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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.2第1课时菱形的性质第一章特殊平行四边形1.2第1课时菱形的性质（精讲讲义）本节课在认识特殊平行四边形的基础上，专门精讲菱形的独有性质。菱形是考试几何证明、填空选择、计算题高频考点，常结合勾股定理、面积公式、线段求值出题。本节熟练掌握后，可直接解决绝大多数菱形基础题型。一、菱形的定义（复习必背）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。两层含义：1.菱形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质；2.额外独有条件：一组邻边相等 四条边全部相等。二、菱形的全部性质（核心考点）1.边的性质（必考）菱形的四条边都相等。2.角的性质继承平行四边形性质：对角相等，邻角互补。（菱形没有“角是直角”的性质，这是与矩形最大区别）3.对角线性质（重难点）菱形的对角线满足两大特殊性质：①互相垂直；②每一条对角线平分一组对角。补充：对角线仍然互相平分（平行四边形共有性质）。4.对称性菱形是中心对称图形（对角线交点为对称中心）；菱形是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在直线）。三、菱形面积公式（独家必考公式）1.通用公式（和平行四边形一致）$$S=\text{底}\times\text{高}$$2.菱形专属面积公式（考试最爱用）菱形面积=两条对角线乘积的一半$$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD}$$适用条件：只要是菱形，直接使用，无需求边长与高。四、重要几何推论（做题秒杀结论）1.菱形对角线互相垂直，所以菱形被对角线分成四个全等的直角三角形；2.可结合勾股定理快速求边长：$$\text{边长}^2=\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2+\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$；3.对角线平分内角，可直接得到角相等、角平分结论。五、经典例题精讲例1边长与对角线计算已知菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，求菱形的边长和面积。解：由菱形性质，对角线互相垂直平分。半对角线长：$$3、4$$由勾股定理：边长$$=\sqrt{3^2+4^2}=5$$面积：$$S=\dfrac12\times6\times8=24$$答：边长为5，面积为24。例2角度计算已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，求菱形内角度数。解：菱形邻角互补，∠ABC=60°，则∠BAD=120°，对角相等：四个角依次为60°、120°、60°、120°。特殊模型：菱形有一个角为60°，则短对角线与边长相等，出现等边三角形。六、本节高频易错点1.菱形对角线不相等（正方形才相等）；2.菱形四个角不是直角，切勿和矩形混淆；3.只有菱形（对角线垂直的四边形）可以用「对角线乘积一半」求面积；4.对角线平分一组对角是菱形独有性质，普通平行四边形没有。七、同步基础习题（含答案）1.菱形边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为____。答案：82.菱形对角线长4和6，面积为____。答案：123.菱形有一个内角为120°，则相邻内角为____。答案：60°4.下列不属于菱形性质的是（）A.四边相等B.对角线垂直C.四角相等D.轴对称答案：C1. 探索并证明菱形的性质定理；（重点）
2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
（难点）
3. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些
相关问题，并掌握菱形面积的求法；(难点)
问题1：我们之前学行四边形，它有哪些共同性质？
邻边相等的平行四边形叫作菱形.
问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形？
对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？
(1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法.
A
B
C
D
O
边特殊化
A
B
C
O
D
探究点: 菱形的性质
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【做一做】
探究点: 菱形的性质
问题 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
试着证明你的猜想.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
O
D
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
【证一证】
探究点: 菱形的性质
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，
∵OB = OD，
∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD.
A
B
C
O
D
探究点: 菱形的性质
菱形的性质
定理 菱形的对角线互相垂直.
A
B
C
O
D
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD.
定理 菱形的四条边都相等.
探究点: 菱形的性质
问题1：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考： 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC · AE.
E
探究点: 菱形的性质
问题2： 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究点: 菱形的性质
【归纳总结】
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
探究点: 菱形的性质
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6.
(1) 求 AB 和 AC 的长.
(2) 求菱形 ABCD 的面积.
∴ AB = AD(菱形的四条边相等)，
AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)，
OB = OD = BD = =3 (菱形的对角线互相平分).
解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形，
A
B
C
O
D
探究点: 菱形的性质
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴ AB = BD = 6.
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）
A
B
C
O
D
探究点: 菱形的性质
A
B
C
O
D
(2) 求菱形 ABCD 的面积.
菱形 ABCD 的面积
= △ABD 的面积 +△CBD 的面积
= 2×△ABD 的面积
= 2×BD·OA
= 2××6×3
= 18.
探究点: 菱形的性质
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.
∴AO＝BE.
例2 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
探究点: 菱形的性质
1. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
6 cm
【练一练】
A
B
C
D
O
E
探究点: 菱形的性质
2. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　)
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
探究点: 菱形的性质
知识点1 菱形边的性质
（第1题）
1. 如图，四边形是菱形，点 ，
分别在， 边上，添加以下条件
不能判定 的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在菱形中，对角线，
相交于点，点为的中点.若 ，
则菱形 的周长为( )
C
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
返回
3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点 的
横坐标是8，则点 的坐标为_______.
（第3题）
（第3题）
【点拨】当 时，
， 点 的坐标为
，
四边形是菱形，且在 轴
上，，且轴， 点 的坐标为
，即 .
返回
知识点2 菱形对角线的性质
（第4题）
4. 如图，在菱形中，对角线 ,
相交于点 ,下列结论中错误的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
5. 已知菱形的一个内角为 ，其中较长的对角线
为 ，则另一条对角线的长为___.
5
【点拨】如图，由题意得 ,
. 四边形 是菱形，
,
返回
, ，
， ，
，
， .故答案为5.
因为菱形的对角线互相垂直，
所以计算菱形中的线段长时，通常利用
勾股定理进行求解.
6. 如图，已知菱形 的周
长为，两条对角线， 的和为6，
则菱形 的面积为___.
4
解题支架
返回
7. 如图，菱形中， ， ，
，垂足分别为，， .
（1）求和 的度数；
【解】 四边形是菱形， ，
， .
，
.
， ，
.
（2）求 的长.
如图，连接交于 ，
则， .
四边形 是菱形，
， .
， 是等边三角形，
， ，
， .
易得， .易得
，
， ，
， ，
，
.
菱形
菱形的性质
有关计算
边
周长 = 边长的四倍
角
对角线
1. 两组对边分别平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角

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