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第26章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
【学习目标】
学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
【复习导入】
将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？
【合作探究】
探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值
例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = －4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位)
追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？
追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？
追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？
追问5 如何求出小球的最大高度？
函数 h = －4.9t2 + 2.8t + 11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？
想一想
思考1 二次函数的最值由什么决定？
思考2 当自变量x为全体实数时，二次函数的最值是多少？
思考3 当自变量x限定范围时，二次函数的最值如何确定？
典例精析
例1 求下列函数的最大值与最小值.
(1) (2)
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
变式题
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值.
链接中考
1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
当堂反馈
1.用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形的面积最大为　　.
2.已知一个直角三角形两直角边的和为30，则这个直角三角形面积的最大值为　　.
3.如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞行的最大高度为　　.
4.如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积.
书写通关
解：设　 　.
根据题意得　 　.
当x＝　　时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为　 　.
答：　 　.
5.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
例1
追问1：运动员的重心相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 之间的关系
追问2：画出二次函数图象.
追问3：顶点.
追问4：顶点的纵坐标.
追问5
解：对于二次函数 h = －4.9t2 + 2.8t + 11，当
时，h 有最大值
因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m.
想一想
思考1 二次函数的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
思考2 当a＞0时，y最小值=，此时x=.当a＜0时，y最大值=，此时x=.
思考3 先判断x=是否在限定范围内，若在，则二次函数在x=时，取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
典例精析
例1 解：（1）y=,即y=∵，
所以当x=时，y最小值=当x=1时，y最大值=1+3-2=2.
（2）y=∵，即x在对称轴的右侧.函数的值随着x的增大而减小.所以当x=-3时，y最大值=当x=1时，y最小值=
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
典例精析
例2
解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20 2x) m，
矩形菜园的面积 S = x(20 2x)，即 S = 2x2 + 20x (0＜x＜10).
当 时，S 有最大值
因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m .
变式：解：设垂直于墙的边长为x m，由（1）知S＝－2x2＋60x=-2(x2－30x)=-2(x－15)2+450，
∵x＞0，60 2x＞0，60 2x≤18，∴ 21≤ x＜30.
∵ 15＜21，
当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小，当 x =21时，S取得最大值，
此时S=-2×(21－15)2+450=378（m2）.
链接中考 1.
当堂反馈
1.　144m2. 2.112.5　. 3.　20m　.
4.
解：设　AB＝xm　.
根据题意得　S矩形ABCD＝AB·AD＝x·＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4　.
当x＝　2　时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为　4m2　.
答：　矩形框架ABCD的最大面积为4m2　.
5.解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，BE＝AH＝4－x，∠A＝∠D＝90°，
EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°.
∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH是正方形.
∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16(0＜x＜4).
(2)存在.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0，
∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存在最小值，
最小值为8.

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