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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第27章反比例函数第27章反比例函数全章综合练习题（含解析）本章练习题整合反比例函数全章核心考点，涵盖反比例函数概念、图象与性质、增减性辨析、图象对称性、实际生活与高铁运行综合应用等重难点，题型循序渐进、考点全覆盖，适配第27章章末巩固、单元检测与中考基础复习，帮助系统掌握反比例函数知识体系，熟练解决概念辨析、图象分析、实际建模各类题型。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列函数中，是反比例函数的是（）A. $$y=5x$$ B. $$y=\frac{7}{x}$$ C. $$y=5x+1$$ D. $$y=5x^2$$2.若函数$$y=(m-3)x^{m^2-10}$$是反比例函数，则m的值为（）A. 3 B. -3 C.±3 D.±√93.对于反比例函数$$y=-\frac{4}{x}$$，下列说法正确的是（）A.图象在一、三象限B. y随x的增大而增大C.图象关于原点对称D.图象与坐标轴相交4.已知点$$A(-3,y_1)$$、$$B(-1,y_2)$$、$$C(2,y_3)$$在$$y=\frac{6}{x}$$图象上，则$$y_1、y_2、y_3$$大小关系为（）A. $$y_1>y_2>y_3$$ B. $$y_3>y_1>y_2$$ C. $$y_2>y_1>y_3$$ D. $$y_3>y_2>y_1$$5.高铁路程固定，行驶速度与行驶时间的函数关系是（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数二、填空题（每题4分，共20分）6.反比例函数的一般形式为________（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是________。7.若反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(2,-3)，则k=________。8.反比例函数$$y=\frac{m-4}{x}$$图象在一、三象限，则m的取值范围是________。9.已知矩形面积为48，长为x，宽为y，则y与x的函数解析式为________。10.高铁全程300km，设行驶速度为x km/h，行驶时间为y h，则y关于x的函数解析式为________。三、解答题（共60分）11.（18分）判断下列函数是否为反比例函数，若是，写出比例系数k；若不是，说明理由。（1）$$y=\frac{-6}{x}$$（2）$$xy=9$$（3）$$y=\frac{3}{x}+2$$12.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(-4,6)。（1）求函数解析式；（2）判断图象所在象限；（3）说出函数在每一象限内的增减性；（4）判断点(3,-8)是否在函数图象上。13.（22分）A、B两城高铁全程固定，高铁以200km/h的速度行驶，2小时可走完全程。设行驶速度为x（km/h），行驶时间为y（h）。（1）求y关于x的反比例函数解析式；（2）若列车提速至250km/h，需要行驶多少小时？（3）若行驶时间不超过1.6h，求列车的最低行驶速度。四、参考答案与详细解析选择题1. B解析：反比例函数标准形式为$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$，A为正比例函数，C为一次函数，D为二次函数。2. B解析：由定义得$$m^2-10=-1$$且$$m-3≠0$$，解得$$m=-3$$。3. C解析：$$k=-4＜0$$，图象在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大，图象永不与坐标轴相交，且关于原点中心对称。4. B解析：$$k=6＞0$$，A、B在第三象限，$$y_2＜y_1＜0$$，C在第一象限$$y_3＞0$$，故$$y_3>y_1>y_2$$。5. B解析：路程定值，速度×时间=定值，符合反比例函数关系。填空题6. $$y=\frac{k}{x}$$；$$x≠0$$ 7. -6 8. $$m＞4$$9. $$y=\frac{48}{x}(x＞0)$$ 10. $$y=\frac{300}{x}(x＞0)$$解答题11.（1）是反比例函数，$$k=-6$$；（2）是反比例函数，可化为$$y=\frac{9}{x}$$，$$k=9$$；（3）不是反比例函数，解析式无法化为标准反比例函数形式。12.（1）将点代入得$$k=-24$$，解析式为$$y=-\frac{24}{x}$$；（2）$$k＜0$$，图象在第二、四象限；（3）每一象限内，y随x的增大而增大；（4）$$3×(-8)=-24=k$$，点在函数图象上。13.（1）全程路程：$$200×2=400\mathrm{km}$$，解析式为$$y=\frac{400}{x}(x＞0)$$；（2）代入$$x=250$$，得$$y=1.6\mathrm{h}$$；（3）由$$y\leq1.6$$得$$x\geq250$$，最低行驶速度为250km/h。本章核心知识总结1.概念：形如$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$的函数为反比例函数，三种等价形式：$$y=\frac{k}{x}$$、$$xy=k$$、$$y=kx^{-1}$$。2.图象性质：图象为双曲线；$$k＞0$$，一、三象限，递减；$$k＜0$$，二、四象限，递增；图象关于原点中心对称，关于$$y=x、y=-x$$轴对称，永不与坐标轴相交。3.实际应用：定值类问题（路程、面积、工作量、运输总量）均可建模为反比例函数，自变量恒为正数，利用增减性求解最值与取值范围。1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称
为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．
三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线
和 ；对称中心是 .
