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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.2第2课时菱形的判定第一章特殊平行四边形1.2第2课时菱形的判定（精讲讲义）上一课时我们学习了菱形的性质，本节课反向掌握菱形三大判定定理。菱形判定是几何证明、大题推理、条件探究的核心考点，常与平行四边形性质、勾股定理综合考察，是九年级几何必考重点。一、知识回顾：菱形的定义判定（判定1）定义判定法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。使用思路：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等 菱形。适用场景：题目出现边长相等、线段等量关系时优先使用。二、菱形两大核心判定定理（考试重点）判定定理2：四边相等的四边形是菱形文字语言：如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是菱形。关键区别：无需先证平行四边形，直接由四边形判定菱形。适用场景：题目可证四条边全部相等，无需要平行条件。判定定理3：对角线垂直的平行四边形是菱形文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。使用前提：必须先为平行四边形，再加对角线垂直条件。易错警示：对角线互相垂直的任意四边形不一定是菱形！三、三大判定方法择优总结（做题提速）1.已知是平行四边形：优先用「一组邻边相等」或「对角线互相垂直」；2.未知平行、四边可证相等：直接用「四边相等的四边形是菱形」；3.对角线条件多、垂直关系明确：优先对角线判定定理。四、经典例题精讲（考试标准步骤）例1定义判定证明已知：在平行四边形ABCD中，AB=BC。求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵ AB=BC（一组邻边相等），∴平行四边形ABCD是菱形。（菱形定义）例2四边相等判定已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：ABCD为菱形。证明：∵ AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵ AB=BC，∴ ABCD是菱形。秒杀结论：四边相等 直接判定菱形。例3对角线垂直判定（高频大题）已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD。求证：ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。（对角线垂直的平行四边形是菱形）五、性质与判定综合例题如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AB=5，AO=3，BO=4，求证：ABCD是菱形。解：∵ AO=3，BO=4，AB=5，∴ $$AO^2+BO^2=AB^2$$，∴ ∠AOB=90°，即AC⊥BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ABCD是菱形。技巧：勾股证垂直，再用对角线判定菱形，考试超高频套路。六、本节致命易错点（扣分重点）1.误区：对角线互相垂直的四边形是菱形。（ 缺少平行四边形前提）2.误区：有一组边相等的四边形是菱形。（ 必须是邻边+平行四边形）3.判定定理混用：证平行四边形用对角、对边；证菱形必须加专属条件。4.大题漏步骤：未先证平行四边形，直接判定菱形，步骤缺失扣分。七、同步专项习题（含答案）1.平行四边形ABCD中，添加条件____可判定为菱形。答案：AB=BC或AC⊥BD（任选其一）2.四条边相等的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案：C3.判断：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。（）答案：√（平分说明是平行四边形，再加垂直即为菱形）4.平行四边形对角线长6和8，且互相垂直，则该四边形面积为____。答案：241. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定
定理；（重点）
2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会
数形结合、转化等思想方法.
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？
A
B
C
O
D
由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。
思考·交流
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
【证一证】
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
菱形的判定定理
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
四边形 ABCD
A
B
C
D
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，
点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
又∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴ EC = EA，AF = CF.
∴AE = EC = CF = AF. ∴ 四边形 AFCE 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF.∴AE = CF.
【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
还有其他的证明方法吗？
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形， 你觉得对吗？
不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分.
不对，
如图.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ 直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
【证一证】已知：如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
O
D
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF，
∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC⊥EF，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
方法二
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵ DE⊥AC，
∴ 四边形 ADCE 是菱形.
【练一练】2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
尝试·交流
(1) 如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。
C
A
B
D
a
分别以 A、C 为圆心，以大于
AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2) 满足 (1) 中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，
那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。
A
B
C
D
O
不唯一。
理由：垂直平分线上 B、D 两点的位置可以任意选取 (只要 OB＝OD )，
因此菱形的边长和角度会随 OB 长度的变化而变化.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B
C
D
O
①指定另一条对角线长度：
添加条件使菱形唯一，如：
例如“对角线 BD = b (给定长度)”，此时 OB = ，可唯一确定 B、D 的位置。
②指定菱形的一个内角：
例如 “∠BAD = 60° ”，结合AC = a可唯一确定菱形的形状和大小。
③指定菱形的边长。
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
知识点1 由菱形的定义判定菱形
1. 依据所标识的数据判断，下列平行四边形一定为菱形的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在中，平分 ，
交于点，交于点 ，
若，则四边形 的周长是( )
C
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
返回
知识点2 由边的关系判定菱形
（第3题）
3. 如图，在 的两边上
分别截取，，使 ；分
别以点，为圆心， 长为半径作
弧，两弧交于点；连接， ，
，.若，四边形
的面积为.则的长为___ .
4
返回
4.如图所示，，分别在和 上，
，则____ .
80
（第4题）
（第4题）
【点拨】， 四
边形为菱形， ，
， .
，
， ，同理 ，
.易得 是等边
三角形， .又
，
，
. ，
.
（第4题）
返回
知识点3 由对角线的关系判定菱形
（第5题）
5. [2026济南期中] 如图， 的
对角线，交于点 ，以下条件不
能证明 是菱形的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
6. 如图，在中，是
的中点，点， 分别在线段AD及其延长
线上，且 ，请你添加一个条件
________________________，使四边形
是菱形.
（答案不唯一）
返回
7. 如图，中， ， 垂直平分
，垂足为，交于点，，连接， .
（1）求证：四边形 是菱形；
【证明】 ，
.
垂直平分， .
又 ,
，
， 四边形 是平行
四边形.
又 ，
平行四边形 是菱形.
（2）若，，求 的长.
【解】 ，
， .
， .
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
由（1）可知， .
返回
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理

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