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第二十七章 反比例函数
27.3 应用探究　建立反比例函数模型解决实际问题
【学习目标】
1.理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤.
2.通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力.
3.体会数学模型在实际问题中的“近似性”，感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维.
学习重点：用反比例函数拟合实际数据的方法，建立函数模型的一般步骤.
学习难点：理解“近似函数模型”与“精确函数”的区别.
【合作探究】
探究点：建立反比例函数模型解决实际问题
[合作探究]
某物理实验小组研案气体的压强 p (单位：kPa)与体积 V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据.
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
气体的压强力 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位).
思考1：随着体积 V 的变化，压强 p 有什么变化规律？
思考2：这种“反向变化”，就一定是反比例函数关系吗？我们之前学过的一次函数
y = -x + 5，也是 x 增大、 y 减小，它是反比例函数吗？
(1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图.
思考3：观察这个散点图，这些点的分布趋势，和我们学过的哪种函数的图象相似？
追问：由此，我们可以做出什么猜想？
(2) 建立模型. 设函数解析式为p＝.
根据表中的数据，分别求出 k 的值，列出表.
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
k
思考4：如果只用一组数据来计算 k，能准确描述所有实验数据吗？
归纳总结：建立函数模型的一般步骤：
（1）收集数据：获取实际问题中的变量对应数据；
（2）分析数据：画散点图，观察数据的变化规律；
（3）选择模型：根据散点图特征，选择合适的函数模型；
（4）确定解析式：用数据求函数参数（如求k的平均值），得到近似/精确解析式；
（5）验证与应用：用模型解释或解决实际问题.
当堂反馈
【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图①）.
如图①，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形ABOC.为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得到部分数据如下：
AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 …
AB＋AC … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 …
【思维呈现】
（1）矩形ABOC的面积为　　；
（2）根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，AB＋AC的和为纵坐标，在图②的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点（AB，AB＋AC），并用平滑的曲线连接；
（3）根据以上信息，判断AB＋AC存在最　　值（填“大”或“小”），此时矩形ABOC的周长C1约为　　（结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
（4）若一个面积为6的圆的周长记为C2，则C1　　C2（填“＞”“＜”或“＝”）.
参考答案
【合作探究】
探究点：建立反比例函数模型解决实际问题
[合作探究]
思考1：V 减小，p 增大；V 增大，p ，减小呈反向变化
思考2：反向变化不等于反比例函数，需进一步验证
思考3：像反比例函数的一支，即双曲线的第一象限分支
(2) 思考4：2000 2016 1968 2030 1956 2010
计算所有 k 值的来均值，得
k＝（2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010）≈1997.
我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p＝
当堂反馈
【思维呈现】
（1）　6　；
（2）解：如图②所示.
（3）　9.8　
【思维拓展】
（4）　＞　.

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