双曲线
原点
y = x
y=－x
(2) 反比例函数的增减性
图象 所在象限 性质
(k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
x
y
o
x
y
o
一、三
二、四
减小
增大
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一
点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围
成的矩形的面积为 .
推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂
线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的
三角形的面积为 ．
| k |
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数的解析式：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象
上一个点的坐标，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
反比例函数与一次函数的图象的交点：
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解.
利用反比例函数相关知识解决实际问题：
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一 反比例函数的概念
例 1 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，
则 k 的值是 ( )
A. 3　　　B. －3　　　C. D.
B
【针对训练】
2. 若 是反比例函数，则 a 的值为( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
A
系数不为 0，x 的次数为-1
例2 已知点 A (1，y1)，B (2，y2)，C (－3，y3) 都在反
比例函数的 图象上，则 y1，y2，y3 的大小
关系是 ( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．
考点二 反比例函数的图象和性质
D　
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较．
3. 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1＞0＞y2
【针对训练】
例 3 如图，两个反比例函数 和 在第一象
限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，
PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
则△POB 的面积为 .
1
考点三 反比例函数中 k 的几何意义的相关问题
S△POB=S△POA- S△BOA
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上 一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14，
则 k 的值为 .
-20
4
10
考点四 反比例函数的应用
例 4 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数
y = kx+b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，
一次函数的值大于反比例函数的值
O
B
A
x
y
C
D
解：当－4＜ x ＜－1时符合题意.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把 A (－4， )，B (－1，2) 代入 y = kx + b 中，得
－4k + b = ，
－k + b = 2，
解得
k = ，
b = ，
所以一次函数的解析式为 y = x + .
把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2.
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和
△PDB 面积相等，求点 P 的坐标.
O
B
A
x
y
C
D
P
∵ △PCA 和 △PDB 面积相等，
∴ AC·[t－(－4)] = BD·[ 2－( t + )]，
解得 t = . ∴ 点 P ( ， )．
解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，则点 P 到直线 AC
和 BD 的距离分别为 t－(－4)，2－( t + )．
方法总结：此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中求三角形或四边形面积时，需要选取合适的底边和高，将坐标转化为边长，从而算出图形的面积.
4.如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一
个交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
O
y
x
解：由题意知点 P 在函数 y = 2x 的图象上，
令 y = 2，得 x = 1，即点 P (1，2).
把 P (1，2) 代入 中，
解得
P
2
【针对训练】
(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y = kx +
b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △AOB 的面
积为 时，求直线 l 的解析式；
解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b，
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x1 = 1，x2 = －3.
，
y = kx+2k，
∴
∴ A (1，3k)，B (－3，－k).
∵ △AOB 的面积为
∴ ×2×3k + ×2k =
解得
∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ．
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (－3，－k)
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的值
小于反比例函数的值？
解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比例函数的值.
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (－3，－k)
例 5 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
设
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以 ，
即
解得 k = 8.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，
则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得 x≥1，∴1≤x≤2；
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥2，解得 x ≤4. ∴ 2＜ x ≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时间
是1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
5. 如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系. 已知该材料在加热前的温度为 4 ℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热，
停止加热后，材料温度逐渐下降，
这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系，
已知第 12 分钟时，材料温度是14 ℃．
【针对训练】
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
(1) 写出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数
关系式（要求写出相应的 x 的取值范围）；
解：
y =
4x + 4 (0≤x≤6)，
(x＞6).
