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第26章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
第 2 课时 商品利润最大问题
【学习目标】
学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
【复习导入】
1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：
2. 销售问题中有关利润的公式：
【合作探究】
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少
◆涨价销售
①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售
涨价销售
②自变量x的取值范围如何确定？
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
◆降价销售
设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售
降价销售
练一练
1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.
知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示：
(1) 求 y 与 x 的函数解析式；
(2) 求这一天销售西瓜获得的利润W 的最大值.
当堂反馈
1.某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是(　　)
A.1558元 B.1550元 C.1508元 D.20元
2.某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为　　，w的最大值为　　.
3.[教材变式]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？
书写通关
解：设　 　，
根据题意得　 　，
x的取值范围为　 　，
∴当x＝　　 时，利润取得最大值.
答：　 　.
4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润.
5.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y＝－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元.
(1)销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？
(2)[典型易错]要使销售该商品每天获得的利润w(元)最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
　　　
参考答案
探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
问题 18000 6000
典例精析
例1 ◆涨价销售
①填表如下：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售 20 300 6000
涨价销售 （20+x） (300-10x) （20+x）(300-10x)
所得利润 y=(20+x)(300-10x)，即 y = -10x2+100x+6000.
②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③y=-10x2+100x+6000.当x=时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，最大利润是6250元.
◆降价销售
填表如下：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售 20 300 6000
降价销售 （20-x） (300+20x) (20-x)(300+20x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③ 即y=-20x2+100x+6000.当x=时，
即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
练一练：
当堂反馈
1.　A
2.　w＝－5x2＋800x－27500　，　4500　.
3.
解：设　利润为w元　，
根据题意得　w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25　，
x的取值范围为　20≤x≤30　，
∴当x＝　25　时，利润取得最大值.
答：　若要使利润最大，则每件的售价应为25元　.
4.解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆，
则乙地销售了(15－a)辆，则y1＝－a2＋10a，y2＝2(15－a).
由题意得w＝－a2＋10a＋2(15－a)＝－(a－4)2＋46，
∴当a＝4时，w最大＝46.∴能获得的最大利润为46万元.
5.解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800，
整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70.
∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元，∴30≤x≤50.∴x＝40.
答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润.
(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250.
∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200.
答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，最大利润为1200元.

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