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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.27.3第1课时实际问题中的反比例函数第27章反比例函数27.3第1课时实际问题中的反比例函数练习题（含解析）本次练习题适配人教版九年级上册27.3第1课时教学内容，聚焦实际场景中的反比例函数建模，重点考查路程速度时间、工程效率、面积体积、总价单价数量等常见定值模型，侧重实际问题转化为函数解析式、自变量实际取值、利用增减性求解最值等核心考点，题型循序渐进，贴合课后巩固与基础拔高需求，帮助掌握反比例函数的实际应用方法。一、选择题（每题4分，共20分）1.从甲地到乙地的路程为定值，若行驶速度为$$x$$，行驶时间为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数关系是（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数2.矩形的面积为24（定值），设矩形的长为$$x$$，宽为$$y$$，下列说法正确的是（）A. $$y$$与$$x$$成正比例B. $$y$$与$$x$$成反比例C. $$y$$随$$x$$的增大而增大D. $$x、y$$可取任意实数3.一批货物总量固定，若每天卸货$$x$$吨，卸完货物所需天数为$$y$$，已知$$y=\frac{120}{x}$$，则这批货物总重量为（）A. 12吨B. 60吨C. 120吨D. 240吨4.已知工程总量一定，甲队完成工程的时间$$t$$（天）与工作效率$$v$$（每天工作量）成反比例，若效率$$v$$提高，则完成时间$$t$$会（）A.增大B.减小C.不变D.无法确定5.下列实际问题中，变量间成反比例函数关系的是（）A.单价固定，总价与购买数量B.圆的周长与半径C.压力一定时，压强与受力面积D.身高与体重二、填空题（每题4分，共20分）6.已知路程一定，若速度$$x=50\mathrm{km/h}$$，时间$$y=4\mathrm{h}$$，则$$y$$与$$x$$的函数解析式为________。7.圆柱体体积为定值60，圆柱底面积为$$S$$，高为$$h$$，则$$S$$关于$$h$$的函数关系式为________。8.完成某项工作的总工作量固定，工作效率$$x$$与工作时间$$y$$成反比例，若效率为2时，时间为10，则效率为4时，时间为________。9.实际问题中的反比例函数，自变量取值通常要满足________（填取值范围特征）。10.已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$表示实际问题，当$$x=6$$时$$y=3$$，则定值$$k=$$________。三、解答题（共60分）11.（20分）某校组织研学活动，总路程为180km。设行驶速度为$$x$$（km/h），行驶时间为$$y$$（h）。（1）求$$y$$关于$$x$$的函数解析式；（2）若行驶速度不低于60km/h，求最短行驶时间；（3）若行驶时间不超过3h，求行驶速度的最小值。12.（20分）仓库有一批物资，总质量固定，若每天搬运$$x$$吨，$$y$$天可以搬完，已知当$$x=8$$时，$$y=15$$。（1）求$$y$$与$$x$$的反比例函数解析式；（2）若要求10天内搬完，每天至少搬运多少吨物资？（3）若每天最多搬运12吨，至少需要多少天搬完？13.（20分）已知矩形面积为定值36，设矩形的长为$$x$$，宽为$$y$$。（1）写出$$y$$关于$$x$$的函数解析式及自变量取值范围；（2）当长$$x=9$$时，求矩形的宽；（3）若长不小于4，求宽的取值范围。四、参考答案与详细解析选择题1. B解析：路程$$s=xy$$（定值），满足反比例函数$$y=\frac{s}{x}$$形式，为反比例函数关系。2. B解析：矩形面积$$xy=24$$（定值），长和宽成反比例，$$k=24＞0$$，$$x$$增大时$$y$$减小，且实际边长为正数。3. C解析：反比例函数$$y=\frac{120}{x}$$中$$k$$为定值总量，即货物总重量120吨。4. B解析：工程总量固定，$$k＞0$$，反比例函数在自变量正值范围内，效率$$v$$越大，时间$$t$$越小。5. C解析：压力定值时，压强×受力面积=定值，成反比例关系；其余选项均为正比例关系。填空题6. $$y=\frac{200}{x}(x>0)$$ 7. $$S=\frac{60}{h}(h>0)$$ 8. 59.正数（$$x>0$$）10. 18解答题11.（1）由路程公式得$$xy=180$$，解析式为$$y=\frac{180}{x}(x>0)$$；（2）$$x\geq60$$，函数单调递减，$$x=60$$时，$$y_{最小}=3\mathrm{h}$$；（3）$$y\leq3$$，代入得$$x\geq60$$，速度最小值为60km/h。12.（1）设$$y=\frac{k}{x}$$，代入$$x=8、y=15$$得$$k=120$$，解析式为$$y=\frac{120}{x}(x>0)$$；（2）$$y\leq10$$，解得$$x\geq12$$，每天至少搬运12吨；（3）$$x\leq12$$，解得$$y\geq10$$，至少需要10天。13.（1）解析式为$$y=\frac{36}{x}(x>0)$$；（2）将$$x=9$$代入，得$$y=4$$；（3）$$x\geq4$$，函数单调递减，得$$0<y\leq9$$。核心知识点总结：1.实际问题反比例模型：定值=变量1×变量2，常见路程、工程、面积、体积、压强等定值场景；2.实际自变量必须取正数，函数图象仅为第一象限双曲线分支；3. $$k＞0$$时，自变量越大，函数值越小，可利用增减性求解实际最值问题。1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)
拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？
例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h.
(1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？
分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )，所以 v 关于 t 的函数解析式为
分析：根据“平均装载速度＝货物总量÷装载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式.
(2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
(2) 把 t＝6 代入 ，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 .
当 t > 0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过
