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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.3第2课时矩形的判定第一章特殊平行四边形1.3第2课时矩形的判定（精讲讲义）上一课时学习了矩形的性质，本节课逆向学习矩形的三大判定定理。矩形判定是几何证明、大题推理、填空选择题高频考点，常与平行四边形性质、直角三角形性质综合考查，也是后续正方形综合题型的基础，和菱形判定题型结构对应，是本章核心重点。一、判定方法一：定义法（最基础、必背）判定内容：有一个角是直角的平行四边形是矩形。解题逻辑（两步走）：1.先证明该四边形是平行四边形；2.再证明其中任意一个内角为90°，即可判定为矩形。适用场景：题目可证平行四边形，且存在垂直、直角、90°角度条件时优先使用。二、判定方法二：三个直角判定定理判定内容：有三个角是直角的四边形是矩形。核心优势：无需先证平行四边形，直接通过四边形的角度判定。原理推导：四边形内角和为360°，三个角为90°，第四个角必然为90°，四角均为直角的四边形为矩形。适用场景：题目给出多个垂直条件、多个直角，无需推导平行关系时使用。三、判定方法三：对角线判定定理（重难点）判定内容：对角线相等的平行四边形是矩形。必备前提：必须先证明是平行四边形，再满足对角线相等，才可判定矩形。致命易错点：对角线相等的任意四边形不一定是矩形，必须是平行四边形才成立！拓展结论：对角线互相平分且相等的四边形，可直接判定为矩形（平分证平行，相等证矩形）。四、三大判定方法择优总结（做题提速口诀）1.有平行、有直角→用定义法；2.角度多、有三个直角→用三角直角判定法；3.对角线条件充足、有相等关系→用对角线判定法。五、经典例题精讲（考试标准满分步骤）例1定义法证明矩形已知：四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。求证：平行四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵ ∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形。（一个角是直角的平行四边形是矩形）例2三角直角判定例题已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，四边形内角和为360°，∴ ∠D=360°-90°×3=90°，∴四边形ABCD四个角均为直角，∴四边形ABCD是矩形。例3对角线判定高频大题已知：平行四边形ABCD中，对角线AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。（对角线相等的平行四边形是矩形）例4综合拔高例题已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且OA=OB。求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ $$AC=2OA，BD=2OB$$，又∵ OA=OB，∴ AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。解题技巧：利用对角线平分性质，由线段相等推对角线整体相等，是考试经典套路。六、矩形、菱形判定核心对比（防混淆）1.菱形：邻边相等/对角线垂直（平行四边形基础上）；2.矩形：一个直角/对角线相等（平行四边形基础上）；3.四边相等必为菱形，三角为直角必为矩形。七、本节高频易错扣分点1.易错表述：对角线相等的四边形是矩形（ 缺少平行四边形前提）；2.大题步骤缺失：未先证平行四边形，直接判定矩形，步骤不完整扣分；3.判定定理混用：把菱形垂直对角线条件用到矩形判定中；4.忽略四边形内角和，不会推导“三角直角推矩形”的逻辑。八、同步专项习题（含答案）1.在平行四边形ABCD中，添加条件____可判定为矩形。答案：∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一）2.四边形ABCD中，∠A=∠B=∠D=90°，则四边形ABCD是____。答案：矩形3.下列能判定四边形是矩形的是（）A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直答案：C4.平行四边形对角线长分别为6和6，该四边形是____。答案：矩形1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理；（重点）
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
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（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB∥DC.
又∵ BC = BC， AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = ∠DCB = ×180° = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
【证一证】已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，
∵ AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
D
C
B
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
【归纳总结】
理由 对角线相等的平行四边形是矩形.
【议一议】你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.
1.先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
2. 再用绳子测量对角线是否相等.
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
【练一练】
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，DO = BO.
又∵∠1 = ∠2，
∴ AO = BO.∴ AC = BD.
∴ □ABCD 是矩形.
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
例2 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 ABCD 的面积。
A
D
C
B
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4。
∴ OA = OB = OC = OD = 4。
∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
C
B
O
∴ ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。
∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角)。
∴BC = = = 。
∴S ABCD = AB·BC = 。
在Rt△ABC 中，由勾股定理，得
AB + BC = AC ，
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
不是矩形
不是矩形
矩形
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
【证一证】
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
【知识要点】
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
【练一练】3. 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
知识点1 由矩形的定义判定矩形
1.如图，有下列3个条件：， ，
，从中选取1个作为补充条件，能使
为矩形的有______（填序号）.
②③
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2.如图，在中，连接，为线段 的中点，延长
与的延长线交于点，连接， .求证：
四边形 是矩形.
【证明】 四边形 是平行四边
形，
.
点是的中点， .
又 ，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
又 ，
四边形 是矩形.
返回
知识点2 由直角的个数判定矩形
（第3题）
3. 如图，在平面直角坐标系中，
，内一个动点 到这
个角两边的距离之和为5，则图中四边
形 的周长是( )
B
A. 5 B. 10 C. 20 D. 无法确定
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4. 如图，在矩形中，为边的中点，
为上一点，于，于，当， 满足
条件_ __________时，四边形 为矩形.
（第4题）
返回
知识点3 由对角线的关系判定矩形
5. 在数学活动课上，同学们要检验一个四边形门框是否为矩
形.可行的测量方案是( )
C
A. 测量对角线是否平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量对角线是否相等
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6.如图，在中，对角线，相交于点 ，
于点，于点，且 .
（1）求证：四边形 是矩形；
【证明】， ，
.
又， ，
.
又 四边形 是平行四边形，
.
四边形 是矩形.
（2）若，求 的度数.
【解】 四边形是矩形， .
又 ，
.
, .
, 是等边三角形.
.
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（第7题）
7. 如图，在平面直角坐标系
中，,两点的坐标分别为,, 为
线段上一动点，以, 为边构造平行
四边形,则使对角线 的值最小的点
的坐标为( )
C
A. B.
C. D.
（第8题）
8. [2025重庆梁平区期末] 如图，在菱
形中，，是
边上一动点，过点分别作 于
点，于点，连接，则
的最小值为( )
A
A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理

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