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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.3第1课时矩形的性质第一章特殊平行四边形1.3第1课时矩形的性质（精讲讲义）矩形是继菱形之后第二种特殊平行四边形，中考必考基础几何题型。本节课重点掌握矩形的专属性质、核心推论、几何计算与简单证明。矩形性质常结合勾股定理、直角三角形性质综合考查，是后续矩形判定、正方形综合题的基础。一、矩形的定义（基础必背）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。两层核心含义：1.矩形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有通用性质；2.专属特殊条件：一个内角为90°，由此衍生所有矩形独有性质。二、矩形的完整性质（必考核心）1.边的性质（与平行四边形一致）对边平行且相等，邻边互相垂直。矩形没有四边相等的性质（区别于菱形）。2.角的性质（矩形独有）矩形的四个角都是直角（90°）。推论：矩形任意邻边垂直，所有内角相等，是角度最规整的特殊平行四边形。3.对角线性质（重难点、高频考点）矩形的对角线互相平分且相等。重点区分：①平行四边形：对角线只平分、不相等；②菱形：对角线垂直、不相等；③矩形：对角线相等、不垂直（正方形除外）。4.对称性矩形是中心对称图形（对角线交点为对称中心）；矩形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）。三、矩形黄金推论（秒杀结论）重要定理：直角三角形斜边中线定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。推导来源：将直角三角形补成矩形，斜边即为矩形对角线，利用矩形对角线相等且平分可证。考试用途：求线段长度、证明线段相等、构造等腰三角形，是几何高频秒杀工具。四、矩形面积公式$$\boldsymbol{S=\text{长}\times\text{宽}}$$矩形无对角线求面积公式（区别菱形），切勿混淆乱用。五、经典例题精讲（标准考试步骤）例1对角线长度计算已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，求对角线AC的长。解：∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$答：对角线AC长为10。例2斜边中线定理应用已知Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=12，求AB边上的中线长。解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴中线长$$=\dfrac12AB=6$$。例3矩形角度计算矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，求证：△AOB为等边三角形。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ $$OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD，AC=BD$$，∴ OA=OB，又∵ ∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形。经典模型：矩形对角线夹角为60°或120°，必出等边三角形。六、本节高频易错点（扣分重点）1.混淆图形性质：矩形对角线相等不垂直，菱形对角线垂直不相等；2.矩形四条边不相等，邻边长度一般不等；3.误用菱形面积公式计算矩形面积；4.忘记直角三角形斜边中线定理，导致简单线段计算复杂化；5.误判对称轴：矩形只有2条对称轴，不是4条（正方形是4条）。七、同步专项习题（含答案）1.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则对角线长为____。答案：52.直角三角形斜边为10，则斜边上的中线长为____。答案：53.下列属于矩形独有性质的是（）A.对边平行B.对角相等C.对角线相等D.对角线平分答案：C4.矩形对角线相交成60°角，较短边长为5，则对角线长为____。答案：101. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题；（重点、难点）
2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点）
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
A
B
C
D
O
角特殊化
A
B
C
D
O
探究点一：矩形的性质
活动：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
探究点一：矩形的性质
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
探究点一：矩形的性质
证明：(1) ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC (矩形的对边平行)。
∴∠ABC +∠BCD = 180°。
又∵∠ABC = 90°，
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°.
【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。
求证：(1) ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°.
A
B
C
D
O
探究点一：矩形的性质
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC (矩形的对边相等)。
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB。
∴ AC = DB。
A
B
C
D
O
【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。
求证：(2) AC = BD。
探究点一：矩形的性质
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
【知识要点】
探究点一：矩形的性质
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD.
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
A
B
C
D
O
探究点一：矩形的性质
还有其他解法吗？
例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED.
又∵ DF⊥AE，
∴ DF = DC.
探究点一：矩形的性质
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
【练一练】
探究点一：矩形的性质
观察·思考
如图(1)，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到图 (2) 所示的图形，BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？
A 　
B 　
C 　
D 　
E 　
B
C
E
A
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
(1)
(2)
证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE，
连接 AD，CD.
∵AE = EC，BE = ED，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
【证一证】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC.
∴ BE = BD = AC.
E
C
B
A
D
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．
(1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF
的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.
∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18.
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，
∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
总结
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
【练一练】 2.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE.
解：连接 EG，DG.
由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点 G 是 BC 的中点，
∴ EG＝ BC，DG＝ BC.
∴ EG＝DG.
又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线的性质常见模型
【归纳总结】
探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
知识点1 矩形的边角性质
（第1题）
1. [2026威海期末] 如图，矩形 为一
个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与
的交点为，当水杯底面 与水平面的
夹角为 时， 的大小为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在矩形中， ，
将矩形绕点 逆时针旋转，得到矩形
，点的对应点落在 上，且
，则四边形 的面积为_________
__.
返回
（第2题）
【点拨】由题意可知，
，
， .
知识点2 矩形的对角线性质
（第3题）
3. 如图，矩形的两条对角线 ，
交于点，若 ，则
等于( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 明明的家乡有一片矩形“油
菜花田”，政府决定在矩形油菜花田上建
两条如图所示的小路， ，方便游客
观赏（不考虑路宽），已知 ，
，那么两条小路的总长为
_______.
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5.如图，在矩形中，对角线，相交于点 ，且
， .
（1）求证： ；
【证明】 四边形 是矩形，
， ，且
.
.
又， ，
.
（2）若 ，，求矩形 的面积.
【解】 ，
.
, 都是等边三角形.
.
四边形 是矩形，
, .
.
.
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知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
（第6题）
6. 如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直
的墙上，设木棍的中点为，若木棍 端
沿墙下滑，且 沿地面向右滑行.在此滑动过
程中，点到点 的距离( )
B
A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断
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7.如图，在矩形中，点为的延长线上一点，为
的中点，以点为圆心，长为半径的圆弧过与 的交
点，连接.若，，则 ___.
3
（第7题）
矩形
性质
性质应用
矩形的对角线____________
直角三角形斜边上的中线
矩形的四个角____________
都是直角
相等
等于斜边的一半
__________________

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