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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第二十六章二次函数第二十六章二次函数全章总复习一、二次函数基础概念（26.1）1.定义一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$\boldsymbol{a\neq0}$$）的函数叫做二次函数。三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数$$a\neq0$$。2.三种解析式形式一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点）顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值）交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点）二、二次函数图象与性质（26.2核心重点）1.最简形式：$$y=ax^2$$图象：抛物线，顶点$$(0,0)$$，对称轴为y轴；$$a>0$$开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增；$$a<0$$开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减；开口宽窄：$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。2.平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$$$y=ax^2+k$$上下平移：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点$$(0,k)$$，仅改变最值；$$y=a(x-h)^2$$左右平移：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线$$x=h$$，增减性以$$x=h$$分界。3.顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式）顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$；$$a>0$$，最小值$$y=k$$；$$a<0$$，最大值$$y=k$$；所有平移均可由$$y=ax^2$$先左右、后上下平移得到。4.一般式：$$y=ax^2+bx+c$$对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$系数符号规律：①$$a$$：定开口；②$$c$$：定与y轴交点$$(0,c)$$；③$$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。三、二次函数与一元二次方程（26.3）1.核心关系令$$y=0$$，二次函数$$y=ax^2+bx+c$$转化为方程$$ax^2+bx+c=0$$；方程的根=抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式$$\Delta=b^2-4ac$$三种对应关系$$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点；$$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）；$$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。3.方程近似解夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。四、二次函数实际应用（26.4中考必考大题）1.几何图形最大面积问题解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值；经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。2.商品最大利润问题核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量；两类模型：涨价少卖、降价多卖；关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。3.抛物线实物与运动轨迹问题解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义；静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）；动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。五、全章高频易错点汇总1.平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆；2.顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$顶点横坐标为$$-h$$；3.对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$是高频计算错误点；4.实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点；5.方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$；6.增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。六、全章解题技巧总结1.求最值优先配方或用顶点公式，无需描点；2.图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除；3.实际问题优先设变化量为x，简化列式；4.抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。实际问题
归纳
抽象
二次函数
y = ax2 + bx + c
实际问题的答案
利用二次函数的图象和性质求解
图象
目标
性质
一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫作二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠ 0
【注意】(1) 等号右边必须是整式；
(2)自变量的最高次数是 2；
(3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
1. 二次函数的概念
2. 二次函数的图象与性质：
二次函数 y = a(x h)2 + k y = ax2 + bx + c
开口 方向 对称轴
顶点坐标
最值 a＞0
a＜0
增减性 a＞0 a＜0 a＞0 时开口向上
a＜0 时开口向下
x = h
(h，k)
y最小 = k
y最大 = k
在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘
在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗
y最小=
y最大=
3. 二次函数图象的平移
y＝ax2
左、右平移，自变量左加右减
上、下平移，常数项上加下减
y＝-ax2
写成一般形式
沿 x 轴对称
4. 二次函数解析式的求法
(1) 一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 )
(2) 顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 )
(3) 交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 )
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程
ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac)
有两个公共点
有两个不同的实数根
b2 - 4ac＞0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有公共点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
6. 二次函数的应用
(1) 二次函数的应用包括以下两个方面：
① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，
解决最大化问题(即最值问题)；
② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
(2) 一般步骤：
① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；
② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；
③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义．
例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数，
那么 m 的值为 (　　)
A． 2 B．2 C．±2 D．0
B
分析：根据二次函数定义可知
m + 2≠0 且 | m | = 2，则 m = 2.
考点一 二次函数的概念、图象与性质
1. 已知函数：① y = 2x 1；② y = 2x2 1；
③ y = 3x3 2x2；④ y = 2x2 x 1；⑤ y = ax2 + bx + c.
其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【练一练】
例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( )
A．顶点坐标为 (－3，2)
B．对称轴为 y＝3
C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大
D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小
C
分析：可画出草图来判断.
x
y
O
(3，2)
x＝3
x＝3
2. 关于抛物线 y = x2 + 2x 3 的判断，下列说法正确的是 (　　)
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线 x = -1
C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的
D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2
D
【练一练】
例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)
A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≥y2 D．y1＞y2
B
分析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，
当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．
∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
O
1
x
y
3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
分析： ∵二次项系数为－1＜0，
对称轴为 ，画出草图.
∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧.
∴ b≤1.
【练一练】
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【分析】①化为顶点式：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，
② 根据平移性质：向上平移 2 个单位长度→常数项＋2
向右平移 1 个单位长度后→自变量－1
③ 写解析式：y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2.
B
4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）
A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位
B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位
C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
B
【练一练】
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = 2 或 4 时，y = 16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式．
解：∵ 当 x = 2 或 4 时，y = 16，且函数的最大值为 2.
∴ 顶点为 (1，2).
设二次函数解析式为 y = a(x 1)2 + 2，
把 ( 2， 16) 代入得 16 = 9a + 2，解得 a = 2.
∴ y = 2(x 1)2 + 2.
∴ 二次函数解析式为 y = 2x2 + 4x.
顶点式
∴ 对称轴为直线 .
5. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A ( 1，0)、
B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0， 3)．
(1) 求二次函数的解析式；
解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x 3)，
将点(0， 3)代入，得
3 = a(0 + 1)(0 3).
解得 a = 1.
∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x 3) = x2 2x 3.
交点式
x
y
O
C
A
B
【练一练】
(2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标．
解：设 Q (x，y)，
∴ y = ±4．
则 Q 的坐标为
② 当 y = -4 时，即 x2 2x 3 = 4.
解得 x3 = x4 = 1.
则 Q 点的坐标为(1， 4).
① 当 y = 4 时，
即 x2 2x 3 = 4.
x
y
O
C
A
B
则 S△QAB = AB | y | = 2| y | = 8.
考点二 二次函数与一元二次方程
例6 已知二次函数 y = x2 2mx + m2 1( m 为常数).
求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.
分析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程
x2 2mx + m2 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可.
证明：( 2m)2 4(m2 1) = 4＞0，
故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.
6. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c 2 = 0 的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．以上都不正确
B
x
y
O
3
【练一练】
例7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 )
C
方法归纳：①建立合适的平面直角坐标系，
② 抽象出函数模型，求解析式→ y＝-0.5x2
③ 解决相关问题.→ 当 y＝-10，x＝
考点三 二次函数的应用
(5，-12.5)
10
O
C
D
A
B
y
x
例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.
解得 k = -1，b = 120.
解：根据题意，得
(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：W = (x-60) (-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下，
∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.
而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87.
∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
7. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的菜园，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的菜园.
(1)请你求出张大伯矩形菜园的面积；
25 m
解：(1) 由题意得菜园的长为 25 m，
宽为(40 - 25)÷2 = 7.5 (m).
故菜园的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 )
【练一练】
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
(2) 设菜园与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，菜园的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x
= -2(x -10)2 + 200 (7.5≤x＜20).
∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时，
S 有最大值，此时 S = 200.
故张大伯的设计不合理.菜园与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为 (40 - 2x) m = 20 m.
25 m
8. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1) 求该抛物线对应的二次函数解析式；
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y = ax2 + bx，由图象的点的含义，得
故所求二次函数的解析式为 y = x2 + 14x.
解得 a = 1，b = 14.
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.
(2) y = x2 + 14x = (x 7)2 + 49.
即当 x = 7 时，利润最大，y = 49.
(3) 没有利润，即 y = x2 +14x = 0.
解得 x1 = 0 (舍去)，或 x2 = 14，
而这时利润为滑坡状态，所以第 15 个月，公司亏损.
考点1 二次函数的定义
1. 对于任意实数 ，下列函数：
； ；
； .
其中，一定为二次函数的有( )
B
A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个
2.已知二次函数，当
时， 的值为_ _.
考点2 二次函数的图象和性质
3. 在同一平面直角坐标系中，画出直线 与抛物线
，这个图形可能是( )
D
A. B. C. D.
4. [2026福州期末] 已知二次函数 ，
当时，.若 ，
是抛物线上的两点，且 ，则
的取值范围为( )
B
A. B. 或
C. 或 D.
【点拨】 当时，， ，
抛物线的开口向下，且当时， ,
， 抛物线的对称轴为直线
， 关于对称轴的
对称点为， 是抛物线
上的两点，且， 或
，解得或 .
5.[2025福建] 在平面直角坐标系中，二次函数
的图象过点, .
（1）求 的值；
【解】
二次函数的图象的对称轴为直线 ,
点, 在该函数的图象上，
. .
（2）已知二次函数的最大值为 .
①求该二次函数的解析式；
【解】由（1）可得 ，
该函数的解析式为 .
函数图象的顶点坐标为 .
函数的最大值为 ，
，且 ，
解得或 （舍去）.
该二次函数的解析式为 .
②若, 为该二次函数图象上的不同两点，且
，求证： .
【证明】 点在函数 的图象上，
.
由①知，点,关于直线 对称，
，即 .
.
即 .
考点3 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系
6. 如图，抛物线 与直线
交于， 两点，则
不等式 的解集为( )
C
A. B.
C. D. 或
7. [2025济南] 已知二次函数，，为常数， 图
象的顶点坐标是，且经过，两点， .有下列结
论：
①关于的一元二次方程 有两个不相等的
实数根；
②当时，的值随 值的增大而减小；
；
；
⑤对于任意实数，总有 .
以上结论正确的有( )
A
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【点拨】 二次函数
，，为常数， 图象的顶点坐标是
，且经过， 两点，
, 抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
，抛物线与轴的交点为和 ，图象如图所
示.令，即把直线 向下平移1个单位长度可得直
线 ，再结合函数图象可知
有两个不相等
的实数根，故关于 的一元二次方程
有两个不
相等的实数根,故①正确； 抛物线开口向
下，对称轴为直线， 当
时，的值随 值的增大而减小，故②正确；
抛物线与轴的交点为和, 二
次函数的解析式为
，
， ，
解得 ，故③正确;结合函数图象
可知，当时， ，
故④正确;
，， ，
，，即对于任意实数 ，
，故⑤正确. 综上，①②③④⑤正确.

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