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第26章 二次函数
数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系
【学习目标】
1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型.
2.经历“观察一猜想一建模一验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性.
学习重点：掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型.
学习难点：掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型.
【合作探究】
探究点一：哪个积最大
(1) 观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10)，猜想其中哪个积最大：91×99，92×98， ···，98×92，99×91.
问题1：观察算式：两个乘数的十位都是 9，个位和为 10，这两个乘数的和是有什么样的特点？
问题2：观察算式特点，猜想：哪两个数的乘积最大？
问题3：你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
(2) 观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大：
901×999，902×998，···，998×902，999×901.
问题1：类比两位数规律，这组算式的特征是什么？
问题2：直接猜想：哪两个数的乘积最大？
问题3：仿照两位数的方法，如何建模验证？
问题4：结合两个例子，能总结出什么通用规律？
归纳小结：利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论—当两个数的和固定时，两数相等(或最接近)时积最大；
解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”.
探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系
由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表：
刹车时车速/(km/h) 40 48 56 64 72 80
刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8
（1）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.
根据图象，你能推测出这是个什么函数吗？
（2）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为 70 m，已知这条高速公路限速 100 km/h. 请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？
归纳小结：
刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效.
当堂反馈
1. 某汽车刹车距离解析式为 y = 0.005x + 0.05x + 2，当车速为 60 km/h 时，刹车距离约为 米.(保留一位小数)
2. 已知两个数的和为 170，且十位数字均为 8，个位数字之和为10.
(1) 设其中一个数的个位为 x，写出两数乘积的二次函数解析式；
(2) 求这两个数的最大积，并写出对应的两个数.
参考答案
【合作探究】
探究点一：哪个积最大
(1) 问题1：固定和为 189.
问题2：猜想：当两个乘数的差最小时，积最大，即 95×95的积最大.
问题3：设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 90 + x，100 - x.
设它们的积为 y，则 y = (90 + x)(100 - x)= -x +10x + 9000
其中 x 为整数，且 0≤x≤10.
这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为
当 x = 5 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 95×95，验证猜想正确.
(2) 问题1： 百位为 9，后两位和为 100，和为固定值
问题2： 类比 95×95，猜想 950×950.
问题3：设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 900 + x，1000 - x.
设它们的积为 y，则y = (900+ x)(1000 - x) = -x +100x + 900000
其中 x 为整数，且 0≤x≤100.
这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为
当 x = 50 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 950×950，验证猜想正确.
问题4： 和一定的两个正数，差越小，乘积越大；相等时乘积最大
探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系
（1）刹车时车速 x (km/h)为横坐标，
刹车距离为 y (m)纵坐标
二次函数
（2）设二次函数解析式为 y = ax + bx + c，选取表格中 (40，17)，(64，35.3)，(80，52.8) 三组典型数据代入解析式，列方程组求解系数 a，b，c.
解得近似解析式: y≈0.0082x －0.1x + 7.7.
将 x = 56 代入验证，得 y≈27.82，与实测值 27.9 误差较小，说明模型合理.
（3）当 y = 70 时，0.0082x －0.1x + 7.7 = 70.
解得 x≈93.5 (负值舍去).
这个结果小于高速限速 100 km/h，说明车辆未超速行驶.
当堂反馈1. 30.2
2. 解：(1) y = (80 + x)(90－ x) = －x + 10x + 7200；
(2) 最大积为 7225，对应两数为 85 和 85.

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