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
解：当 y =12 时，12 = 4x + 4，解得 x = 2．
由 ，解得 x =14.
所以对该材料进行特殊处理
所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
考点1 反比例函数的概念
1.某工程队计划修建铁路，下表给出了铺轨的天数 （天）与
每日铺轨量 之间的关系：
天 120 150 200 240 300
10 8 6 5 4
根据表格信息，判断出是 的函数，则这个函数的解析式是
_ ________.
2.已知是反比例函数，则 的值为____.
考点2 反比例函数的图象和性质
3. 已知反比例函数 .下列选项正确的是( )
C
A. 函数图象在第一、第三象限
B. 随 的增大而减小
C. 函数图象在第二、第四象限
D. 随 的增大而增大
4.已知反比例函数的图象上两点, ，
当时，有，则 的取值范围是_______．
考点3 反比例函数中 的几何意义
（第5题）
5. 如图，过轴正半轴上的任意一点作 轴的
平行线，分别与反比例函数 和
的图象交于，两点.若是 轴上
的一点，则 的面积为( )
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（第5题）
【点拨】连接， 直线 轴，
,直线轴. .故选B.
6.如图，点，是双曲线上的点，分别过, 两
点向轴、轴作垂线段，若，则 ___.
4
（第6题）
考点4 反比例函数与一次函数的综合
7. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数
的图象交于， 两点，那么
的值为___.
0
8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象
与一次函数的图象相交于, 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
【解】
反比例函数的图象过点 ，
.
反比例函数的解析式为 .
把点的坐标代入反比例函数，得 ，解
得 .
点的坐标为 .
一次函数的图象经过，
两点，
解得
一次函数的解析式为 .
（2）当 时，请根据函数图象，直
接写出关于的不等式
的解集；
不等式 的解集为
.
（3）过直线上的点作 轴，交
反比例函数的图象于点.若点 的横坐标
为，求 的面积.
将代入 ，
得， .
将代入，得 ，
解得， .
如图，过点,分别作 轴的垂线，垂足分别
为,， 易知四边形 是梯形，
,，
，
,
.
求坐标系中斜放置的三角形面积时，若三角形的边
与轴、 轴都不平行，且不易求出边长和高时，可将三角形
沿坐标轴或与坐标轴平行的直线分割或补形.
考点5 反比例函数的应用
9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变
的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比
例函数，且当时， .当气球内的气体压
强大于 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球
的体积应不小于____ .
0.6
10. 小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检
测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间.甲醛
检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻 的阻
值与空气中甲醛浓度 之间的变化关系如下表：
0.2 0.4 0.6 0.8 …
100 50 25 …
（1）根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之
间的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围）
【解】根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间
的函数关系为反比例函数，
设电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间的函数解析式为
，
当时，，， ，
电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间的函数解析式为
.
（2）查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于 时，
该环境不会对人体造成伤害.若小禾爸爸检测后确定新家安全，
可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻 的阻值在什么
范围内？
当空气中甲醛浓度低于 时，该环境不会对人体
造成伤害，
， .
该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值 .
思想1 方程思想
11. 定义：一次函数 的特征数为
.若一次函数 的图象向上平移3个单位长度后
与反比例函数的图象交于点，，且点， 关于原点
对称，则一次函数 的特征数是( )
C
A. B. C. D.
思想2 分类讨论思想
12. 如图，在平面直角坐标系中，点
，分别在反比例函数 和
的图象上， 轴
于点，轴于点，是线段 的
中点，， .
（1）求反比例函数 的解析式.
【解】
， 点 的纵坐标为3.
又 点在反比例函数 的
图象上，
. .
是线段的中点， 易得 .
， .
又 点 在反比例函数
的图象上，
.
（2）连接，，，求
的面积.
.
（3）是线段上的一个动点， 是线
段 上的一个动点，试探究是否存在点
，使得 是等腰直角三角形？若存
在，直接写出符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
存在，点的坐标为或，或， .
【点拨】设直线 的解析式为
， 点 ，
.
设.①当 ，
时，点与点 重合，此时
；②当 ，
时， ，解得
. 易得 ；③当
， 时，易得
，解得， 易得
.综上所述，点 的坐标为
或或 .
反比例函数
定义
图象和性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用

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