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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.27.2第2课时反比例函数的图象和性质(2)第27章反比例函数27.2第1课时反比例函数的图象和性质(1)练习题（含解析）本次练习题聚焦人教版九年级上册27.2第1课时核心内容，围绕反比例函数的图象形状、象限分布、增减性、图象特征等基础考点设计，题型经典基础、重难点贴合课本，适合课后巩固新知，帮助熟练掌握反比例函数图象的基本性质与简单应用。一、选择题（每题4分，共20分）1.反比例函数$$y=\frac{6}{x}$$的图象大致是（）A.过一、三象限的双曲线B.过二、四象限的双曲线C.过一、二象限的直线D.过三、四象限的直线2.已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（）A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤03.在反比例函数$$y=\frac{3}{x}$$的图象上，下列点在图象上的是（）A. (1,2) B. (2,3) C. (3,1) D. (-1,3)4.对于反比例函数$$y=-\frac{2}{x}$$，下列说法正确的是（）A.图象经过原点B.图象在第一、三象限C.当x＞0时，y随x的增大而增大D.当x＜0时，y随x的增大而减小5.若点A(2，$$y_1$$)、B(3，$$y_2$$)在反比例函数$$y=\frac{4}{x}$$图象上，则$$y_1$$、$$y_2$$的大小关系是（）A. $$y_1＞y_2$$ B. $$y_1＜y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6.反比例函数的图象是________，它的两支曲线永远________坐标轴。7.若反比例函数$$y=\frac{m-1}{x}$$的图象在第一、三象限，则m的取值范围是________。8.已知点(-4，2)在反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象上，则该函数图象位于第________象限。9.在反比例函数$$y=\frac{5}{x}$$中，当x＞0时，y随x的增大而________。10.反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(1，-5)，则该函数的增减性为________。三、解答题（共60分）11.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{8}{x}$$。（1）判断该函数图象所在象限；（2）说出函数在每一象限内的增减性；（3）判断点(4,2)、(-2,4)是否在函数图象上。12.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$（k≠0）的图象经过点(-3，-4)。（1）求该函数的解析式；（2）判断图象所在象限；（3）当x＜0时，分析y随x的变化规律。13.（20分）已知反比例函数$$y=(2k-5)x^{-1}$$，根据下列条件求k的取值范围。（1）函数图象在第一、三象限；（2）在每一象限内，y随x的增大而增大。四、参考答案与详细解析选择题1. A解析：$$k=6＞0$$，反比例函数图象为双曲线，分布在第一、三象限。2. B解析：反比例函数图象过二、四象限的核心条件是比例系数$$k＜0$$。3. C解析：将点代入解析式，横、纵坐标乘积等于k=3，仅(3,1)满足$$3×1=3$$。4. C解析：$$k=-2＜0$$，图象在二、四象限，不过原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而增大。5. A解析：$$k=4＞0$$，在第一象限内y随x增大而减小，2＜3，故$$y_1＞y_2$$。填空题6.双曲线；无限接近，永不相交7. m＞1 8.二、四9.减小10.在每一象限内，y随x的增大而增大解答题11.（1）$$k=8＞0$$，图象位于第一、三象限；（2）在每一象限内，y随x的增大而减小；（3）$$4×2=8$$，点(4,2)在图象上；$$-2×4=-8≠8$$，点(-2,4)不在图象上。12.（1）将(-3,-4)代入得$$k=12$$，解析式为$$y=\frac{12}{x}$$；（2）$$k＞0$$，图象在第一、三象限；（3）x＜0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小。13.（1）图象在一、三象限，则$$2k-5＞0$$，解得$$k＞\frac{5}{2}$$；（2）每一象限内y随x增大而增大，则$$2k-5＜0$$，解得$$k＜\frac{5}{2}$$。核心知识点总结：反比例函数$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$图象为双曲线；$$k＞0$$时，图象在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；$$k＜0$$时，图象在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大，且图象永不与坐标轴相交。1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力.
2.掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征.（重点）
3.理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义.（难点）
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
问题1
问题2
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (-2，4).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.
因为点 A(－2，4) 在第二象限，
所以这个函数的图象位于第二、第四象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
(2) 点 B (1，-8)，C ( ， )，D (2，4) 是否在这个函数的图象上？
因此，这个反比例函数的解析式为 .
解：设这个反比例函数的解析式为 . 因为点
A (-2，4) 在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ，
解得 k = -8.
即
因为点 B，C 的坐标都满足 ，点 D 的坐标不满足 ，所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
1. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的解析式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
【练一练】
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．
当 x = -1，
当 x = 3，
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以 m－5＞0，解得 m＞5.
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5＞0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当 x1＞x2 时，y1＜y2.
O
x
y
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
2. 如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( )
A．－1 B．3
C．1 D．0
O
x
y
B
图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
【练一练】
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
【合作探究】
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2) ，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q 两
点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
B
P
A
S
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 ，
A
B
| k |
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作
的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，
SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
做一做
根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4.
∴ 反比例函数的解析式为
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
y
x
O
P
A
k 的绝对值为12
图象在第二、四象限，故 k＜0
【练一练】
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
4. 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
解析：由反比例函数面积的不变性易
知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于
点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，
而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3.
F
S1
S2
S3
【练一练】
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
y
D
B
A
C
x
例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形.
O
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
5.如图，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于
A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
y＝－
【练一练】
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
【合作探究】
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
k＞0
由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
6. 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围
是 ．
－1
2
y
x
O
A
B
x < －1 或 0 < x < 2
【练一练】
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
知识点1 反比例函数图象的对称性
1. 已知反比例函数 的图象与正比例函数
的图象相交于，两点，若点 的坐标是
，则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
2. [2026北京四中期末] 如图，正方形四
个顶点分别位于两个反比例函数 和
的图象的四个分支上，则实数 的值
为( )
A
A. B. C. D. 3
【点拨】如图，连接正方形 的对
角线，易知对角线交于原点，过点 ，
分别作轴的垂线，垂足分别为， .
根据题意可设点的坐标为 ,
则,. 四边形 是正
方形，， .
.又
,
,
.
点在第二象限， 点 的坐标为
. 点在反比例函数 的图
象上， 故选A.
知识点2 反比例函数中 的几何意义
（第3题）
3. 如图，这是反比例函数 的图象，
点 是反比例函数图象上任意一点，
过点作轴于点,连接 ,则
的面积是( )
B
A. 1 B. C. 2 D.
（第4题）
4. [2025山东] 如图，在平面直角坐标系
中，，两点在坐标轴上，四边形
是面积为4的正方形.若函数 的
图象经过点，则满足的 的取值范
围为( )
A
A. B. C. D.
知识点3 反比例函数和一次函数的综合
5. 已知关于的一元二次方程 无实数根，
则函数与函数 的图象交点个数为( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【点拨】 关于的一元二次方程 无实数
根，，解得 函数 的图
象经过第二、四象限. 函数 的图象位于第二、四象
限， 两个函数图象有2个交点.
6. 通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不
等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.请利用直角
坐标系构造恰当的图形，判断不等式
的解集是( )
B
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【点拨】设 ，
由图象可知，不等式的解集是
或 .
作函数
的图象和函数
的图象如图所示.
7. 若双曲线与直线
的两个交点分别为，，且 ，
则下列结论一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
8. 已知反比例函数，对于正数，当自变量 满
足时，函数的最小值为 ，则当
时，函数 有( )
D
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
面积问题
→面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数的图象和性质的综合运用

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