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第26章 二次函数
26.1.1 二次函数
【学习目标】
1.学生能够理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深学生对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学生学好数学的信心。
学习重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
学习难点：能根据实际问题列二次函数关系式.
【复习导入】
1. 什么是函数
2. 什么是一次函数？正比例函数？
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
【合作探究】
探究点1： 二次函数的概念
探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m ) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？
问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点
y = - x2 + 20x y = 20x2 + 40x + 20
要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)
①y=(x+3) －x ； ②y=3－2x ； ③y=x2+3x；
④ ； ⑤y=x +x +25 ； ⑥y=ax2+bx+c；
温馨提示：
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式
(2) a，b，c 为常数，且a≠0；
(3)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
(4)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
链接中考
1. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1
归纳总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)之外，还有一些特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.
例2 若函数是二次函数，求m的值.
归纳：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m = -1的错误答案，需要引起同学们的重视.
链接中考
2. 已知 y = (m －m)x + mx－2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
例3 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式.
(2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式.
练一练
1. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：m2 )与x(单位：m)的函数关系式.
注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
2. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.
当堂反馈
1.下列函数是二次函数的是(　　)
A.y＝5x B.y＝－2x＋1 C.y＝x2＋2 D.y＝－2
2.正方形的边长为3，如果边长增加x，面积增加y，那么y与x之间的函数解析式为(　　)
A.y＝3x B.y＝(3＋x)2 C.y＝9＋6x D.y＝x2＋6x
3.[高频易错]若关于x的函数y＝(m＋1)x｜m｜＋1＋4x－5是二次函数，则m＝　　.
4.分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)d＝n2－n；(2)y＝1－x2.
5.某省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计该省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到y万，设这两年该省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为x，写出y与x之间的函数关系式(化成一般式).
6.某公园门票是每张80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，若门票每降低1元出售，则每天进园人数就增加6人.试写出当x≤80时，该公园每天的门票收入y(元)关于门票价格x(元)的函数关系式.y是关于x的二次函数吗？
参考答案
【复习导入】
1. 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2. 一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫作一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫作正比例函数.
3. ax2+bx+c=0 (a≠0)
【合作探究】
典例精析
例1 解：①不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数. ②③是二次函数； ④不是，等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不一定是，缺少a，b，c是常数，且a≠0的条件.
链接中考 1. A
例2 解：由题意得∴m=3.
链接中考 2. 解：(1) 由题意得
∴ m = 1.
(2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 － m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
例3 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，
所以 S = 2πr + 2πr·r，即 S = 4πr
(2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8.
练一练
1. 解：∵AB边长为x米，∴AD边长为 米.∴y＝(0＜x＜30).
2. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).
当堂反馈
1.C　 2.　D　 3.1　.
4.(1)解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，－，0.
(2)解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1，0，1.
5.解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180.
6.解：由题意知当门票价格为x元时，每张门票降价(80－x)元，
那么每天进园人数就增加6(80－x)人，
则每天进园人数为200＋6(80－x)＝(680－6x)(人).
∴y＝x(680－6x)＝－6x2＋680x.显然，y是关于x的二次函数.

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