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第26章 二次函数
26.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
学习重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
学习难点：会用待定系数法求二次函数的解析式.
【复习导入】
二次函数与一元二次方程有什么关系呢？
【合作探究】
探究点：二次函数与一元二次方程
如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
(1) y = x + x－2；(2) y = x －8x + 16；(3) y = x －x + 1.
由此，你能说说方程x + x－2 = 0，x －8x + 16 = 0，x －x + 1 = 0 的根的情况吗？
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？
思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！
归纳总结：
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac
有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0
有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac=0
没有公共点 没有实数根 b2－4ac＜0
典例精析
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
链接中考
1. 若二次函数 y = ax2－2x－1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为_______________.
典例精析
例2 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的关系近似为 h=20t－5t2.小球的飞行高度能否达到 20 m 如果能，需要多长时间？
关于例1，回答下列问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
(3) 小球从飞出到落地要用多少时间？
练一练
2. 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m．
（1）足球的飞行时间是多少？
（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
当堂反馈
1.已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2026的值为(　　)
A.2024 B.2026 C.2027 D.2029
2.抛物线y＝x2－2x－3与x轴的公共点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　　)
A.2a＋b＝0
B.b2－4ac＞0
C.方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝－1
D.a＋b＋c＝0
4.下表列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据，判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根在哪两个相邻的整数之间(　　)
x －2 －1 0 1 2
y 1 2 1 －2 －7
A.1与2之间 B.－2与－1之间 C.－1与0之间 D.0与1之间
5.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
参考答案
思考 解：（1）y=x2+x－2的图象与x轴有2个交点，交点的横坐标分别为-2，1，则相应的一元二次方程为x2+x－2=0，其根为x1=-2，x2=1.
(2)y=x -8x+16的图象与x轴有1个交点，交点的横坐标为4，则相应的一元二次方程为x -8x+16=0，其根为x1=x2=4.
(3) y=x2－x+1的图象与x轴无交点，则相应的一元二次方程为x2－x+1=0，无解.
例1 (1)证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0(m ≠ 0)∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0一定有两个根.
∴抛物线y=mx2－(m＋2)x＋2=0与 x 轴总有公共点.
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1.
链接中考1. a≥－1 且 a≠0
例1 解： 当 h = 20 时，由函数关系 h = 20t - 5t2，
列得方程 20 = 20t－5t2，即t2-4t+4=0，解方程，得t1=t2=2.
这说明，当自变量 t = 2 时，二次函数h =20t－5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
问题：
（1）令15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
（2）令20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.
(3)令0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4.当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即小球从飞出到落地要用4 s时间.
练一练2.
当堂反馈
1.　C
2.　C　
3.D　
4.D　
5.(1)证明：Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)解：∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象的顶点坐标为(m，3).
∴该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到的图象与x轴只有一个公共点(m，0).

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