - 10
60 - 1
300 + 20
降价
20
20 + 1
20 - 1
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
涨价销售
20
300
20 + x
300 - 10x
(20 + x)(300 - 10x)
所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
6000
涨价销售
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30，x 为整数.
③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y =-10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30).
当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250.
∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最
大利润 6250 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元.
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
降价销售
想一想，每一步应该怎么做？
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
② 根据题意，求出自变量的取值范围
∵ 20 x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20，x 为整数.
③ 将二次函数解析式化为顶点式
y = 20x2 + 100x + 6000
或求出顶点横坐标(对称轴)
y = 20x2 + 100x + 6000
对称轴为
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
④ 结合自变量的取值范围，求最大值
综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元.
所以当每件降价 2 或 3 元时， 即定价为 58 或 57 元时，利润最大，最大利润是 6120 元.
∵ 0＜ ＜20， 20＜0，x 为整数.
∴当x = 2 或 3 时，y有最大值，
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
解：(1) 由题意，得
(2) 由题意，得
w = y(x 8) = ( 4x + 108)(x 8)
= 4x2 + 140x 864
∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
∵ ＞8， 4＜0，
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 单件利润×总销量”
或“总利润 = 总售价 - 总成本”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；
也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量
y (千克)与销售单价 x (元/千克)
的函数关系如图所示：
(1) 求 y 与 x 的函数解析式；
(2) 求这一天销售西瓜获得的利润
W 的最大值.
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式；
解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为
y = kx + b (k≠0)
由题意得
6k + b = 1000，
10k + b = 200，
｛
k = -200，
b = 2200.
｛
解得
∴ y = -200x + 2200.
当 10＜x≤12，y = 200
故 y 与 x 的函数解析式为
y =
-200x + 2200 (6≤x≤10)
200 (10＜x≤12)
｛
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值.
(2) 由已知得： W = (x - 6)y
当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)
= -200x2 + 3400x - 13200
又∵ -200＜0，
∴当 时，利润 w 有最大值.
∵对称轴
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200.
∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大.
∴ x = 12 时， W 有最大值.
W最大值 = 200×12 - 1200 =1200.
综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，
最大利润为 1250 元.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
应用1 与三角形面积结合
1.一块三角形材料如图所示， ，
， 九年级（8）班的同学在
劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中
点，，分别在边，，上．设 的
长为，矩形的面积为 ．
（1）写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围；
【解】 四边形 为矩形，
, .
在中， , ,
，
．
在中， , ,
, ，
，
，
．
（2）当矩形的面积为时，求 的长；
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得， ，
即 的长为4或8．
（3）若矩形的面积不小于 ，请直接写
出的长 的取值范围．
.
【点拨】由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 .
应用2 与展开图结合
2. 在一次劳动课中，老师准备了一
些长为、宽为 的长方形硬
纸板，准备利用这些纸板制作无盖的
长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不
计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为
的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，#1
将纸板沿, 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体
纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）．#1
（1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长；
【解】由题意可知， ，
．
（2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与
（单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单
个无盖纸盒的体积 的值．
根据题意，可知无盖纸盒的长,宽,高分别为 ,
, ，
，
当时， ．
最大利润问题
建立函数关系式
总利润 = 单利润×总销量
总利润 = 总售价-总成本
确定自变量的取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出

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