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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系第二十六章二次函数第二十六章二次函数全章总复习一、二次函数基础概念（26.1）1.定义一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$\boldsymbol{a\neq0}$$）的函数叫做二次函数。三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数$$a\neq0$$。2.三种解析式形式一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点）顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值）交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点）二、二次函数图象与性质（26.2核心重点）1.最简形式：$$y=ax^2$$图象：抛物线，顶点$$(0,0)$$，对称轴为y轴；$$a>0$$开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增；$$a<0$$开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减；开口宽窄：$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。2.平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$$$y=ax^2+k$$上下平移：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点$$(0,k)$$，仅改变最值；$$y=a(x-h)^2$$左右平移：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线$$x=h$$，增减性以$$x=h$$分界。3.顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式）顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$；$$a>0$$，最小值$$y=k$$；$$a<0$$，最大值$$y=k$$；所有平移均可由$$y=ax^2$$先左右、后上下平移得到。4.一般式：$$y=ax^2+bx+c$$对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$系数符号规律：①$$a$$：定开口；②$$c$$：定与y轴交点$$(0,c)$$；③$$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。三、二次函数与一元二次方程（26.3）1.核心关系令$$y=0$$，二次函数$$y=ax^2+bx+c$$转化为方程$$ax^2+bx+c=0$$；方程的根=抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式$$\Delta=b^2-4ac$$三种对应关系$$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点；$$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）；$$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。3.方程近似解夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。四、二次函数实际应用（26.4中考必考大题）1.几何图形最大面积问题解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值；经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。2.商品最大利润问题核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量；两类模型：涨价少卖、降价多卖；关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。3.抛物线实物与运动轨迹问题解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义；静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）；动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。五、全章高频易错点汇总1.平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆；2.顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$顶点横坐标为$$-h$$；3.对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$是高频计算错误点；4.实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点；5.方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$；6.增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。六、全章解题技巧总结1.求最值优先配方或用顶点公式，无需描点；2.图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除；3.实际问题优先设变化量为x，简化列式；4.抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型. (难点、重点)
2.经历“观察一猜想一建模一验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性.
探究点一：哪个积最大
(1) 观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10)，猜想其中哪个积最大：91×99，92×98， ···，98×92，99×91.
问题1：观察算式：两个乘数的十位都是 9，个位和为 10，这两个乘数的和是有什么样的特点？
猜想：当两个乘数的差最小时，积最大，即 95×95的积最大.
问题2：观察算式特点，猜想：哪两个数的乘积最大？
固定和为 189.
问题3：你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 90 + x，100 - x.
设它们的积为 y，则
y = (90 + x)(100 - x)
= -x +10x + 9000
其中 x 为整数，且 0≤x≤10.
这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为
当 x = 5 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 95×95，验证猜想正确.
(2) 观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大：
901×999，902×998，···，998×902，999×901.
问题1：类比两位数规律，这组算式的特征是什么？
百位为 9，后两位和为 100，和为固定值
问题2：直接猜想：哪两个数的乘积最大？
类比 95×95，猜想 950×950.
问题3：仿照两位数的方法，如何建模验证？
设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 900 + x，1000 - x.
设它们的积为 y，则
y = (900+ x)(1000 - x)
= -x +100x + 900000
其中 x 为整数，且 0≤x≤100.
这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为
当 x = 50 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 950×950，验证猜想正确.
问题4：结合两个例子，能总结出什么通用规律？
和一定的两个正数，差越小，乘积越大；相等时乘积最大
【归纳小结】
利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论—当两个数的和固定时，两数相等(或最接近)时积最大；
解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”.
探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系
由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表：
刹车时车速/ (km/h) 40 48 56 64 72 80
刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8
10
20
30
40
50
60
70
80
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
O
（1）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.
刹车时车速 x (km/h)为横坐标，刹车距离为 y (m)纵坐标
根据图象，你能推测出这是个什么函数吗？
二次函数
刹车时车速 x (km/h)
刹车距离为 y (m)
（2）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.
设二次函数解析式为 y = ax + bx + c，选取表格中 (40，17)，(64，35.3)，(80，52.8) 三组典型数据代入解析式，列方程组求解系数 a，b，c.
1600a + 40b + c = 17，
4096a + 64b + c = 35.3，
6400a + 80b + c = 52.8，
解得近似解析式:
y≈0.0082x - 0.1x + 7.7.
将 х = 56 代入验证，得 y≈27.82，与实测值 27.9 误差较小，说明模型合理.
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为 70 m，已知这条高速公路限速 100 km/h. 请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？
当 y = 70 时，0.0082x - 0.1x + 7.7 = 70.
解得 x≈93.5 (负值舍去).
这个结果小于高速限速 100 km/h，说明车辆未超速行驶.
【归纳小结】刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效.
1.二次函数的应用场景：求最值（如乘积最大值）、解决实际问题（如刹车距离问题）.
2.解题步骤:
(1) 分析问题，设变量，找等量关系;
(2) 建立二次函数模型；
(3) 利用函数性质（顶点、单调性）解决问题；
(4) 检验结果的实际意义.
3.数学思想：数形结合、建模思想、从特殊到一般.
1. 某汽车刹车距离解析式为 y = 0.005x + 0.05x + 2，当车速为 60 km/h 时，刹车距离约为 米.
(保留一位小数)
2. 已知两个数的和为 170，且十位数字均为 8，个位数字之和为10.
(1) 设其中一个数的个位为 x，写出两数乘积的二次函数解析式；
(2) 求这两个数的最大积，并写出对应的两个数.
30.2
解：(1) y = (80 + x)(90 - x) = - x + 10x + 7200；
(2) 最大积为 7225，对应两数为 85 和 85.
类型1 线段的最值问题
1.如图，抛物线 交
轴于，两点，交轴于点，点 的坐标
为，顶点的坐标为 .
（1）求抛物线和直线 的解析式；
【解】设抛物线的解析式为
，
将点 的坐标代入,
得,解得 ,
抛物线的解析式为
.
令，则， 点的坐标为 .
设直线的解析式为 .
将点的坐标代入,得 ，解
得 ,
直线的解析式为 .
（2）点是直线 上的一个动点，过点
作轴的垂线，交抛物线于点，当点
在第一象限时，求线段 长度的最大值.
设点的横坐标为，则 ，
，
，
当时，线段 长度有最大值，
最大值为 ．
.
点在第一象限， .
类型2 线段和的最值问题
2.如图，抛物线 经过
，两点，并交 轴于另一点
，点是抛物线的顶点，直线与 轴
交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
【解】
抛物线 经过
， 两点，
解得
该抛物线的解析式为 .
（2）若点是轴上一动点，分别连接， ，求
的最小值．
，
顶点的坐标为 .
设直线的解析式为 ，
则 解得
直线的解析式为 .
当时，， .
作点关于轴的对称点 ，连接
，，如图，则 ，
，
即的最小值为 的长.
，
的最小值为 ．

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