6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物.
想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 v 的值，求自变量
t 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
1. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y
与 x 之间的函数关系式；
解：
【练一练】
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完？
解：x =12×5 = 60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不
超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆
这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了 8 天后剩余的垃圾有
1200－8×60 = 720 (立方米).
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天
至少运 720÷6 = 120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是 120÷12 = 10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆).
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6 = 480 (千米).
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt = 480，
整理得 (t ＞0).
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
【归纳总结】
反比例函数的实际应用一般步骤：
(1) 确定函数关系，设出 ；
(2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ；
(3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ；
(4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题.
函数解析式
k 值　
取值范围
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
古希腊科学家阿基米德(公元前287—前212 ) 发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂.
阻力
动力
阻力臂
动力臂
支点
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m)有怎样的函数关系 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力
对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此
时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力.
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
所以 F 关于 l 的函数解析式为
当 l =1.5 m 时，
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动
力臂 l 至少要加长多少
(2) 对于函数 ，当 l＞0，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
将 F = 400× = 200 代入 ，得
由 200 = ，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长
3－1.5 =1.5 (m).
想一想：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力
根据杠杆平衡条件 F1×L1 = F2×L2，撬同一物体时，阻力与阻力臂的乘积 F2×L2 为定值 k，即 ，动力 F1 与动力臂 L1 成反比例关系. 当动力臂 L1 越长，动力 F1 越小，因此越省力.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
解：由 ，得
p 是 S 的反比例函数．
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝ 0.2 m2 时，
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p = 6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小.
因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
4. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为 220 W ~ 440 W.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
其他学科中的反比例函数:
① 电压 U 一定时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例函数关系，解析式为 ；
② 压力F一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比
例函数关系，解析式为 ；
③ 气体质量 m 一定时，密度 ρ 与体积 V 成反比
例函数关系，解析式为 .
I＝　
ρ＝　
p＝　
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
知识点1 利用反比例函数解实际问题
1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则
汽车行驶时间单位：关于行驶速度单位： 的函
数解析式是( )
B
A. B. C. D.
2. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已
融入人们的日常生活中.如图，是某酒店的智能送餐
机器人，其最快移动速度 是载重后总质量
的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重
1
前的质量时，它的最快移动速度 ，当
其载重后总质量时，它的最快移动速度是___ .
