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人教版数学九年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.综合与实践：高铁列车运行中的数量关系第27章反比例函数27.3第2课时实际问题中的反比例函数(2)练习题（含解析）本次练习题适配人教版九年级上册27.3第2课时教学内容，在上一课时基础上提升难度，聚焦反比例函数在物理、经济、几何综合等复杂实际场景中的应用，重点考查函数建模、取值范围精准判定、利用函数增减性解决最值与方案问题、结合图象分析实际问题等重难点，题型经典贴合课本，适配课后巩固与能力提升，帮助熟练掌握反比例函数的综合实际应用。一、选择题（每题4分，共20分）1.当压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，公式为$$P=\frac{F}{S}(F>0)$$，下列说法正确的是（）A. S越大，P越大B. S越大，P越小C. P、S可为任意实数D.图象分布在二、四象限2.某商店购进一批商品，总进价固定，商品单价$$x$$与购进数量$$y$$成反比例，若单价上调，则购进数量会（）A.增加B.减少C.不变D.无法确定3.已知密闭容器内气体质量一定，气体密度$$\rho$$与体积$$V$$满足$$\rho=\frac{k}{V}(k>0)$$，当体积$$V$$增大时，密度$$\rho$$将（）A.增大B.减小C.先增后减D.先减后增4.等腰三角形的面积为18定值，底边长为$$x$$，底边上的高为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数图象为（）A.第一象限双曲线B.第三象限双曲线C.一、三象限双曲线D.线段5.下列关于实际问题中反比例函数的说法，错误的是（）A.自变量取值一般为正数B.函数图象仅保留第一象限部分C.定值k越大，函数变化幅度越小D.可利用增减性求解实际最值二、填空题（每题4分，共20分）6.一定质量的氧气，体积$$V(\mathrm{m^3})$$与密度$$\rho(\mathrm{kg/m^3})$$成反比例，若$$V=2\mathrm{m^3}$$时，$$\rho=1.5\mathrm{kg/m^3}$$，则函数解析式为________。7.总资金固定为600元，购买文具的单价为$$x$$元，购买数量为$$y$$件，则$$y$$关于$$x$$的函数解析式为________。8.三角形面积为定值24，底边长$$x\geq3$$，则底边上的高$$y$$的取值范围是________。9.已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$描述实际工程问题，当工作效率$$x=5$$时，工作时间$$y=8$$，则工程总量$$k=$$________。10.若实际反比例函数$$y=\frac{48}{x}$$，当$$4\leq x\leq8$$时，$$y$$的最大值为________。三、解答题（共60分）11.（20分）一定质量的气体，温度不变时，气压$$p$$（kPa）与气体体积$$V$$（$$\mathrm{m^3}$$）成反比例函数关系。当$$V=0.8\mathrm{m^3}$$时，$$p=120\mathrm{kPa}$$。（1）求$$p$$与$$V$$的函数解析式；（2）当气体体积为$$1.2\mathrm{m^3}$$时，求气压大小；（3）若气压不超过160kPa，求气体体积的最小值。12.（20分）某工厂承接一批零件加工订单，零件总数固定。若每天加工$$x$$个零件，需要$$y$$天完成。已知每天加工40个时，30天可以完成。（1）求$$y$$与$$x$$的反比例函数解析式；（2）若厂家要求20天内完成订单，每天至少加工多少个零件？（3）若每天最多加工60个零件，完成订单至少需要多少天？13.（20分）已知梯形的面积为定值40，梯形的上底固定为4，下底为$$x(x>4)$$，高为$$y$$。（1）求$$y$$关于$$x$$的函数解析式；（2）当下底$$x=6$$时，求梯形的高；（3）若高$$y\geq4$$，求下底$$x$$的取值范围。四、参考答案与详细解析选择题1. B解析：$$F>0$$，反比例函数在第一象限单调递减，受力面积S越大，压强P越小。2. B解析：总进价固定，k值为正，单价x增大，对应购买数量y减小。3. B解析：$$k>0$$，第一象限内反比例函数单调递减，体积增大，密度减小。4. A解析：由三角形面积公式得$$xy=36$$，x、y为边长均为正数，图象为第一象限双曲线分支。5. C解析：k值大小与函数变化幅度无必然关联，其余选项均为实际反比例函数的正确特征。填空题6. $$\rho=\frac{3}{V}(V>0)$$ 7. $$y=\frac{600}{x}(x>0)$$ 8.$$0<y\leq16$$9. 40 10. 12解答题11.（1）设$$p=\frac{k}{V}$$，代入数据得$$k=96$$，解析式为$$p=\frac{96}{V}(V>0)$$；（2）将$$V=1.2$$代入，得$$p=80\mathrm{kPa}$$；（3）$$p\leq160$$，解得$$V\geq0.6$$，气体体积最小值为$$0.6\mathrm{m^3}$$。12.（1）代入$$x=40，y=30$$得$$k=1200$$，解析式为$$y=\frac{1200}{x}(x>0)$$；（2）$$y\leq20$$，解得$$x\geq60$$，每天至少加工60个；（3）$$x\leq60$$，解得$$y\geq20$$，至少需要20天。13.（1）由梯形面积公式$$S=\frac{(上底+下底)\times高}{2}$$，代入得$$40=\frac{(4+x)y}{2}$$，整理得$$y=\frac{80}{x+4}(x>4)$$；（2）$$x=6$$时，$$y=8$$；（3）$$y\geq4$$，解得$$x\leq16$$，结合题意得$$4<x\leq16$$。核心知识点总结：1.复杂实际场景需结合对应公式（面积、压强、物理密度等）推导反比例关系，精准确定定值；2.实际问题中自变量、函数值均为正数，需结合题意细化取值范围；3.利用第一象限反比例函数递减特性，可高效求解实际问题中的最大值、最小值与参数范围；4.几何、物理综合场景中，需先梳理变量关系，再建立函数模型求解。1. 科学、全面分析已有信息，通过假设、推理和运算，进行估计和判断，获得新的信息.(重点)
2. 对照估计获得的信息与真实信息，反思解决问题过程中的收获与不足.
