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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.27.1反比例函数的概念第27章反比例函数第二十六章二次函数全章总复习一、二次函数基础概念（26.1）1.定义一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$\boldsymbol{a\neq0}$$）的函数叫做二次函数。三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数$$a\neq0$$。2.三种解析式形式一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点）顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值）交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点）二、二次函数图象与性质（26.2核心重点）1.最简形式：$$y=ax^2$$图象：抛物线，顶点$$(0,0)$$，对称轴为y轴；$$a>0$$开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增；$$a<0$$开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减；开口宽窄：$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。2.平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$$$y=ax^2+k$$上下平移：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点$$(0,k)$$，仅改变最值；$$y=a(x-h)^2$$左右平移：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线$$x=h$$，增减性以$$x=h$$分界。3.顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式）顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$；$$a>0$$，最小值$$y=k$$；$$a<0$$，最大值$$y=k$$；所有平移均可由$$y=ax^2$$先左右、后上下平移得到。4.一般式：$$y=ax^2+bx+c$$对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$系数符号规律：①$$a$$：定开口；②$$c$$：定与y轴交点$$(0,c)$$；③$$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。三、二次函数与一元二次方程（26.3）1.核心关系令$$y=0$$，二次函数$$y=ax^2+bx+c$$转化为方程$$ax^2+bx+c=0$$；方程的根=抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式$$\Delta=b^2-4ac$$三种对应关系$$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点；$$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）；$$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。3.方程近似解夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。四、二次函数实际应用（26.4中考必考大题）1.几何图形最大面积问题解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值；经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。2.商品最大利润问题核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量；两类模型：涨价少卖、降价多卖；关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。3.抛物线实物与运动轨迹问题解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义；静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）；动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。五、全章高频易错点汇总1.平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆；2.顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$顶点横坐标为$$-h$$；3.对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$是高频计算错误点；4.实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点；5.方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$；6.增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。六、全章解题技巧总结1.求最值优先配方或用顶点公式，无需描点；2.图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除；3.实际问题优先设变化量为x，简化列式；4.抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。1. 理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系.（重点）
2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.（重点）
3. 体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.（难点）
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗
下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
【合作探究】
(1) 京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
探究点1：反比例函数的概念
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y (单位：m) 随另一边长 x (单位：m) 的变化而变化；
(3) 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用的流量 Q (单位：GB) 随使用完流量的总时间 t (单位：天) 的变化而变化.
探究点1：反比例函数的概念
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是非零常数.
分式
分子
一般地，形如 (k 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
探究点1：反比例函数的概念
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其相对应.
探究点1：反比例函数的概念
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)：
探究点1：反比例函数的概念
1. 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
是，
【练一练】
y = 3x - 1
y = 3x-1
探究点1：反比例函数的概念
例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
所以
m2 + 2m - 4 = －1，
m - 1≠0.
解得 m = -3.
解：因为 是反比例函数，
方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0.
探究点1：反比例函数的概念
2. 已知函数 是反比例函数，
则 k 必须满足 .
1. 当 m = 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
指数为 -1
系数不为0
【练一练】
探究点1：反比例函数的概念
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以
解得 k =12.
因此
探究点2：确定反比例函数的解析式
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数的反比例函数解析式；
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出反比例函数解析式.
探究点2：确定反比例函数的解析式
2. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ，
所以 ，解得 k = 16，因此 .
(2) 当 x = 7 时，
探究点2：确定反比例函数的解析式
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为 100 km/h 时，视野的度数.
探究点3：建立简单的反比例函数模型
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，
解得 k = 4000.
因此
所以
探究点3：建立简单的反比例函数模型
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180 平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x cm，y cm. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以 S菱形 ABCD
所以变量 y 与 x 之间的关系式为
，它是反比例函数.
探究点3：建立简单的反比例函数模型
知识点1 反比例函数的定义
1. 下列函数：， ，
，，，， ，
.其中是 的反比例函数的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______
_______.
且
知识点2 建立反比例函数模型
3. 下列数量关系中，成反比例关系的是( )
C
A. 橘子的单价一定，购买橘子的质量与总价
B. 圆锥的体积一定，它的底面半径与高
C. 路程一定时，速度与时间
D. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数
4. 当矩形面积一定时，长是宽 的反比例函
数，其函数解析式可以写为为常数， .请你仿
照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数
关系的量的实例，并写出它的函数解析式.实例：__________
________________________________；函数解析式：
_______________________________.
当路程
一定时，速度是时间的反比例函数
为常数（答案不唯一）
5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变
的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比
例函数.当时，.则当 时，
________ .
16 000
知识点3 反比例函数与成反比例
6. 下列说法正确的是( )
A
A. 在中，与 成正比例
B. 在中，与 成反比例
C. 在中，与 成正比例
D. 在中，与 成正比例
【点拨】A.， .
与 成正比例，故选项正确；
B.，与 成正比例，故选项错误；
C.时，；时， ，故选项错误；
D.， ，故选项错误.
故选A.
7. 已知和成正比例，和成反比例，则和
成____比例.
反
8.若长方形的两邻边长度分别为, ，面积保持不变，下表给
出了与 的一些值求长方形的面积．
3 1 8
4 2 5
（1）长方形的面积是多少？
【解】长方形的面积为4.
（2）与之间是什么关系？用式子表示与 之间的关系．
与是反比例关系，用式子表示为 .
（3）完成上表．
如表所示.
3 1 2 8
6 4 2 5
9. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购
买500度电，若平均每天用电度，则能使用 天.下列说法错
误的是( )
C
A. 若，则
B. 若，则
C. 若减小，则 也减小
D. 若减小一半，则 增大一倍
根据实际问题建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数

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