知识点2 利用反比例函数解跨学科问题
3. [2026深圳期末] 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达
到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力 的
反比例函数．已知当张力时，频率
即达到标准音高．若要使频率升高到 即达到标准
音高 ，应该如何调整张力？( )
D
A. 增大至 B. 减小至
C. 增大至 D. 减小至
（第4题）
4. 社团活动中，同学用自制密
度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在
密度为 单位： 的液体中，浸在液
体中的高度单位：与液体的密度 的
关系式为 ，橘子汁的密度是水的密度
1
的 倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多
．则水的密度为___．
（第4题）
【点拨】
设密度计悬浮在水中的高度为 ，则悬浮
在橘子汁中的高度为 .
橘子汁的密度是水的密度的 倍，
，
解得，经检验， 是原分式方程
的解,
水的密度为 .
知识点3 利用反比例函数的图象解决问题
（第5题）
5. 小颖和小亮玩掷
骰子游戏，每人分别先后掷两次
得到，，并约定点 落在如
图所示的反比例函数
图象内为小亮胜，
落在图象外则小颖胜，落在图象
A
A. 小颖 B. 小亮 C. 都一样 D. 无法确定
上为平局，你认为谁获胜的希望较大？( )
【点拨】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
所有等可能的结果有36种，落在函数 图象内的
有13种，落在图象外的有19种，
小颖获胜的希望较大，故选A.
（第5题）
（第6题）
6.某气球内充满了一定质量的气
体，当温度不变时，气球内气体
的气压是气体体积
的反比例函数，其函数图象如图
所示.当气体体积为 时，气压
是____ .
48
（第7题）
7. 如图，某校计划利用已有的一堵长为
的墙，用篱笆围一个面积为 的
矩形园子.设， ，则下
列说法正确的是( )
C
A. 关于的函数解析式为
B. 自变量的取值范围为，且随 的增大而减小
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，
（第7题）
【点拨】根据矩形园子的面积为 ，
可知 ，
，故A选项错误，不符合题意；
墙长为 ，
，,解得 ，故B选项错误，不
符合题意；当时，则，解得， 的取值范围
为 ，故C选项正确，符合题意；
当时， ，故
D选项错误，不符合题意.故选C.
（第7题）
8. 如图①，区间测速是指检测
机动车在两个相邻测速监控点之间
的路段（测速区间）上平均速度的
方法.小聪发现安全驾驶且不
B
A. B. C. D.
超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 段的平均
行驶速度与行驶时间 是反比例函数关系（如图②），
已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过
，最低车速不得低于 ，小聪的爸爸按照此规
定通过该限速区间 段的时间可能是 ( )
【点拨】由题意可设 ，将
点 的坐标代入，得
， .
当时，；当
时， .
按照规定通过该限速区间段的时间不超过 ，不低
于 ，观察各选项，只有B符合题意.
9. 人工智能逐渐融入我们的生活.如图所示，某餐厅购进
一个送餐机器人，这个机器人与地面的接触面积是可以调整
的.下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间
的关系：
地面所受压强
接触面积
（1）地面所受压强与接触面积 满足
怎样的函数关系？并写出压强 关
于接触面积 的函数解析式.
【解】由表格可知压强与接触面积 的
乘积为定值480，则压强与接触面积 满足反比例函数关系.
压强关于接触面积的函数解析式为 .
（2）若送餐机器人要经过一段玻璃通
道，且这段玻璃通道能承受的最大压强
为 ，问这个机器人与地面的
接触面积至少为多少平方米
当时， .
答：这个机器人与地面的接触面积至少为 .
实际问题中的反比例函数
实际问题与反比例函数
反比例函数与其他学科知识的综合

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