3. 根据实际信息，推断高铁列车的实际运行状态。
4. 认识路程随时间均匀变化(一次函数)，速度随时间均匀变化(一次函数)，以及路程随时间非均匀变化 (二次函数) 的数学模型. (难点)
坐风驰电掣的高铁列车，看行稳致远的美丽中国.
我国高速铁路从无到有，由少到多，无论是建设，还是运营，都实现了跨越式发展，现在，我国是全球高铁建设速度最快、运营里程最多的国家.
探究点：选择合适的函数模型解决实际问题
任务1 图1是 2023 年 1 月“北京南—上海虹桥”的G19 次“复兴号”高铁列车的时刻表，你能由此表得到哪些信息？你能根据所得信息发现并提出哪些问题？
活动一 根据高铁列车时刻表，获得信息、提出问题
任务2 根据从高铁列车时刻表中得到的信息，你能否解决自己提出的问题？如果不能，还需要获得哪些信息？
2023 年 1 月 1 日，某乘客乘 G19 次“复兴号”京沪高铁列车，由北京南到上海虹桥.
由时刻表知道，该列车行驶全程用时约 4.5 h，
经停济南西、南京南两站，在两站均停留 2 min.
从北京南到济南西行驶用时约 1.5 h，
从济南西到南京南行驶用时 2 h，
从南京南到上海虹桥行驶用时约 1 h，
北京南
济南西
南京南
上海虹桥
该乘客通过列车屏幕上的信息发现，
列车大概在出站 15 min 后加速到最大值 350 km/h，
在入站前 15 min由 350 km/h 减速直至 0 km/h，
在中间时间段近似地以 350 km/h 的速度匀速行驶.
15 min
15 min
0→350
350→0
← 350 →
(1) 假设列车在这三段路线的起始 10 min、最后 10 min 分别做匀变速运动，中间阶段以 350 km/h 做匀速运动，你能计算“北京南至济南西”的路程吗？“济南西至南京南”呢？“南京南至上海虹桥”呢
分析：高铁 3 阶段运行：
阶段1 (匀加速)：出站 15 min，速度从 0→350 km/h，平均速度 175 km/h；
阶段2 (匀速)：途中保持 350 km/h；
阶段3 (匀减速)：进站 15 min，速度从 350→0 km/h，平均速度 175 km/h.
1.北京南至济南西:
①站间总用时：1.5 h (90 min)；
②拆分运行时间：匀变速时间＝15＋15＝30(min)＝0.5h，匀速时间＝90－30＝60(min)＝1h；
③计算两段路程：匀变速路程＝175×0.5＝87.5(km)，
匀速路程＝350×1＝350 (km)；
④总路程＝87.5＋350＝437.5 (km).
15 min
15 min
0→350
350→0
← 350 →
2.济南西→南京南用时 2 h (120 min)，计算：
匀变速时间 0.5 h，匀速时间 1.5 h，
路程＝175×0.5＋350×1.5＝612.5 (km)；
3.南京南→上海虹桥用时 1 h (60 min)，计算：
匀变速时间 0.5 h，匀速时间 0.5 h，
路程＝175×0.5＋350×0.5＝262.5 (km).
(2) 列车在上述三段路线中的平均速度一样吗？不计算能判断吗？依据是什么
不一样.
依据：三段的总时间不同，且匀速行驶的时间占比不同(匀速阶段速度 350 km/h，远高于匀变速阶段的平均速度 175 km/h).
