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人教版数学九年级上册培优精做课件
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .

26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题
第二十六章 二次函数
26.4.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 同步练习题
一、核心知识点梳理
1. 题型本质
拱桥、隧道、投篮、喷水、抛球、导弹飞行等实物/运动轨迹，本质都是二次函数图象的实际应用。所有轨迹均为抛物线，通过建立平面直角坐标系，设出抛物线解析式，代入已知点坐标求解参数，进而解决高度、宽度、距离、最值等问题。
2. 解题核心步骤（考试万能模板）
① 建系：根据图形特征合理建立平面直角坐标系（优先以顶点为原点、对称轴为y轴，计算最简单）；
② 找点：提取题目中已知的关键点坐标（端点、最高点、落地点、交点等）；
③ 设式：已知顶点优先设顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$；无顶点信息设一般式；
④ 求参：代入点坐标求出系数，确定完整抛物线解析式；
⑤ 解题：已知横坐标求高度、已知纵坐标求宽度，或求最大高度、水平距离等；
⑥ 验实际：舍去不符合实际场景的负数、超范围数值。
3. 两大经典模型
模型① 静态实物抛物线：拱桥、隧道、门洞、喷水柱，固定形状，考查限高、限宽、跨度问题；
模型② 动态运动抛物线：篮球投篮、实心球投掷、小球飞行、导弹轨迹，考查飞行时间、最大高度、落地距离。
4. 重要解题技巧
（1）对称大法：抛物线左右对称，已知一侧点坐标可直接得对称点坐标，减少计算；
（2）最大高度：抛物线顶点纵坐标即为运动物体的最大高度；
（3）落地问题：落地时高度$$y=0$$，求解对应的正x值即为水平飞行距离。
二、基础巩固习题
（一）填空题
1. 以抛物线拱桥的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，解析式为$$y=-0.02x^2$$，则拱桥的最大高度为________m。
2. 小球飞行轨迹满足$$y=-x^2+4x$$（$$y$$为高度，$$x$$为水平距离），则小球的最大飞行高度是________。
（二）基础解答题
3. 一座抛物线型拱桥，建立坐标系后解析式为$$y=-\dfrac{1}{8}x^2+2$$，求拱桥的最大跨度（与地面两交点的水平距离）。
三、综合提升习题
（三）拔高解答题
4. 喷泉喷水轨迹为抛物线，以喷水口为原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系。已知水流在水平距离2m处达到最大高度4m，求抛物线解析式，并求水平距离4m处的水流高度。
5. 篮球投篮轨迹是抛物线，球出手点坐标$$(0,2)$$，当水平前进3m时达到最大高度3.5m，求篮球飞行轨迹解析式，并求篮球落地时的水平距离（精确到0.1m）。
四、参考答案与详细解析
1. 0 解析：顶点在原点，为拱桥最高点，水面位置根据实际取值，顶点高度为0（建系规则）。
2. 4 解析：$$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$$，顶点纵坐标为4，最大高度为4。
3. 解：地面高度$$y=0$$，令$$-\dfrac{1}{8}x^2+2=0$$，解得$$x^2=16$$，$$x_1=4，x_2=-4$$。
两交点距离：$$4-(-4)=8$$（m）。答：拱桥最大跨度为8m。
4. 解：由题意得顶点坐标$$(2,4)$$，设顶点式$$y=a(x-2)^2+4$$。
图象过原点$$(0,0)$$，代入得：$$0=a(0-2)^2+4$$，解得$$a=-1$$。
解析式：$$y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$$。
当$$x=4$$时，$$y=-16+16=0$$。答：解析式为$$y=-x^2+4x$$，水平4m处水流高度为0m。
5. 解：顶点$$(3,3.5)$$，设解析式$$y=a(x-3)^2+3.5$$。
代入出手点$$(0,2)$$：$$2=a(0-3)^2+3.5$$，$$9a=-1.5$$，解得$$a=-\dfrac{1}{6}$$。
解析式：$$y=-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5$$。
落地时$$y=0$$，解方程：$$-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5=0$$，
$$(x-3)^2=21$$，$$x=3\pm\sqrt{21}$$，舍去负根，$$x=3+\sqrt{21}\approx7.6$$。
答：轨迹解析式为$$y=-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5$$，落地水平距离约7.6m。
五、本节易错点总结
1. 建系随意出错：不规范建系会导致坐标全部错误，优先顶点、对称轴建系，简化计算；
2. 混淆横纵坐标：高度对应$$y$$，水平距离对应$$x$$，切勿颠倒代入；
3. 落地问题漏取舍：解方程会出现正负两个根，实际距离必须取正数根；
4. 忽略顶点意义：最大高度、最高位置直接看顶点纵坐标，无需代值试算；
5. 实物题型忘记验证：车辆通行、船只通过需验证对应宽度、高度是否满足实际条件。
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点)
2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点)

