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第26章 二次函数
26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数y = ax + k的图象.
2.理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3. 理解y = ax 与y = ax + k 之间的联系.
学习重点：画二次函数y = ax 和y = ax + k 的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质.
学习难点：对二次函数y = ax + k 的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律.
【复习导入】
在研究了y = ax 的图象和性质之后，我们进一步探讨当 b，c 不全为 0 时，二次函数 y = ax + bx + c 的图象和性质. 如何研究呢？能否将 y = ax + bx + c 转化为类似 y = ax 的简单形式
思考：回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二程ax + bx + c = 0 的？由此，你得到了什么启发？
【合作探究】
探究点1：二次函数y = ax + k (a≠0)的图象和性质
探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
(2) 抛物线 与抛物线有什么关系？
用“描点法”法作图：
x … -4 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
描点、连线，画出这两个函数的图象.
根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________；
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________；
(6) 函数的增减性的共性：
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？
探究
(1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
(2) 抛物线 与抛物线 有什么关系？
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是____________________；
(2)三条抛物线的开口方向____________________；
(3)对称轴都是____________________ ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_____、______；
(6)函数的增减性共性：_______________________________________________________.
想一想：通过上述例子，函数 y = ax + k (a＜0) 的性质是什么？
归纳总结
y = ax2 a＞0 a＜0
开口方向
对称性
顶点
最值
增减性
典例精析
例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　）
A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4）
例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　）
A．开口方向相同 B．顶点相同
C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
探究点2：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移
探究：观察上述图象，说说它们之间的区别与联系.
从数的角度探究：
解析式：
点的坐标：
函数对应值表：
从形的角度探究
可以发现，把抛物线y =x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y =x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线
.
知识要点：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象的关系
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到.
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
链接中考
1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 .
想一想
2.抛物线y=ax2+k (a≠0)中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
当堂反馈
1.抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是(　　)
A.(2，1) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，2)
2.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，则平移后的二次函数解析式为(　　)
A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1 C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2
3.关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是( 　)
A.它的图象的开口方向是向下
B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的图象的顶点坐标是(2，3)
D.当x＝0时，y有最大值是3
4.已知y＝(m－1)＋6是二次函数.
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？
5.[作图通关]已知函数y＝－ax＋b的图象如图所示，请在同一坐标系中画出函数y＝ax2－b的一种可能的图象.
参考答案
【合作探究】
探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质
典例精析
例1 B
探究：
探究：(1) 抛物线 (2) 向上 (3) y 轴
(4) (0，2)，(0， 2) (5) 低 小 2 2
(6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，
对称轴右侧 y 随 x 增大而增大
探究：（1）抛物线 （2）向下 （3）y轴（或直线x=0） (4)(0,2),（0，-2）
(5)高 大 y=2 y=-2
(6)对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小
要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质：
①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；
②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.
例1 B
例2 C
探究点2：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移
链接中考 1. y = -2x2 + 1
想一想2. a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标；
对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k).
当堂反馈
1.　B　 2.　A　 3. B
4.解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2，
解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1.
(2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0.∴m＞1.
∴当m＝2时，该函数图象的开口向上.
5.解：如图所示.

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