匀速时间占比越高，整段的平均速度越接近 350 km/h，因此三段平均速度不同.
(3) 京沪高铁全长大概是多少？列车的全程平均速度大概是多少？全程的平均速度等于每段平均速度的平均值吗？
全程路程＝437.5＋612.5＋262.5＝1312.5 km，
全程用时 4.5 h，平均速度＝1312.5÷4.5＝291.7 km/h；
①北京南→济南西：437.5÷1.5≈291.7 (km/h)；
②济南西→南京南：612.5÷2＝306.25 (km/h)；
③南京南→上海虹桥：262.5÷1＝262.5 (km/h)；
(291.7＋306.25＋262.5)÷3≈286.82
不等于三段平均速度的的平均值，因为各段用时不同.
(4) 画出列车运行全程中速度随时间变化的图象.
1
2
3
4
5
t/h
100
200
300
350
v/km/h
0.5
1.5
3.5
4.5
2.5
(5) 画出列车运行路程随时间变化的图象，根据图象，你还能提出并解决哪些问题？
分析：高铁 3 阶段运行速度：
阶段1 (匀加速)：出站 15 min，一次函数；
阶段2 (匀速)：途中保持 350 km/h；
阶段3 (匀减速)：进站 15 min，一次函数.
则高铁 3 阶段运行路程：
阶段1 (匀加速)：出站 15 min，开口向上的二次函数；
阶段2 (匀速)：途中 一次函数；
阶段3 (匀减速)：进站 15 min，开口向下的二次函数.
1
2
3
4
5
t/h
0.5
1.5
3.5
4.5
2.5
v/km/h
1000
500
250
750
全程路程＝437.5＋612.5＋262.5＝1312.5 km
1500
1250
实践主题 高铁列车运行中的数量关系
活动目标 1.科学、全面分析已有信息，通过假设、推理和
运算，进行估计和判断，获得新的信息.
2.对照估计获得的信息与真实信息,反思解决问题
过程中的收获与不足.
活动目标 3.根据实际信息，推断高铁列车的实际运行状态.
4.认识路程随时间均匀变化（一次函数）,速度随
时间均匀变化（一次函数）,以及路程随时间非
均匀变化（二次函数）的数学模型.
5.全面认识“ ”型的数量关系.
活动过程 1.组建合作团队;2.方案构思；3.方案实施；4.展
示交流.
续表
活动准备 可获取的信息:
全程基本信息： 次“复兴号”高铁列车从北京
南发车时间为 ，到达上海虹桥时间为
，全程用时 ；北京南为起点站，
上海虹桥为终点站.
续表
活动准备 经停站点信息：途中经停济南西、南京南两站；
济南西到站时间为，用时 ，停留
，发车时间为17:24；南京南到站时间为
，用时，停留 ，发车时间为
，上海虹桥到站时间为 ，用时
.
续表
活动任务
（1）各段路程估计:
①列车在每段路线的出站 和入站前
做匀变速运动，中间时间段近似地以
匀速行驶，且每段行驶总时长已知，可通过“匀变
速阶段路程 匀速阶段路程”估算各段路程.
②估计匀变速运动的平均速度： .
③路程估计.
路段 用时 路程
北京南至济 南西 ____________________ ____________________ _______________ __________________
__________________
_______________
济南西至南 京南 ____________________ ____________________ _______________ __________________
__________________
_________________
总用时，匀变速阶
段时长，匀速阶段
时长
总用时，匀变速阶段
时长，匀速阶段时
长
路段 用时 路程
南京南至上 海虹桥 ____________________ ____________________ _______________ __________________
__________________
_________________
总用时，匀变速阶段
时长，匀速阶段时
长
续表
（2）三段路线平均速度判断：
三段路线的平均速度不一样，无需计算即可判断，依据是“平
均速度总路程 总时间”，且每段路线中“匀速行驶时长占
总时长的比例不同”.匀速阶段速度固定为
（最高速），匀速占比越高，整体平均速度越接近 ，
因此三段平均速度必然不同.
（3）京沪高铁全长与全程平均速度:
①全长估算：将三段路程相加，总长度约为
.
②全程平均速度：全程总用时约（含两段各 停留，
因仅 ，对结果影响极小，可忽略），全程平均速
度约为 .
③平均速度关系：全程平均速度不等于每段平均速度的平均
值.因为每段的行驶时长不同，计算全程平均速度时需以“每
段路程”为权重，而非简单对三段平均速度取算术平均值.
（4）请画出全程速度随时间变化图象.
【解】全程速度随时间变化图象如图.
建立反比例函数模型解决实际问题
收集数据
→画散点图、分析规律
→选函数模型
→求参数，确定解析式
→验证＋应用

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