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第26章 二次函数
26.2.2 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
【学习目标】
学习目标：1.会用描点法画出y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
重点：掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题.
难点：理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
【复习导入】
1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.
(1)y=ax2； (2)y=ax2+k； (3)y=a(x－h)2.
【合作探究】
探究点1：二次函数 y=a(x－h)2+k 的图象与性质
典例精析
例1 画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
试一试 画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质
y=a(x－h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称性
顶点
最值
增减性
练一练
1. 对于二次函数y＝-2(x+1)2-4，下列说法正确的是( )
A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1
C．图象的顶点坐标为(1，4) D．当x＜-1时，y随x的增大而增大
例2 已知抛物线y＝a(x-3)2+2经过点(1，-2)．
（1）指出抛物线的对称轴；
（2）求a的值；
（3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系
例3 怎样移动抛物线才可以得到抛物线？
知识要点：二次函数y=ax2与y=a(x±h)2±k的关系
上下平移，常数项上加下减，其他不变；左右平移，自变量左加右减，其他不变.二次项系数a不变.
链接中考
1.将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝5(x+2)2+3 B．y＝5(x-4)2﹣1 C．y＝5(x-4)2+3 D．y＝5(x-3)2+4
想一想
问题：一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
试着画出二次函数 y = a(x－h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
例4 已知二次函数y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋k的大致图象是(　　)
归纳总结：
说一说，对于二次函数 y=a(x－h)2+k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少
当堂反馈
1.二次函数y＝－(x－2)2－3的图象的顶点坐标是(　　)
A.(2，3) B.(2，－3) C.(－2，3) D.(－2，－3)
2.二次函数y＝a(x＋m)2＋k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是(　　)
A.m＜0，k＜0 B.m＜0，k＞0
C.m＞0，k＜0 D.m＞0，k＞0
3.已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上两点，则y1　　y2(填“＞”“＜”或“＝”).
4.已知抛物线y＝－x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.
(1)试求a，h，k的值；
(2)对于y＝a(x－h)2＋k，当x取任意实数时，求y的取值范围.
参考答案
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
典例精析
例1 列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=(x+1)2-1 -3 -1 -3
描点、连线如图①所示，
开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).
图① 图②
试一试
解：函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).
练一练1. D
例3 解：（1）由y＝a(x-3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3.
∵抛物线y＝a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2＝a（1-3）2+2，∴a＝-1.
（3）∵y＝-(x-3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，∴y1＜y2．
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
例3 解：方法一：抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位；
方法二：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位；
链接中考1. A
例4 A
归纳总结：
结论：① a 决定开口方向.
② (h，k) 决定顶点坐标.h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；
h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h (对称轴) 决定函数的增减性.
例5 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
点 (1.6，3) 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
y = a(x - 1.6)2 + 3 (0≤x≤3.6).
由这段抛物线经过点 (3.6，0)，
0 = a(3.6 - 1.6)2 + 3.
解得 因此
当 x = 0 时，y = 1.08.
也就是说，水管长应为 1.08 m.
当堂反馈
1.B　
2.A　
3.　＞
4.解：(1)易得平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋2，
∴a＝－，h＝1，k＝2.
(2)由(1)知，平移后的抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋2，
则抛物线的开口方向向下，顶点坐标是(1，2)，
∴当x取任意实数时，y≤2.

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