3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等．
生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？
怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？
实际问题：水面上升 1 m，水面宽度为多少
几何问题：如图，求 AB.
A
B
思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？
1. 确定原点
2. 确定单位长度
抛物线形拱桥
建立数学模型
二次函数
解析式
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(0，0)
(10，0)
(5，4)
y
o
x
(1) y = a(x ? h)2 + k
或 y = ax2 + bx
(-5，0)
(5，0)
(0，4)
y
o
x
(-5，-4)
(5，-4)
(0，0)
y
o
x
想一想 根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
(3) y = ax2
(2) y = ax2 + k
图①
图②
图③
谁最合适？为什么？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
x
O
y
5
-5
-4
A
问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？
已知水面宽 10 m 时，拱顶离水面高 4 m，因此点 A (5，-4) 在抛物线上，由此得出
解得
因此， y＝－????????????x?，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
?
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
a＝－????????????
?
问题 2 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？
即水面上升 1 m 时，水面宽度增加了 ???????? .
?
这条抛物线表示的二次函数为
y＝－????????????x?
?
当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 －3＝－????????????x?，解得 x1＝????????????或 x2＝－ ????????????.
?
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
x
O
y
5
-5
-4
A
【归纳总结】
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立如图直角坐标系，
设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2.
∵ 该抛物线过点 (10，?4)，
∴ ?4 = 100a，故 a = ?0.04.
∴ y = ?0.04x2.
【练一练】1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m. 建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
20 m
y
O
A
B
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
O
C
A
B
y
x
将其代入
抛物线 中，得 c＝4，
解：根据题意，得 C (0，4).
∴ 抛物线解析式为 y＝? x2 + 2x + 4.
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
∴ 对称轴为 x＝6.
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为
(2，0) 或 (10，0)，
6
2
10
O
C
A
B
y
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
8
O
C
A
B
y
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
分析：建立合适的直角坐标系，
利用二次函数的图象和性质求解.
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立平面直角坐标系如图.
则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解得
a = －0.2，
k = 3.5.
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5 时，y = 2.25 .
故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.
1.52·a + k = 3.05，
k = 3.5.
x
y
O
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
【练一练】2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使
喷出的水流不致落到池外？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)，
顶点 B 的坐标为 (1，2.25).
数学化
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，
才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0).
设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
应用1 池塘问题
1.某池塘的截面如图所示，池底呈
抛物线形，以水平地面为???? 轴，垂直
于水平地面且位于池塘中心的线为????
?
0.8?m
?
轴建立平面直角坐标系，池塘的宽????????=30?m ，池底最深处距
离水平地面5?m，原来的水面宽????????=24?m ，若池塘中水面的
宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______.
?
应用2 拱桥问题
2. [2025广东] 如图，某跨海钢箱
梁悬索桥的主跨长1.7?km ，主塔高
0.27?km ，主缆可视为抛物线，主缆垂度
?
为0.178?5?km，主缆最低处距离桥面0.001?5?km ，桥面距离
海平面约0.09?km . 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，
并求该抛物线的解析式.#1
?
【解】（答案不唯一）建立平面
直角坐标系，如图所示.
则抛物线顶点坐标为
(0,0.001?5)，????(1.72,0.27?0.09)，即????(0.85,0.18) ，
设该抛物线的解析式为????=????????2+0.001?5 ，
将????(0.85,0.18)的坐标代入????=????????2+0.001?5 .得
0.18=0.852????+0.001?5，解得????=2185 ，
∴ 该抛物线的解析式为????=2185????2+0.001?5 .
?
应用3 隧道问题
3. [2026阜阳期末] 某隧道的截面由抛物
线和长方形????????????1????构成，若隧道宽度???????? 为
12?m，最高处离地面10?m ，长方形的宽为
4?m.如图，现以????点为原点，???????? 所在的直线
?
（1）求出抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）.
为????轴，????????所在的直线为???? 轴建立平面直角坐标系.
?
【解】∵ 隧道宽度????????为12?m ，最高处离地面
10?m ，
∴ 抛物线的顶点坐标为(6,10) .
?
∴ 设该抛物线的解析式为????=????(?????6)2+10 .
∵ 长方形的宽为4?m，∴ 抛物线经过点????(0,4) .
把????(0,4)的坐标代入????=????(?????6)2+10 ，得
4=36????+10 ，
?
∴????=?16.∴????=?16(?????6)2+10=?16????2+2????+4 .
∴ 该抛物线的解析式为
????=?16????2+2????+4(0≤????≤12) .
?
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6?m，宽为4?m ，
如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
?
由（1）知该抛物线的顶点坐标为(6,10) .
∵ 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽
为4?m ，隧道内设双向车道，
∴ 货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一
?
侧与地面交点的横坐标为6?4=2或6+4=10 .
∴ 当????=2 时，
????=?16(?????6)2+10=?16×(2?6)2+10=223>6 ;
?
当????=10 时，
????=?16(?????6)2+10=?16×(10?6)2+10=223>6 .
∴ 这辆货运汽车能安全通过.
?
（3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面
的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过8?m ，那么两排
路灯的水平距离最小是多少？
?
由（1）知????=?16(?????6)2+10 ，
依题意，令????=8，则8=?16(?????6)2+10 ，
∴(?????6)2=12 ，
?
解得????1=6+23，?????2=6?23 ，
则????1?????2=6+23?(6?23)=43 ，
∴ 两排路灯的水平距离最小是43?m .
?
转化
回归
拱桥问题
抛物线形运动轨迹问题
（抛物线形实物与轨迹问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键

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