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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.4第1课时正方形的性质第一章特殊平行四边形1.4第1课时正方形的性质（精讲讲义）正方形是最特殊的平行四边形，同时兼具矩形和菱形的所有性质。本节课系统梳理正方形的定义、边角、对角线、对称性专属性质，掌握正方形可以直接秒杀绝大多数特殊四边形综合计算题、证明题，是本章几何综合性最强、使用率最高的图形。一、正方形的定义（必背）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。两层特殊关系：1.正方形是特殊的矩形：邻边相等的矩形即为正方形；2.正方形是特殊的菱形：有一个角是直角的菱形即为正方形。总结：正方形集平行四边形、矩形、菱形所有性质于一身。二、正方形完整性质（全覆盖考点）1.边的性质对边平行，四条边全部相等。（继承菱形性质）2.角的性质四个角都是90°直角，邻角互补，对角相等。（继承矩形性质）3.对角线性质（重难点、考试核心）正方形对角线同时满足矩形、菱形对角线所有特征：①对角线互相平分（平行四边形共有）；②对角线相等（矩形独有）；③对角线互相垂直（菱形独有）；④对角线平分每一组对角（菱形独有）。终极结论：正方形对角线→平分、相等、垂直、平分内角四合一。4.对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形；共有4条对称轴：两条对角线、两组对边中点连线。三、正方形重要几何推论（做题秒杀）1.正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形；2.正方形对角线与边的夹角为45°；3.已知正方形边长可直接求对角线：$$\text{对角线}=\text{边长}\times\sqrt2$$；4.正方形兼具斜边中线定理、垂直平分、等线段等所有特殊四边形结论。四、正方形面积与周长公式1.周长：$$C=4a$$（$$a$$为边长）2.面积法一（通用）：$$S=a^2$$3.面积法二（对角线法）：$$S=\dfrac12\cdot AC^2$$（对角线相等，套用菱形面积公式）五、经典例题精讲（标准满分步骤）例1边长、对角线计算已知正方形边长为4，求对角线长和面积。解：由正方形性质，对角线长：$$4\sqrt2$$，面积：$$S=4^2=16$$。例2角度计算（高频）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求∠OAB的度数。解：∵四边形ABCD是正方形，∴ AC平分∠BAD，∠BAD=90°，∴ $$\angle OAB=\dfrac12\times90^\circ=45^\circ$$。例3综合证明求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，互相平分，∴ OA=OB=OC=OD，四个三角形均为直角三角形，∴四个三角形全等且为等腰直角三角形。六、平行四边形、矩形、菱形、正方形性质终极对比1.平行四边形：对边平行相等、对角相等、对角线平分；2.矩形：四角直角、对角线相等；3.菱形：四边相等、对角线垂直、平分内角；4.正方形：集齐以上所有性质。七、本节高频易错点1.混淆对称轴：正方形4条对称轴，矩形、菱形只有2条；2.误认为正方形对角线不垂直或不相等（实则全都满足）；3.忘记正方形可以用「对角线平方的一半」求面积；4.角度计算忽略45°特殊角，不会构造等腰直角三角形。八、同步专项习题（含答案）1.正方形边长为5，对角线长为____。答案：$$5\sqrt2$$2.正方形对角线长为$$2\sqrt2$$，面积为____。答案：43.正方形的对称轴条数为____。答案：44.正方形对角线相交形成的角为____。答案：90°1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力
和数学表达能力.(重点、 难点)
2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点）
平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质
性质 边 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
四个角都是直角
对角线相等
四条边都相等
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
正方形定义：
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
观察·思考
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
总结
探究点：正方形的性质
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
韦恩图：
探究点：正方形的性质
探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。
A
B
C
D
O
探究点：正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质
A
B
C
D
O
探究点：正方形的性质
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
【证一证】(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
探究点：正方形的性质
(2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
探究点：正方形的性质
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等
四边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线相互平分
对角线相互垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
探究点：正方形的性质
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
①∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的
四条边相等，四个角都是直角)。
∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，
A
B
D
C
F
E
∴ △BCE≌△DCF (SAS).
∴ BE = DF.
探究点：正方形的性质
A
B
D
F
E
② 延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，
∴ BE⊥DF.
综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF.
C
M
探究点：正方形的性质
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.
探究点：正方形的性质
【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
探究点：正方形的性质
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．
探究点：正方形的性质
【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°．
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
又∵ AB = DC，PB = PC，
∴△APB≌△DPC．
探究点：正方形的性质
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC =∠DAC = 45°．
∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．
又∵AP = AB = AD，
∴ DP = AP = AD，
即 △APD 是等边三角形．
∴∠DAP = 60°．
∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°，
∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．
∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
探究点：正方形的性质
【尝试·交流】
如图，四边形 ABCD 是正方形。
(1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。
条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。
理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。
A
B
C
D
O
E
F
探究点：正方形的性质
(2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。
A
B
C
D
O
条件：AE＝CG、AH＝CF
(或邻边互相垂直)。
理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。
E
F
G
H
探究点：正方形的性质
知识点1 正方形的边角性质
（第1题）
1. 如图，四边形 是正方
形，平行于轴，， 两点的坐标分别为
，，则点 的坐标是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.如图，在正方形中，以对角线为边作菱形 ，
连接，则 的度数为______.
（第2题）
返回
知识点2 正方形的对角线的性质
（第3题）
3. 如图，在正方形中，对角线 与
相交于点，以点为圆心， 长为半径
作弧，交于点，连接，则
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，正方形 的边长为2，连接
，，平分交于点，则
的长是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】如图，过点作于点 ，设
交于点 四边形 是正方形，
， .平分 交
于点，， 正
方形的边长为2，， 由勾股定理得
，
.在和 中，
，
. ，
， 为等腰直角三角形，
，
.故选D.
返回
5.如图，在正方形中，对角线，相交于点 ，
的平分线交于点，交于点 .
（1）求证： ；
【证明】，是正方形 的对角
线，
.
平分 ，
，
，
，
， .
（2）若，求 的长度.
【解】如图，作交于点 .
四边形 是正方形，
， .
，
， ，
.
又， ，
， .
， ，
， ，
.
返回
（第6题）
6. 如图，正方形和正方形 中，点
在上，，，是 的中点，
那么 的长是( )
B
A. B. C. D. 2
【点拨】如图，连接, ，由正方形的性质可得
， .
是 的中点，
.由正方形的性质可得 ，
，
，同理可
得， ，
，故选B.
（第6题）
返回
（第7题）
7. 如图，在正方形 中，
为边上一点，为 延长线上一点，
且，连接，， .给出下
列几个结论：①；② ；
③；④ ；⑤
.其中正确结论的个数是( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质

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